第1章 1.2 空间向量基本定理-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，从平面向量基本定理自然过渡，通过对比二维基底生成平面向量，引导学生探究三维基底生成空间向量的规律，系统梳理基底、基向量概念及正交分解方法，构建从二维到三维的知识支架。 资料以老子《道德经》语句引入培养数学眼光，通过思考问题链引导推理形成数学思维，结合空间四边形、四棱锥等实例训练用向量语言表达几何关系。课中助力教师引导学生从已知到未知，课后通过判断、解答题帮助学生强化应用，查漏补缺。

1．2　空间向量基本定理 课标要求　1.掌握空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量正交分解．　2.会用基底表示空间向量．　3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法． “道生一，一生二，二生三，三生万物”，这句话出自老子的《道德经》，他表示“道”生万物，从少到多，从简单到复杂的一个过程，联系我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一个二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一个三维的基底，可以生成空间中的所有向量．这节课我们来探究空间向量基本定理及其应用． 思考1　根据学习过的平面向量基本定理，说明基底与基向量的概念有什么不同？ 提示：一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 思考2　平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？ 提示：空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底． 知识点一　空间向量基本定理 1．定理 条件 三个不共面的向量a，b，c和任意一个空间向量p 结论 存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc 2.基底 三个向量a，b，c不共面，那么{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 3．正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)0也可以作为基向量．(　　) (2)空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示．(　　) (3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(　　) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)已知空间四个点O，A，B，C，{，，}为空间的一个基底，则下列说法正确的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 解析：选ACD.因为为空间的一个基底，所以O，A，B，C四点中任意三点不共线，且四点不共面，若O，A，B，C四点共面，则，，为共面向量，不可能构成空间基底，所以B错误，A，C，D正确． 3．若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3，且{a，b，c}不能构成空间的一个基底，则t＝________． 解析：因为{a，b，c}不能构成空间的一个基底，所以存在实数x，y，使得c＝xa＋yb， 即e1＋te3＝x(e1＋e2)＋y(e2＋e3)， 即e1＋te3＝xe1＋(x＋y)e2＋ye3， 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底， 则解得 答案：－1 【感悟提升】　(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间的一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 知识点二　用基底表示空间向量 　(对接教材例1)如图，在空间四边形OABC中，3＝，点E为AD的中点，设＝a，＝b，＝c.试用向量a，b，c表示向量. 【解】　因为3＝，所以＝＝(－)，所以＝＋＝＋(－)＝＋， 因为点E为AD的中点，所以＝＋＝＋(＋)， ＝＋＋＝a＋b＋c. 母题探究　本例中，若＝a，＝b，＝c，其他条件不变，再用向量a，b，c表示向量. 解：＝＋＝＋ ＝＋(＋)＝＋＋(－) ＝－＋＋＝－a＋b＋c. 【感悟提升】　用基底表示空间向量的步骤 　1.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，M为BC的中点，N为A1C1上靠近A1的三等分点，设＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示为(　　) A．a＋b－c B．－a＋b＋c C．a－b－c D．－a－b＋c 解析：选D.＝＋＋ ＝＋－ ＝(－)＋－ ＝(b－a)＋c－b＝－a－b＋c. 2．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，向量p＝3a＋2b＋c，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，则用基底{a＋b，a－b，c}表示向量p＝________． 解析：设p＝3a＋2b＋c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，即有3a＋2b＋c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc， 因为{a，b，c}是空间的一个单位正交基底， 所以有解得 所以p＝(a＋b)＋(a－b)＋c. 答案：(a＋b)＋(a－b)＋c 应用点　空间向量基本定理的应用 角度1　证明空间位置关系 　(对接教材例2) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分别是PA，BC的中点，PD⊥平面ABCD，且AD＝，CD＝1.求证： (1)MN∥平面PCD； (2)MC⊥DB. 【证明】　(1)因为＝－＝＋－(＋)＝－， 所以，，共面． 又因为MN⊄平面PCD，DC，DP⊂平面PCD，DC∩DP＝D，所以MN∥平面PCD. (2)因为底面ABCD为矩形，故DC⊥DA，故·＝(＋)·＝(－－)·(＋)＝·＋2－·－·－2－·＝0＋2－0－0－2－0＝12－×()2＝0， 所以⊥，所以MC⊥DB. 【感悟提升】　证明平行、垂直问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明直线平行，进一步证明线面平行． (2)将要证的线面垂直转化为线线垂直，再转化为两直线的方向向量的数量积为0. 角度2　求异面直线所成的角 　如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为________． 【解析】　∠BAC＝∠BAD＝∠CAD＝， 因为M，N分别为BC，AD的中点， 所以＝(＋)，＝－＝－，且AM＝CN＝， 则·＝(＋)·(－) ＝(·－·＋·－2) ＝×(－＋－1)＝－， 所以cos 〈，〉＝ ＝＝－， 即异面直线AM与CN所成角的余弦值为. 【答案】　 【感悟提升】　将异面直线所成的角转化为两条直线的方向向量的夹角(或其补角).再用基向量表示出两方向向量，并借助于向量的运算求出角． 注意　两异面直线所成的角的取值范围为(0，]，要把向量的夹角转化为异面直线所成的角． 　1.已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且a＝－2e1－2e2＋6e3，b＝e1＋xe2－3e3，若a∥b，则实数x＝________． 解析：由a∥b得，存在实数λ，使得a＝λb， 所以－2e1－2e2＋6e3＝λ(e1＋xe2－3e3)， 因为{e1，e2，e3}为空间的一个基底， 所以所以x＝＝＝1. 答案：1 2．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°.记向量＝a，＝b，＝c，取CC1的中点M. (1)用向量a，b，c表示向量，并求||； (2)求向量和向量夹角的余弦值． 解：(1)＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c， 因为AB＝AD＝2，AA1＝4，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°， 所以||＝ ＝＝2. (2)＝＋＝－＋＝－a＋c，所以|1|＝＝＝2， ·＝(a＋b＋c)·(－a＋c)＝－a2＋a·c－a·b＋b·c－a·c＋c2＝－4＋4－0＋4－2＋8＝10，所以cos 〈，〉＝＝＝. 1．(教材P12 T3改编)在正方体ABCD-A′B′C′D′中，M为BB′上靠近B′的四等分点，若＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}作为空间的一个基底，则向量可表示为(　　) A．－a－b－c B．－a＋b－c C．a－b＋c D．－a－b＋c 解析：选B.由题意得，＝＋＋＋＝－－＋＋＝－＋－＝－a＋b－c. 2．(多选)已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，则(　　) A．|a＋b|＝|c| B．{a－b，b＋c，a＋c}构成空间的一个基底 C．(a＋b)·(a＋c)＝1 D．{a－b，b＋c，a－c}构成空间的一个基底 解析：选ACD.因为{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，所以a，b，c均为单位向量且两两垂直，所以|a＋b|＝|c|＝，A正确； 因为a－b＋b＋c＝a＋c，所以{a－b，b＋c，a＋c}不能构成空间的一个基底，B错误； (a＋b)·(a＋c)＝a2＝1，C正确； 因为不存在实数x，y，使得x(a－b)＋y(b＋c)＝a－c，所以{a－b，b＋c，a－c}构成空间的一个基底，D正确． 3．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋υe3＝0，则λ2＋μ2＋υ2＝________． 解析：因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3为不共面向量．又λe1＋μe2＋υe3＝0，所以λ＝μ＝υ＝0，所以λ2＋μ2＋υ2＝0. 答案：0 4．(教材P14T2改编)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，∠A1AD＝∠A1AB＝，∠BAD＝，求异面直线AC1与BB1所成角的余弦值． 解：设＝a，＝b，＝c，连接AC(图略)，所以＝a＋b＋c，＝c， ·＝(a＋b＋c)·c＝a·c＋b·c＋c2＝1×2×＋1×2×＋22＝6， ||＝ ＝ ＝(12＋12＋22＋2×0＋2×1×2×＋2×1×2×) ＝. 设AC1与BB1所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈，〉| ＝＝＝， 所以异面直线AC1与BB1所成角的余弦值为. 1．已学习：空间向量基本定理及其应用． 2．须贯通：空间向量基本定理表明空间的任意一个向量都可以用空间的一个基底来表示，并且这种表示是唯一的，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：向量的夹角和线线角的范围不同，不要混淆． 学科网（北京）股份有限公司 $