第1章 1.3 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦空间向量与空间直角坐标系核心知识点，系统梳理空间点的坐标表示、向量线性运算、数量积及垂直平行判定，从基础定义到综合应用构建学习支架，助力学生逐步掌握空间向量的应用。 资料设计层次分明，涵盖选择、填空及解答题，结合正方体、直三棱柱等几何模型，通过具体实例培养空间观念（数学眼光）和推理能力（数学思维），课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升数学语言表达能力。

多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 了课后达标·检测 sp7O 「A基础达标 1.已知i,j,k分别是空间直角坐标系Oxz中x轴、y轴、z轴的正方 向上的单位向量，且OB=一i十广一k,则点B的坐标是() A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-) C.1,-1,-1) D.(-1,-1,-1) 解析：选A.由空间直角坐标系中，点的坐标的定义可知点B的坐标为（一 1,1,-1) 2.(2026新疆期末)点P(2,一3，一4关于平面Oy对称的点是() A.(2,-3,4) B.(-2,-3,-4) C.(-2,3,-4 D.(-2,3,4) 解析：选A.,点P(2,-3,-4)关于平面Oxy对称的，点是(2，-3,4) 3.在△ABC中，A(1,0,0),B(4,-5,6),C0,1,0),D为BC的 中点，则向量AD为() A.(2,-2,3) B.(1,-2,3) C.(3,-4,6) D.(-1,2,-3) 解析：选B.边BC的中点为D2,-2,3),则AD=(1,一2,3). 4.(2026西安月考)已知向量a=(一2,1,0)，b=(0,1,2),则2a一b =() A.(-4,1,-2) B.(4,-1,2) C.(-2,0,-2) D.(-2,2,2) 解析：选A.向量a=(-2,1,0),b=(0,1,2),则2a-b=2(-2, 1,0)-(0,1,2)=(-4,1,-2) 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 5.在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,5),B(1,1,2),C(0,a, 一1)，若AB⊥BC,则a的值为() A.-4 B.-1 C.5 D.6 解析：选D.因为点A(2,3,5),B(1,1,2),C(0,a,一1)，则BA= (1,2,3),BC=(-1,a-1,-3),若AB⊥BC,则BABC=-1十2(a -1)-9=2a-12=0,解得a=6. 6.（多选)已知空间向量m=(2,一1,3)，n=(一4,2，x),则下列选 项中正确的是() A.当mLn时，x=2 B.当mn时，x=一6 C.当x=一4时，n+m= D.当x=1时，cos〈m,n〉= 解析：选BC.对于A,由m⊥n,得2X(-4)十(-1)X2+3x=0,解得x =,A错误； 对于B,由mln得，存在实数入，使得n=n, 则(-4,2，x)=(22,-,32), 即解得B正确； 对于C,当x=-4时，n=(-4,2,-4),m+n=(-2,1,-1),lm 十心==，C正确； 对于D,当x=1时，n=(-4,2,1),m=(2,-1,3),cosm, n>===-,D错误. 7.(2026·孝感月考)在空间直角坐标系Oxz中，y轴上一点M到点 P(一1,2,3)和Q(4,3,一)的距离相等，则点M的坐标为 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：设M(0,a,0), 因为MP=MQ, 所以 解得=，故点M的坐标为(0，，O). 答案：(0，，0) 8.已知空间向量a=(1,3,2),b=(1,0,1),p=ka-2b,q=3a+ 4b,若pllq,则实数k= 解析：因为p=ka-2b=(k-2,3k,2k-2),q=3a+4b=(7,9,10), 因为pq,所以==， 解得k=一」 答案：一 9.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，CB=1,CA=2,M 是CC1的中点，若AMLBA1,则AA1= 解析： B 在Rt△ABC中，AB==.以B为坐标原，点，BA,BC,BB1所在直线分别 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxz,设AA1=t(O),则B(0, 0,0),A(,0,0),M0,1,),A(,0,), 则AM=(-,1,),BA1=(,0,),BA1AM=-3十=0， 解得t=,即AA1= 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 答案： 10.(13分)已知空间向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x, 2,-1) (1)求ab;(5分) 2)若alc,求cos(b,c〉.(8分) 解：(1)由题意得ab=2×(-1)+4×0+(-2)×2=-6. (2)若alc,则==， 所以x=1,c=(1,2,-1), bc=(-1)×1+0×2+2×(-1)=-3, lc==, b==, c0S〈b,c>===- 〔B能力提升 11.(2026成都期中)已知向量a=(-2,2,1),b=(1,1,0),则b-4 在a上的投影向量为() A.a B.3a C.-a D.-3a 解析：选C.b-a=(3,-1,-1), (b-a=3×(-2)+(-1)×2+(-1)×1 =-6-2-1=-9, al==3, 所以b-a在a上的投影向量为[]=X=-a. 12.已知向量a=(2,一1,1)，b=(m,一3,3)，若a与b的夹角为锐 角，则实数的取值范围是 独家授权侵权必究 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：由a=(2,-1,1),b=(,-3,3), 若4与b共线，则==，即=6， 则a与b的夹角为锐角时， 有解得>-3且n时6， 所以实数的取值范围是(-3,6)U(6,+∞)， 答案：(-3,6)U(6,+∞) 13.(13分)2026·济南月考)已知A(-2,0,2),B(-1,1,2),C( 3,0,4),a=AB,b=AC (1)求cos〈a,b);(6分) (2)若ka十b与ka一2b互相垂直，求实数k的值.(7分) 解：(1)因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),a=AB,b =AC, 所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 则cos〈a,b)===- (2)因为ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),又ka+b与ka -2b垂直， 所以(ka+b)(k@-2b)=(k-1)k+2)+k2-8=0,解得k=-或k=2. 14.(15分)棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F,G分别是 DD1,BD,BB1的中点 (I)求证：EF⊥CF;(5分) (②)求EF与CG夹角的余弦值；(5分) (3)求CE的长.(5分) 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 E B 则E(0,0,1),1,1,0),G(2,2,1),C(0,2,0) (1)证明：EF=(1,1,-1),CF=(1,-1,0), 则EFCF=1×1+1×(-1)+(-1)×0=0, 因此EF⊥CF,所以EF⊥CF 2)CG=(2,0,1),而EF=(1,1,-1), 则cos〈EF,CG)===, 所以EF与CG夹角的余弦值是. (3)CE=(0,-2,1), 则CE==, 所以CE的长为： 〔C素养拓展 15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，点P满足PB=1,点Q 满足AQ=2AC十(1一)AA1,则测AP一AQ的最小值为 解析： A D B B 如图建立空间直角坐标系，则由题意可得A(0,0,0),B(4,0,0), C(4,4,0),A1(0,0,4), 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 则AQ=2AC+(1-2)AA1 =(4,4,0)+(1-)(0,0,4)=(42,41,4-4), 则Q(42,42,4-42): 由PB=1可知，动，点P的轨迹是以B为球心，1为半径的球， 因为AP-AQ=|QP1, 所以AP一AQ的最小值为Q到球心B的最小距离减去半径1， 而BQ= 则当元=时，BQ取到最小值，最小值为，玫AP-AQ的最小值为一1. 答案：一1 独家授权侵权必究