1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

**基本信息** 高中数学空间垂直专项训练，以空间向量法为核心，系统覆盖线线、线面、面面垂直的判定与证明，突出几何直观与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|10题|向量数量积判定垂直、坐标法建系|从法向量/方向向量概念到坐标运算，构建"定义-向量表示-坐标应用"链条| |B级综合运用|5题|折叠问题转化、存在性问题参数法|结合正方体、三棱锥等模型，强化空间几何与向量的转化推理能力|

第三课时　空间中直线、平面的垂直 （时间：60分钟　满分：102分） ［备注：单选、填空题5分，多选题6分］ 1.若平面α，β的法向量分别为a=（2，－1，0），b=（－1，－2，0），则α与β的位置关系是（　　） A．平行　 B．垂直 C．相交但不垂直　 D．无法确定 2.已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，则下列选项中正确的是（　　） A．v∥n⇔l∥α　 B．v∥n⇔l⊥α C．v⊥n⇔l∥α　 D．v⊥n⇔l⊥α 3.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F（0，y，z）满足方程（　　） A．y－z=0　 B．2y－z－1=0 C．2y－z－2=0　 D．z－1=0 4.已知点A（0，1，0），B（－1，0，－1），C（2，1，1），P（x，0，z），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为（　　） A．（1，0，－2）　 B．（1，0，2） C．（－1，0，2）　 D．（2，0，－1） 5.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，=（　　） A． B．1 C．2 D．3 6.在空间直角坐标系中，已知Rt△ABC的三个顶点为A（－3，－2，1），B（－1，－1，－1），C（－5，x，0），则x的值为（　　） A．0　 B．1　　 C．0或9　 D．1或9 7.〔多选〕如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（　　） A．和AC垂直　 B．和AA1垂直 C．和MN垂直　 D．与AC，MN都不垂直 8.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u=（1，－3，z），向量v=（3，－2，1）与平面α平行，则z=　　　　． 9.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE=　　　　． 10.（10分）如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ⊥OA． 11.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱DD1上，直线AC1⊥平面A1BM，则点M的位置是（　　） A．点D　 B．点D1 C．DD1的中点　 D．不存在 12.〔多选〕如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下结论，其中正确的是（　　） A．•=0 B．AB⊥DC C．BD⊥AC D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 13.如图，在正三棱锥D－ABC中，AB=，DA=2，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且=λ，若PA⊥平面PBC，则实数λ=　　　　． 14.（15分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．请用空间向量知识解决下列问题． （1）求证：BM⊥DC； （2）求证：BC⊥平面BDE． 15.（15分）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2． （1）求证：AC⊥BF； （2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第三课时　空间中直线、平面的垂直 1.B　∵a•b=－2＋2＋0=0，∴a⊥b，∴α⊥β． 2.B　已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，由于v∥n，所以l⊥α，故A错误，B正确；由于v⊥n，所以l∥α或l⊂α，故C、D错误．故选B． 3.D　由题意知E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0），所以=（－1，0，－2），=（－2，y－2，z），因为CF⊥B1E，所以•=0，即2－2z=0，即z=1. 4.C　由题意知=（－1，－1，－1），=（2，0，1），=（x，－1，z），又PA⊥平面ABC，所以有•=（－1，－1，－1）•（x，－1，z）=0，得－x＋1－z=0　①．•=（2，0，1）•（x，－1，z）=0，得2x＋z=0　②，联立①②得x=－1，z=2，故点P的坐标为（－1，0，2）． 5.B　建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形ABCD的边长为1，PA=a，则B（1，0，0），E（，1，0），P（0，0，a）．设F（0，y，0），则=（－1，y，0），=（，1，－a）．因为BF⊥PE，即•=（－1）×＋y=0，解得y=，即F（0，，0）是AD的中点，故=1. 6.C　∵A（－3，－2，1），B（－1，－1，－1），C（－5，x，0），∴=（2，1，－2），=（－4，x＋1，1），=（－2，x＋2，－1），分三种情况：①A为直角，•=0，∴－4＋x＋2＋2=0，∴x=0；②B为直角，•=0，∴－8＋x＋1－2=0，∴x=9；③C为直角，•=0，∴8＋（x＋1）（x＋2）－1=0，即x2＋3x＋9=0，此方程无解，综上，x的值为0或9. 7.AC　以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（图略）．设正方体的棱长为2a，则M（0，0，a），A（2a，0，0），C（0，2a，0），O（a，a，0），N（0，a，2a）．∴=（－a，－a，a），=（0，a，a），=（－2a，2a，0）．∴•=0，•=0，∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1显然不垂直． 8.－9　解析：由题意得u⊥v，∴u•v=3＋6＋z=0，∴z=－9. 9.a或2a　解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B1（0，0，3a），C（0，a，0），D（，，3a）．设E（a，0，z）（0≤z≤3a），则=（a，－a，z），=（a，0，z－3a），=（，，0）．又•=a2－a2＋0=0，•=2a2＋z2－3az=0，解得z=a或2a．故AE=a或2a． 10.证明：如图，连接OP，OQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz（如图所示）． 则A（1，0，0），C（0，0，1），B． ∵P为AC的中点， ∴P． ∴=， 由已知，可得==． 又=＋=， ∴=－=． ∵•=0，∴⊥，即PQ⊥OA． 11.A　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，M（0，0，t），0≤t≤1，则A（1，0，0），C1（0，1，1），B（1，1，0），A1（1，0，1），∴=（－1，1，1），=（－1，－1，t）．∵直线AC1⊥平面A1BM，BM⊂平面A1BM，∴AC1⊥BM，∴•=0，即－1×（－1）＋1×（－1）＋1×t=0，解得t=0，此时点M与点D重合．又=（0，1，－1），•=0，∴AC1⊥A1B，又BM⋂A1B=B，BM，A1B⊂平面A1BM，∴AC1⊥平面A1BM，符合题意．故选A． 12.BC　建立以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系（图略），设等腰直角三角形ABC的斜边BC=2，则B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A（0，0，1），所以=（1，0，－1），=（0，1，－1），=（0，1，0），=（－1，0，0），从而有•=0＋0＋1=1，故A错误；•=0，故B正确；•=0，故C正确；易知平面ADC的一个法向量为=（－1，0，0），设平面ABC的法向量为n=（x，y，z），由•n=x－z=0，•n=y－z=0，取z=1，则x=1，y=1，故n=（1，1，1），•n=－1，故D错误． 13.　解析：由题设知△ABC为边长为的等边三角形，且DA=DB=DC=2，等边△ABC的高为=，在正三棱锥中，以O为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴建系，如图所示，则A（0，－1，0），B（，，0），C（－，，0），D（0，0，），且P（0，0，λ），所以=（0，1，λ），=（，，－λ），=（，0，0），设m=（x，y，z）为平面PBC的法向量，则即令z=1，得m=（0，2λ，1），又PA⊥平面PBC，则=km且k为实数，故λ=． 14.证明：（1）因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF⋂平面ABCD=AD，AD⊥CD，CD⊂平面ABCD， 所以CD⊥平面ADEF， 又DE⊂平面ADEF，所以CD⊥DE． 因为在正方形ADEF中，AD⊥DE， 所以DA，DC，DE两两垂直． 以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2）． 因为M为EC的中点，所以M（0，2，1）， 故=（－2，0，1），=（0，4，0）， 所以•=0，故⊥，即BM⊥DC． （2）由（1）得=（－2，2，0），=（2，2，0），=（0，0，2）， 所以•=－4＋4=0，则⊥，即BC⊥DB． 因为•=0，故⊥，即BC⊥DE． 因为DE⋂DB=D，DE，DB⊂平面BDE， 所以BC⊥平面BDE． 15.解：（1）证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF⋂平面ABCD=AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF， ∴AF⊥平面ABCD． ∵AC⊂平面ABCD， ∴AF⊥AC． 过A作AH⊥BC于H（图略），则BH=1，AH=，CH=3， ∴AC=2， ∴AB2＋AC2=BC2，∴AC⊥AB． ∵AB⋂AF=A，AB，AF⊂平面FAB， ∴AC⊥平面FAB． ∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF． （2）存在．理由如下： 由（1）知，AF，AB，AC两两垂直．以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（－1，，2）． 假设在线段BE上存在一点P满足题意， 则易知点P不与点B，E重合， 设=λ，λ＞0，则=λ， 设P（a，b，c），则（a－2，b，c）=λ（－1－a，－b，2－c），得P（，，）． 设平面PAC的法向量为m=（x，y，z）． 由=（，，），=（0，2，0）， 得 即 令x=1，则z=， ∴m=（1，0，）为平面PAC的一个法向量． 同理，可求得n=（1，，1）为平面BCEF的一个法向量． 当m•n=0，即λ=时，平面PAC⊥平面BCEF， 故存在满足题意的点P，此时=． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $