专题04 空间向量坐标表示、运算及应用（重难点讲义）数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量坐标表示、运算及应用核心知识点，从空间直角坐标系与向量坐标定义切入，系统梳理加减、数乘、数量积运算公式，延伸至平行垂直判定、直线方向向量与平面法向量求法，最终应用于线线、线面、面面平行垂直证明及角度距离计算，构建完整学习支架。 该资料通过易混公式对比表和高频失分点汇总培养数学思维，典例与变式分层训练提升用数学语言解决综合问题的能力。课中辅助教师突破法向量求解等难点，课后通过巩固强化训练帮助学生查漏补缺，深化空间观念与创新意识。

专题04 空间向量坐标表示、运算及应用 重点目标： 1. 掌握空间直角坐标系、空间点与向量坐标的定义，熟记空间向量加减、数乘、数量积坐标运算公式，会求向量模、两点间距离. 2. 熟练利用坐标判定向量平行、垂直，掌握直线方向向量、平面法向量的求法. 3. 熟记空间线线、线面、面面平行 / 垂直的坐标判定条件，能应用于立体几何平行、垂直证明. 4. 掌握异面直线夹角、线面角、两平面夹角的坐标计算公式，能应用于求解三类角度余弦 / 正弦值. 5. 掌握点到直线、点到平面距离坐标公式，能求解平行直线、平行平面间距离，规范完成计算步骤. 难点目标： 1. 准确区分异面直线夹角、线面角、二面角取值范围，计算时正确添加绝对值，避免角度范围出错. 2. 快速求解不规则几何体（斜棱柱、不规则四棱锥）平面法向量，处理含参数法向量方程组求解. 3. 综合多条件立体几何大题，同时证明垂直 + 求解角度 / 距离，完整走完 “建系→找点→求向量→运算→几何结论” 流程. 4. 二面角判断锐 / 钝，区分法向量同向、反向对夹角余弦正负的影响，结合图形取舍结果. 5. 含参数立体几何题型，根据平行、垂直、距离条件列方程求解参数，分类讨论参数取值. 1、 重点知识 （一）空间向量及其运算的坐标表示 1. 空间直角坐标系（右手系）、坐标定义 单位正交基底，任意向量，坐标记作；空间点坐标与位置向量坐标完全一致. 2. 向量坐标运算法则 设， ① 加减： ② 数乘： ③ 数量积： 3. 基础坐标推论 · 平行判定： · 垂直判定： · 模长： · 两点距离：， · 夹角余弦： （二）用空间向量研究直线、平面的位置关系 1. 两个重要的向量： · 直线的方向向量：与直线平行的非零向量； · 平面的法向量：垂直于平面的非零向量. 2. 平面法向量求法 取平面内两个不共线向量，设法向量，则，赋值求解一组解. 3. 平行判定（坐标版） ① 线线平行：两直线方向向量； ② 线面平行（）：直线方向向量平面法向量，即； ③ 面面平行：两平面法向量. 4. 垂直判定（坐标版） ① 线线垂直：两直线方向向量； ② 线面垂直：直线方向向量平面法向量； ③ 面面垂直：两平面法向量. （三）用空间向量研究距离、夹角问题 1. 距离基础公式 ① 点到直线距离：直线单位方向向量，定点，直线外点，； ② 点到平面距离：平面法向量，平面内定点，平面外点，； ③ 平行直线、平行平面距离转化为点到直线、点到平面距离. 2. 三类夹角公式 ① 异面直线夹角：； ② 直线与平面所成角：； ③ 两平面夹角：. 2、 难点知识 （一）概念与计算易错难点 1. 三类角范围混淆（高频选择填空失分点） · 向量夹角：；异面直线夹角：，必须取余弦绝对值； · 线面角是直线与平面中投影的锐角，用正弦而非余弦； · 二面角有锐二面、钝二面，平面夹角只取到. 2. 法向量易错点 方程组有无穷多解，赋值易算错；平面内两向量共线时无法求法向量，需更换向量. 3. 建系隐藏条件 无两两垂直棱的几何体，需证明三条棱两两垂直才能建立空间直角坐标系，不可直接建系. （二）综合运算难点 1. 不规则几何体（斜四棱锥、底面非矩形棱柱）找点坐标，易看错顶点坐标符号； 2. 多步综合计算：先求法向量→再算数量积→求模→算角度，中间计算量大，符号、根式易出错； 3. 二面角判定正负：法向量一个指向二面内部、一个指向外部，夹角等于法向量夹角；同向 / 反向则为补角，需结合立体图形判断. （三）综合大题难点 1. 一问证明平行 / 垂直，二问求夹角，三问求距离多问综合题； 2. 存在性问题：棱上设参数，利用平行、垂直、距离条件列方程求解参数； 3. 体积结合向量：点到平面距离作为高，计算棱锥体积. （四）深度拓展拔高知识 1. 向量法通用解题三步曲（教材核心思想） ① 几何代数化：建系，写出所有点、向量坐标； ② 向量运算：利用坐标运算完成平行、垂直、距离、角度计算； ③ 代数还原几何：将计算结果转化为平行、垂直、角度、距离结论. 2. 基底法与坐标法对比拓展 无垂直棱不方便建系时，可用空间基底（不建系）求解；坐标法是单位正交基底的特殊形式. 3. 动点参数通用设元技巧 棱上动点统一设，简化含参方程. 4. 距离拓展：异面直线距离 取两条异面直线方向向量，连线向量，公垂向量，距离（高考培优拓展）. 5. 二面角完整解题逻辑 先求两平面法向量→计算法向量夹角余弦→观察几何体二面角是锐角 / 钝角→确定最终余弦正负（注意有时会求正弦值，就不需要区分正负了，只有正）. （五）易混公式对比表 几何量 核心向量 取值范围 计算公式关键处理 异面直线夹角 两直线方向向量 余弦加绝对值 线面角 直线方向向量、平面法向量 取数量积绝对值为正弦 两平面夹角 两平面法向量 余弦加绝对值 点到平面距离 平面法向量、平面定点连线 长度非负 分子取绝对值 （六）高频失分点汇总 1. 计算异面直线、面面夹角忘记加绝对值，算出钝角余弦； 2. 线面角误用余弦公式，混淆正弦、余弦； 3. 建系前未证明三条棱两两垂直，直接使用直角坐标系； 4. 求法向量时方程组计算出错，赋值不合理； 5. 二面角不看图形直接使用法向量夹角，不分锐钝； 6. 动点参数不限制，求出不符合线段的参数； 7. 坐标书写正负号写错，数量积、模长根式计算失误. 题型01 空间向量的坐标运算 角度1：空间向量线性运算与数量积运算的坐标表示 【典例】已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：B 【变式1】设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 【变式2】已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 角度2：求直线方向向量与求平面法向量 【典例】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【答案】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为(答案不唯一) 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即为直线的一个方向向量，表示即可求出平面的一个法向量. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 【变式】如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.求直线的方向向量与平面的法向量； 【答案】，； 【分析】根据给定的坐标系，写出相关点的坐标，再求出直线的方向向量及平面的法向量. 【详解】依题意，， 直线的方向向量； 而，设平面的法向量， 则，取，得， 所以平面的法向量. 角度3：空间向量模长及夹角的坐标表示 【典例】在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】  以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 【变式】若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 题型02 空间向量坐标运算证明平行关系 【典例】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【详解】证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以．    【变式1】如图，在正方体中，分别是的中点． 在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ． 设平面的法向量为， 则取，则，得， 存在点，使得平面，在的延长线上，且． 由题意得， 设，则， 平面，得． 【变式2】如图，长方体中，，， 求证：平面平面; 【答案】证明见解析 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为 ，所以平面 平面. 题型03空间向量坐标运算证明垂直关系 【典例】在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点为的中点，点为上的点，，，平面与棱交于点．求证：异面直线与垂直． 【答案】证明：已知四边形是菱形，则，设，则是的中点， ，， ，. ，且平面， 平面. 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系： ，. 则，. 可知. F为的中点，. 点E为上的点，，， . 则，. ， ，即. 因此异面直线与垂直． 【变式1】如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. 证明：平面. 【答案】如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， ，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得： ， 所以：平面. 【变式2】如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】由题意得两两垂直．以B为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面、平面AEC1的一个法向量，证明可得答案. 【详解】由题意得两两垂直，以B为原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设平面AEC1的一个法向量为， 则， 令，得，所以， 因为， 所以，所以平面平面. 题型04空间向量坐标运算求距离与夹角 角度1：空间向量求点到直线距离（两平行直线距离） 【典例】如图，对正方体­，，，分别是和的中点. 求到的距离； 【答案】 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长，故，，，， 所以，， 所以， ， ， 所以点到的距离 ； 【变式】在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. 求点到直线的距离； 【答案】 【详解】根据题意，平面，， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为： ，由中点坐标得， 向量，，设点到直线的距离为， 则. 角度2：空间向量求点到平面距离（直线到平面距离、两平行平面距离） 【典例】如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点.    求点到平面的距离； 【答案】 【详解】取的中点，的中点，连接、， 因为三棱柱是正三棱柱，所以，，平面， 所以平面， 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 所以，取. 所以点到平面的距离.    【变式1】在棱长为的正方体中，求 求平面与平面的距离； 【答案】 【详解】建立如图所示，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 根据题意有：，，，，， 所以，，， 连接、、、、、， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面；同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面； 因为，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，， 令，可得， 则为平面的一个法向量， 所以平面与平面的距离. 角度3：空间向量求夹角 【典例】如图，在棱长是2的正方体中，是底面的中心，E，F分别为，的中点. 求异面直线与所成角的大小. 【答案】 【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 所以， 所以， 故， 因此异面直线与所成角的大小为. 【变式1】三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为． (1)求侧棱的长； (2)若点E位于侧棱上，且，求直线AE与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）在平面内过A作，垂足为D， 因为侧面为矩形，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以，平面，平面 平面， 所以平面. 所以，解得， 因为，所以，所以； （2）如图，以A为坐标原点，以AB，AC，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 故，. 因为，则， 故， 设平面的法向量为， 则,即，令，则， 故平面的一个法向量为， 设直线AE与平面所成角为， 则， 所以直线AE与平面所成角的正弦值为． 【变式2】如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. 求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】. 【详解】因为平面，， 所以以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系： 又直线与平面所成角为， 即, 又因为， 所以，， 所以， 易知平面的法向量为， 因为, 设平面的法向量为， 则， 则有， 取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 题型05空间向量坐标运算的综合问题 【典例】如图,正四棱柱中，，点为的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)由正四棱柱的性质，可知两两垂直. 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系.   ， ， 设平面法向量为，则 ， 取其中一组解得. 设平面法向量为，则 取其中一组解得. 因为， 所以，即平面平面. (2) 【分析】(1)利用正四棱柱的性质建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，然后利用证明平面平面. (2)分别求出平面与平面法向量，然后利用向量夹角公式求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）略. （2）因为， 设平面法向量为，则 ， 取其中一组解得. 由题可知二面角所夹角为锐角，故二面角的余弦值大于0. 所以二面角的余弦值为. 【变式】如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)若，求点到平面的距离； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，再用点到平面的距离公式计算； （2）先设出点的参数坐标，求出平面的法向量，再写出直线的方向向量，根据线面角的正弦值公式得到关于参数的表达式，再用函数或不等式求最大值. 【详解】（1）由平面，平面，则， 又，由都在面内，则面         过作于，过作，故可构建如下图示空间直角坐标系， 又，，， 则，，，，         所以，，， 若是面的一个法向量，则， 令，则，             所以点到平面的距离； （2）法一：同（1）构建空间直角坐标系，易知是与面所成角的平面角， 显然在以为直径的圆上，令， 显然，可得或， 当时，，， 则， 所以，此时最大值为； 当时，，， 则， 所以，此时最大值为； 综上，与平面所成角的正弦值的最大值为．     【巩固训练】 1. 已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示求参数即可. 【详解】已知，，且， 所以. 解得. 故选：A. 2. 已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】平面的法向量与平面内所有向量垂直，故， 解得，故． 3. 已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 4. 已知空间四点，则下列选项正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．⊥ D． 【答案】D 【分析】AD选项，计算出，故，A错误，D正确；BC选项，利用夹角余弦公式计算出，BC错误. 【详解】AD选项，， 故，故，A错误，D正确； BC选项，， 故， 故与夹角的余弦值为，BC均错误. 故选：D 5. 在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，利用平面的法向量与直线的方向向量的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量， 若，则，所以，解得，所以充分性不成立； 反之：若，可得，此时， 可得与不垂直，所以与不平行，所以必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件. 6. （多选）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用空间向量数量积坐标运算即可判断B，利用空间向量垂直和平行的坐标表示即可判断AC，利用空间向量夹角的坐标表示即可判断D.. 【详解】空间向量 对于A，，，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：ACD 7. （多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，则（    ） A． B．⊥平面 C．异面直线与所成角的大小为 D．平面到平面的距离等于 【答案】AB 【分析】利用三角形中位线性质可得A正确；再由线面垂直的判定定理及其性质可求得B正确；由异面直线定义可求得异面直线与所成角的大小为，即C错误；利用等体积法和正方体对称性，即可得平面到平面的距离等于，即D错误. 【详解】连接，如下图所示： 因为是的中点，由正方体性质可知是与的交点， 又是的中点，所以是的中位线，即，可知A正确； 连接，四边形是正方形，所以， 又由正方体性质可知，，平面， 所以平面； 又，所以平面，即B正确； 由可得异面直线与所成的角即为直线与所成的角， 也即是异面直线与所成的角， 连接，易得是正三角形，所以， 即异面直线与所成的角为，故C错误； 易知，由正方体性质可知， 又，平面， 所以平面； 又平面，所以， 同理可证，，平面，所以平面； 同理可证平面； 因为正方体棱长为2，所以正三角形和正三角形的边长为，可得其面积为， 设到平面的距离为， 则由等体积法可得，解得； 同理有到平面的距离也为， 又易知，所以平面到平面的距离等于，即D错误； 故选：AB 8. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则__________. 【答案】2或4 【分析】由空间中点到平面距离公式，结合条件即可求得的值. 【详解】因为，所以点到平面的距离， 解得或. 故答案为：2或4. 9. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为______. 【答案】 【分析】利用点到直线的距离的向量公式即可求解. 【详解】已知，，， 则，，， 所以点到直线的距离为： . 故答案为： 10. 在直三棱柱中，分别为线段，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) 由已知，两两垂直，以为原点，正方向所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 已知分别为线段，的中点， 则，所以. 易得为平面的一个法向量. 因为，所以， 又平面，所以平面. (2) (3). 【分析】（1）由题意，以为原点，建立空间直角坐标系，证明垂直于平面的法向量，即可得证平面； （2）使用向量夹角公式即可求得异面直线与所成角的余弦值； （3）先求平面的法向量，结合（1）中的法向量，使用向量夹角公式即可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知， 所以， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. （3）设平面的一个法向量为， 由（1）（2）知， 则，令，得. 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【强化训练】 1．在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 【答案】C 【详解】由， 得. 因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，解得. 故的值为. 2．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与直线是相交直线 B．直线与直线共面 C．直线与直线平行 D．直线与直线垂直 【答案】B 【分析】利用正方体的几何性质，结合空间直线的位置关系（平行、相交、异面）及向量法逐一判断各选项的真假. 【详解】对于A，直线在平面内，点在平面内但不在直线上，点不在平面内， 所以直线与是异面直线，故A错误； 对于B，连接，因为分别为棱的中点， 所以在中，为中位线， 所以. 又因为在正方体中，， 所以。 所以四点共面， 即直线与共面，故B正确； 对于C，取的中点，连接。 因为为的中点，为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以。 若，则， 但，且不重合，这与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾， 所以与不平行，故C错误； 对于D，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则， 。 ， 所以直线与不垂直，故D错误. 3．设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的数量积运算、向量模长计算、投影向量的定义与公式计算可得. 【详解】在上的投影向量为 . 故选：C 5．（多选）在空间直角坐标系中，，，，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的数量积、点到平面的距离公式、线面角、空间向量的模的公式逐一判断计算即可. 【详解】因为在空间直角坐标系中，，，， 所以. 所以，所以A正确； 因为，设平面的一个法向量坐标为. 所以，即，令，则. 所以，因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为，D正确. 所以点到平面的距离为，所以B正确. 因为， 所以，所以，C错误. 6．（多选）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】在正三棱柱中，，，为的中点,所以, 以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    求得, 选项A:, , 设平面的法向量,则,,列方程可得, 代入向量得,令,则,所以, 计算,所以直线不垂直平面,选项A错误； 选项B:因为,所以点到平面的距离,选项B正确； 选项C:因为, 所以异面直线和所成角的余弦值,选项C正确； 选项D:,,设平面的法向量, 则,,列方程可得,代入向量得, 可知,令,则,所, 由前面可知平面的法向量，计算, 所以平面不垂直平面，选项D错误. 7．设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 8．对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的最大值是______. 【答案】/ 【分析】首先利用坐标表示，，再代入曼哈顿距离，利用基本不等式求最值. 【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系设，， ，，， ，， 由可知，，整理为， ， 因为，得， 且，所以， 所以的最大值为，当时等号成立， 所以的最大值为. 9．已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量与的坐标，根据数量积求向量与的夹角的余弦值，进而求得向量与的夹角； （2）根据与夹角为锐角，可得且与不共线，解不等式即得的取值范围． 【详解】（1）由已知得：，， 则， ∵，∴向量与的夹角为． （2）， ∵与夹角为锐角，∴且与不共线. 由，可得，解得① 当与共线时，存在实数，使得. 即，解得，∵与不共线，∴②， 由①②得. 10．如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 证明：因为底面为正方形，平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则根据题意，有，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，，故可取， 因，而平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，计算及平面的法向量后可证平面； （2）求出及平面的法向量后可求线面角的正弦值； （3）根据平面可求的坐标，从而可求平面的法向量，利用向量法可求二面角的余弦值. 【详解】（1）略. （2）由（1）可知，，，， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）可知，，， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 由（2）可知，平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 空间向量坐标表示、运算及应用 重点目标： 1. 掌握空间直角坐标系、空间点与向量坐标的定义，熟记空间向量加减、数乘、数量积坐标运算公式，会求向量模、两点间距离. 2. 熟练利用坐标判定向量平行、垂直，掌握直线方向向量、平面法向量的求法. 3. 熟记空间线线、线面、面面平行 / 垂直的坐标判定条件，能应用于立体几何平行、垂直证明. 4. 掌握异面直线夹角、线面角、两平面夹角的坐标计算公式，能应用于求解三类角度余弦 / 正弦值. 5. 掌握点到直线、点到平面距离坐标公式，能求解平行直线、平行平面间距离，规范完成计算步骤. 难点目标： 1. 准确区分异面直线夹角、线面角、二面角取值范围，计算时正确添加绝对值，避免角度范围出错. 2. 快速求解不规则几何体（斜棱柱、不规则四棱锥）平面法向量，处理含参数法向量方程组求解. 3. 综合多条件立体几何大题，同时证明垂直 + 求解角度 / 距离，完整走完 “建系→找点→求向量→运算→几何结论” 流程. 4. 二面角判断锐 / 钝，区分法向量同向、反向对夹角余弦正负的影响，结合图形取舍结果. 5. 含参数立体几何题型，根据平行、垂直、距离条件列方程求解参数，分类讨论参数取值. 1、 重点知识 （一）空间向量及其运算的坐标表示 1. 空间直角坐标系（右手系）、坐标定义 单位正交基底，任意向量，坐标记作；空间点坐标与位置向量坐标完全一致. 2. 向量坐标运算法则 设， ① 加减： ② 数乘： ③ 数量积： 3. 基础坐标推论 · 平行判定： · 垂直判定： · 模长： · 两点距离：， · 夹角余弦： （二）用空间向量研究直线、平面的位置关系 1. 两个重要的向量： · 直线的方向向量：与直线平行的非零向量； · 平面的法向量：垂直于平面的非零向量. 2. 平面法向量求法 取平面内两个不共线向量，设法向量，则，赋值求解一组解. 3. 平行判定（坐标版） ① 线线平行：两直线方向向量； ② 线面平行（）：直线方向向量平面法向量，即； ③ 面面平行：两平面法向量. 4. 垂直判定（坐标版） ① 线线垂直：两直线方向向量； ② 线面垂直：直线方向向量平面法向量； ③ 面面垂直：两平面法向量. （三）用空间向量研究距离、夹角问题 1. 距离基础公式 ① 点到直线距离：直线单位方向向量，定点，直线外点，； ② 点到平面距离：平面法向量，平面内定点，平面外点，； ③ 平行直线、平行平面距离转化为点到直线、点到平面距离. 2. 三类夹角公式 ① 异面直线夹角：； ② 直线与平面所成角：； ③ 两平面夹角：. 2、 难点知识 （一）概念与计算易错难点 1. 三类角范围混淆（高频选择填空失分点） · 向量夹角：；异面直线夹角：，必须取余弦绝对值； · 线面角是直线与平面中投影的锐角，用正弦而非余弦； · 二面角有锐二面、钝二面，平面夹角只取到. 2. 法向量易错点 方程组有无穷多解，赋值易算错；平面内两向量共线时无法求法向量，需更换向量. 3. 建系隐藏条件 无两两垂直棱的几何体，需证明三条棱两两垂直才能建立空间直角坐标系，不可直接建系. （二）综合运算难点 1. 不规则几何体（斜四棱锥、底面非矩形棱柱）找点坐标，易看错顶点坐标符号； 2. 多步综合计算：先求法向量→再算数量积→求模→算角度，中间计算量大，符号、根式易出错； 3. 二面角判定正负：法向量一个指向二面内部、一个指向外部，夹角等于法向量夹角；同向 / 反向则为补角，需结合立体图形判断. （三）综合大题难点 1. 一问证明平行 / 垂直，二问求夹角，三问求距离多问综合题； 2. 存在性问题：棱上设参数，利用平行、垂直、距离条件列方程求解参数； 3. 体积结合向量：点到平面距离作为高，计算棱锥体积. （四）深度拓展拔高知识 1. 向量法通用解题三步曲（教材核心思想） ① 几何代数化：建系，写出所有点、向量坐标； ② 向量运算：利用坐标运算完成平行、垂直、距离、角度计算； ③ 代数还原几何：将计算结果转化为平行、垂直、角度、距离结论. 2. 基底法与坐标法对比拓展 无垂直棱不方便建系时，可用空间基底（不建系）求解；坐标法是单位正交基底的特殊形式. 3. 动点参数通用设元技巧 棱上动点统一设，简化含参方程. 4. 距离拓展：异面直线距离 取两条异面直线方向向量，连线向量，公垂向量，距离（高考培优拓展）. 5. 二面角完整解题逻辑 先求两平面法向量→计算法向量夹角余弦→观察几何体二面角是锐角 / 钝角→确定最终余弦正负（注意有时会求正弦值，就不需要区分正负了，只有正）. （五）易混公式对比表 几何量 核心向量 取值范围 计算公式关键处理 异面直线夹角 两直线方向向量 余弦加绝对值 线面角 直线方向向量、平面法向量 取数量积绝对值为正弦 两平面夹角 两平面法向量 余弦加绝对值 点到平面距离 平面法向量、平面定点连线 长度非负 分子取绝对值 （六）高频失分点汇总 1. 计算异面直线、面面夹角忘记加绝对值，算出钝角余弦； 2. 线面角误用余弦公式，混淆正弦、余弦； 3. 建系前未证明三条棱两两垂直，直接使用直角坐标系； 4. 求法向量时方程组计算出错，赋值不合理； 5. 二面角不看图形直接使用法向量夹角，不分锐钝； 6. 动点参数不限制，求出不符合线段的参数； 7. 坐标书写正负号写错，数量积、模长根式计算失误. 题型01 空间向量的坐标运算 角度1：空间向量线性运算与数量积运算的坐标表示 【典例】已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 【变式1】设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【变式2】已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 角度2：求直线方向向量与求平面法向量 【典例】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【变式】如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.求直线的方向向量与平面的法向量； 角度3：空间向量模长及夹角的坐标表示 【典例】在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【变式】若，则_________． 题型02 空间向量坐标运算证明平行关系 【典例】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：． 【变式1】如图，在正方体中，分别是的中点． 在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 【变式2】如图，长方体中，，， 求证：平面平面; 题型03空间向量坐标运算证明垂直关系 【典例】在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点为的中点，点为上的点，，，平面与棱交于点．求证：异面直线与垂直． 【变式1】如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. 证明：平面. 【变式2】如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 题型04空间向量坐标运算求距离与夹角 角度1：空间向量求点到直线距离（两平行直线距离） 【典例】如图，对正方体­，，，分别是和的中点. 求到的距离； 【变式】在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. 求点到直线的距离； 角度2：空间向量求点到平面距离（直线到平面距离、两平行平面距离） 【典例】如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点.    求点到平面的距离； 【变式1】在棱长为的正方体中，求 求平面与平面的距离； 角度3：空间向量求夹角 【典例】如图，在棱长是2的正方体中，是底面的中心，E，F分别为，的中点. 求异面直线与所成角的大小. 【变式1】三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为． (1)求侧棱的长； (2)若点E位于侧棱上，且，求直线AE与平面所成角的正弦值． 【变式2】如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. 求平面与平面的夹角的余弦值. 题型05空间向量坐标运算的综合问题 【典例】如图,正四棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【变式】如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)若，求点到平面的距离； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值． 【巩固训练】 1. 已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 2. 已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3. 已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 4. 已知空间四点，则下列选项正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．⊥ D． 5. 在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6. （多选）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 7. （多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，则（    ） A． B．⊥平面 C．异面直线与所成角的大小为 D．平面到平面的距离等于 8. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则__________. 9. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为______. 10. 在直三棱柱中，分别为线段，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【强化训练】 1．在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 2．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与直线是相交直线 B．直线与直线共面 C．直线与直线平行 D．直线与直线垂直 3．设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）在空间直角坐标系中，，，，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 6．（多选）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 7．设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 8．对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的最大值是______. 9．已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 10．如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． / 学科网（北京）股份有限公司 $