第1章 1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，以向量法为核心工具，从线线垂直（方向向量垂直）到线面垂直（方向向量与法向量平行）再到面面垂直（法向量垂直），构建递进式学习支架，涵盖定义、证明方法及实例。 以人民英雄纪念碑实例引入培养数学眼光，通过思考问题引导抽象向量关系发展数学思维，例题采用基底法与坐标法两种数学语言表达，课中助力教师教学，课后练习帮助学生巩固方法，查漏补缺。

第3课时　空间中直线、平面的垂直 课标要求　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．　2.能用向量法判断或证明直线、平面间的垂直关系． 坐落在天安门广场上的人民英雄纪念碑是我们中华民族的丰碑，它记录着我们中华民族的荣与辱！那么，纪念碑所在直线的方向向量与地面的法向量有什么关系？如何判定直线、平面的垂直关系是我们今天所要学习的内容． 思考1　两条垂直直线的方向向量有什么关系？ 提示：垂直． 思考2　直线与平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？ 提示：平行． 思考3　两个平面垂直，则两个平面的法向量有什么关系？ 提示：垂直． 知识点一　直线与直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． 　如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1⊥平面ABCD，AD＝2A1D1＝2AA1，用向量法证明AD1⊥CD1. 【证明】　方法一：设＝a，＝b，＝c，由题设易知三个向量两两垂直，且|a|＝|b|＝2|c|， 则＝＋＝c＋b，＝＋＝＋＋＋＝－b－a＋c，所以·＝(c＋b)·(－b－a＋c)＝－b·c－a·c＋c2－b2－a·b＋b·c＝0， 所以⊥，即AD1⊥CD1. 方法二：依题意，AB，AD，AA1两两垂直，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设AA1＝1， 则A(0，0，0)，D1(0，1，1)，C(2，2，0)， ＝(0，1，1)，＝(－2，－1，1)， ·＝0－1＋1＝0， 所以⊥，即AD1⊥CD1. 【感悟提升】　证明两直线垂直的方法 (1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． (2)基底法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 　已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝2PA＝2AC＝4，N为AB上一点且满足3＝，M，S分别为PB，BC的中点．求证：CM⊥SN. 证明：因为PA⊥平面ABC，AB⊥AC， 如图，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，M(2，0，1)，S(2，1，0)，N(1，0，0)， 所以＝(2，－2，1)，＝(－1，－1，0)， 因为·＝2×(－1)＋(－2)×(－1)＋1×0＝0，所以⊥，即CM⊥SN. 知识点二　直线与平面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得 u＝λn． 　(对接教材例4)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点． 求证：(1)EF⊥平面B1AC； (2)A1C⊥平面AD1B1. 【证明】　(1)方法一：设＝a，＝c，＝b，连接BD(图略)，则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c). 因为＝＋＝a＋b， 所以·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝0. 所以⊥，即EF⊥AB1. 同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC. 方法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2).所以＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0). 所以·＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，·＝(－1)×(－2)＋(－1)×2＋1×0＝0，所以⊥，⊥，所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC. 方法三：由方法二得＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1). 设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，则y＝1，z＝－1，所以n＝(1，1，－1)， 所以＝－n，所以∥n， 所以EF⊥平面B1AC. (2)由(1)方法二得，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，C(0，2，0)， 所以＝(2，2，0)，＝(－2，2，－2). 又＝(0，2，2)， 所以·＝(－2)×0＋2×2＋(－2)×2＝0， 所以⊥，即A1C⊥AB1. ·＝(－2)×2＋2×2＋(－2)×0＝0， 所以⊥，所以A1C⊥D1B1. 又因为AB1∩D1B1＝B1，AB1，D1B1⊂平面AD1B1， 所以A1C⊥平面AD1B1. 【感悟提升】　证明线面垂直的方法 (1)基底法：选取基向量，用基向量表示直线的方向向量，证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线的方向向量与平面的法向量共线，从而证得结论． 　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝2，AB⊥BC，CC1＝2，＝. 求证：CE⊥平面ABC1. 证明：以B为坐标原点，以BC ，BA，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，E(0，0，)， 所以＝(0，－2，0)，＝(2，0，2)，＝(－2，0，)， 可得·＝0，·＝0， 所以CE⊥AB，CE⊥BC1， 又因为AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，所以CE⊥平面ABC1. 知识点三　平面与平面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 　如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【证明】　 由题意得BA，BC，BB1两两垂直，以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，1)，C1(0，2，1)，E(0，0，)，则1＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，＝(－2，0，)， 设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则 所以z1＝0，令x1＝1，得y1＝1，所以n1＝(1，1，0)， 设平面AEC1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则 令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1，所以n2＝(1，－1，4)， 因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， 所以n1⊥n2，所以平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【感悟提升】　证明面面垂直的两种方法 (1)证明两个平面的法向量垂直． (2)根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个平面． 　如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQB⊥平面DCQ. 证明：由题意易知DA，DP，DC两两垂直． 如图，以D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设DA＝1. 依题意有D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)， 则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)， 所以·＝1×1＋(－1)×1＋0＝0， ·＝1×0＋(－1)×0＋0×1＝0， 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ，故PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQB，所以平面PQB⊥平面DCQ. 1．已知平面α，β的法向量分别为a＝(1，－2，－4)，b＝(x，1，2)，若α⊥β，则x的值为(　　) A．10 B．－10 C． D．－ 解析：选A.因为α⊥β，所以a⊥b，所以a·b＝x－2－8＝0，解得x＝10. 2．(多选)已知平面α及其法向量n，直线l，t及其方向向量a，b，则下面推理正确的是(　　) A．若l⊥α，t⊂α，则a⊥b B．若l⊥α，l∥t，则b∥n C．若l∥α，t⊂α，则a∥b D．若a⊥b，t⊥α，则a⊥n 解析：选ABD.对于A，l⊥α⇒a∥n，又t⊂α⇒n⊥b，故a⊥b，则A正确；对于B，l⊥α⇒a∥n，又l∥t⇒a∥b，故b∥n，则B正确；对于C，l∥α，t⊂α时，直线l与t可能为平行或异面关系，因此它们的方向向量a与b不一定平行，故C错误；对于D，t⊥α⇒b∥n，又a⊥b，故a⊥n，则D正确． 3．(教材P33T1(2)改编)已知a＝(m，－2，6)是直线l的方向向量，b＝(1，n，－3)是平面α的法向量．若直线l⊥α，则m－n＝__________． 解析：由l⊥α，得a∥b，即存在k，使得a＝kb. 即(m，－2，6)＝k(1，n，－3)， 得解得因此m－n＝－3. 答案：－3 4．(教材P33T3改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝2，M是AB的中点，N是AA1的中点．求证：DB1⊥平面MNC. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 由题设可得D(0，0，0)，C(0，2，0)，B1(，2，2)，M(，1，0)，N(，0，1)， 所以＝(，2，2)，＝(－，1，0)，＝(0，－1，1)， 由·＝×(－)＋2×1＋2×0＝0， ·＝×0＋2×(－1)＋2×1＝0， 可得DB1⊥MC，DB1⊥MN， 又因为MC∩MN＝M，MC，MN⊂平面MNC，所以DB1⊥平面MNC. 1．已学习：线线垂直、线面垂直与面面垂直的向量表示及应用． 2．须贯通：利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间中的垂直关系，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：分清直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间垂直关系的对应，不要混淆． 学科网（北京）股份有限公司 $