第1章 1.1.1 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

1．下列命题是真命题的是(　　) A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与的长度相等 解析：选D.对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A是假命题；对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的大小相等且方向不相同即可，故B是假命题；对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C是假命题；对于D，向量与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D是真命题． 2．在空间四边形ABCD中，点M，G分别是BC和CD的中点，则＋(＋)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C. 连接BG，因为点G是CD的中点， 所以＋＝2， 所以＋(＋)＝＋＝. 3．下列条件中，能说明空间中不重合的三点A，B，C共线的是(　　) A．＋＝ B．－＝ C．||＝|| D．＝ 解析：选D.对于空间中的任意向量，都有＋＝，选项A不满足题意；若－＝，则＋＝，而＋＝，则＝，即B，C两点重合，选项B不满足题意；||＝||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项C不满足题意；＝，则A，B，C三点共线，选项D满足题意． 4．在三棱柱ABC-A1B1C1中，设＝a，＝b，＝c，N为BC的中点，则＝(　　) A．a＋b＋c B．a＋b＋c C．a＋b－c D．a＋b＋c 解析：选C. 连接AN，如图，因为N为BC的中点，所以＝＋＝－＋(＋)＝a＋b－c. 5．(2026·青海期末)已知A，B，C，D四点共面于α，且其中任意三点均不共线．设H为空间中任意一点且H∉α，若a＋b＋c＋2＝0，则a＋b＋c＝(　　) A．0 B．1 C．－2 D．－1 解析：选C.因为a＋b＋c＋2＝0，所以＝－－－，而A，B，C，D四点共面，则－－－＝1，即a＋b＋c＝－2. 6．(多选)给出下列命题，其中正确的命题是(　　) A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝ D．若空间向量m，n，p满足m∥n，n∥p，则m∥p　 解析：选BC.对于A，模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误；对于B，向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|，B正确；对于C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ACC1A1是矩形，故＝，C正确；对于D，若n＝0，则m∥n，n∥p，但m，p不一定共线，D错误． 7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1＝1，AB＝2，AD＝3，则|－|＝________． 解析： 连接B1D1，BD.由|－|＝|－|＝||＝||＝＝. 答案： 8．(2026·龙岩期中)设向量e1，e2，e3不共面，已知＝e1＋e2＋e3，＝e1＋λe2＋e3，＝4e1＋8e2＋4e3，若A，C，D三点共线，则λ＝ ________． 解析：因为＝e1＋e2＋e3，＝e1＋λe2＋e3，＝4e1＋8e2＋4e3，所以＝＋＝2e1＋(λ＋1)e2＋2e3，因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数x使得＝x， 所以解得所以λ＝3. 答案：3 9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，设＝a，＝b，＝c，若＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝________． 解析：因为＝－＝ －＝(＋)－ ＝(＋)－＝(＋－)－ ＝－＋＝a－b＋c， 所以x＝，y＝－，z＝， 所以x＋y＋z＝－. 答案：－ 10．(13分)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，M，N，P分别是AB，CC′，DD′的中点，Q是线段AN上的动点，且＝λ(λ∈R). (1)求证：A，M，P，Q四点共面；(7分) (2)若P，Q，M三点共线，求λ的值．(6分) 解：(1)证明：因为＝λ， 连接PN，AP(图略)， 由题可知AM∥DC∥PN，AM＝DC＝PN， 则＝λ＝λ(＋)＝λ(2＋)＝2λ＋λ，故A，M，P，Q四点共面． (2)因为＝2λ＋λ且P，Q，M三点共线，故2λ＋λ＝1，则λ＝. 11．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足5＝＋2＋3，则(　　) A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 解析：选C.方法一：因为5＝＋2＋3， 所以5＝＋2＋3， 即5＝－＋2＋3， 故＝－＋＋， 因为－＋＋＝1， 所以P，B，C，D四点共面，C正确． 方法二：由已知得＝5－2－3＝2－2＋3－3＝2＋3， 所以，，共面，又存在公共点P，所以P，B，C，D四点共面，C正确． 12．(多选)关于空间向量a，b，c，下列结论正确的是(　　) A．若存在实数x，y，使得c＝xa＋yb，则c与a，b共面 B．若c与a，b共面，则存在实数x，y，使得c＝xa＋yb　 C．若a，b，c共面，则存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0 D．若存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则a，b，c共面 解析：选AC.对于A，若向量a，b共线，易知c与a，b共线，显然共面； 若向量a，b不共线，根据平面向量基本定理可知c与a，b共面； 综上所述，c与a，b共面，故A正确； 对于B，若向量c与a，b共面，如果a，b共线，c与a，b不共线，则不存在实数x，y，使得c＝xa＋yb，故B错误； 对于C，若向量a，b共线，则取x＝y＝z＝0，可得xa＋yb＋zc＝0； 若向量a，b不共线，根据平面向量基本定理可知，存在实数x，y，使得c＝xa＋yb， 即xa＋yb－c＝0，可得z＝－1； 综上所述，若a，b，c共面，则存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，故C正确； 对于D，例如x＝y＝z＝0，对于任意空间向量a，b，c均有xa＋yb＋zc＝0成立， 此时无法判断a，b，c是否共面，故D错误． 13．(13分)如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点． (1)化简：－(＋)；(4分) (2)求证：四边形EFGH是平行四边形；(4分) (3)设EG，FH交于点O，求证：＋＋＋＝0.(5分) 解：(1)连接AF(图略)， 因为F为BC的中点，所以＝(＋)， 所以－(＋)＝－＝. (2)证明：＝－＝－＝， 同理得＝， 所以＝，所以四边形EFGH是平行四边形． (3)证明：因为四边形EFGH是平行四边形，EG，FH交于点O，则O为EG的中点， 因为E，G分别为AB，CD的中点， 所以＝(＋)，＝(＋). 由＋＝0， 可得＋＋＋＝0. 14．(15分)已知向量a，b，c是空间中不共面的三个向量，＝a－2b＋c，＝pa＋b＋qc，＝2a＋b－2c. (1)若＝m，m∈R，求p，q的值；(7分) (2)若O，A，B，C四点共面，求3p＋5q的值．(8分) 解：(1)由题可得， ＝－＝pa＋b＋qc－(a－2b＋c)＝(p－1)a＋3b＋(q－1)c， ＝－＝2a＋b－2c－(a－2b＋c)＝a＋3b－3c， 因为＝m， 所以(p－1)a＋3b＋(q－1)c＝m(a＋3b－3c)， 即解得 所以p，q的值分别为2，－2. (2)因为O，A，B，C四点共面，所以存在λ，μ∈R，使得＝λ＋μ， 即pa＋b＋qc＝λ(a－2b＋c)＋μ(2a＋b－2c)＝(λ＋2μ)a＋(μ－2λ)b＋(λ－2μ)c， 则 所以3p＋5q＝3(λ＋2μ)＋5(λ－2μ)＝8λ－4μ＝8λ－4(1＋2λ)＝－4，即3p＋5q的值为－4. 15．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，＝＋t，其中t∈[0，1]，则B1P＋PD的最小值为________． 解析：如图1，在AB，CD上分别取靠近A，D的四等分点M，N，连接MN，MB1，NC1， 则＝＋t＝＋t， 所以－＝＝t，t∈[0，1]， 所以P为线段MN上的动点． 将MNC1B1展开到与AMND在同一平面内，如图2所示． 　 AD＝2，AM＝，MB1＝＝＝， 则在图2中，AB1＝＋＝3， 所以B1P＋PD≥B1D＝＝， 当且仅当D，P，B1三点共线时等号成立， 所以B1P＋PD的最小值为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $