第1章 1.1.2 空间向量的数量积运算-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学空间向量的数量积运算核心知识点，通过类比平面向量数量积引入空间向量夹角定义，系统梳理数量积的定义、性质、运算律及投影向量概念，结合求长度、证垂直的应用实例，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以“功”的物理情境导入，通过思考问题引导学生用数学眼光从平面向量推广到空间向量，例题解析与“感悟提升”培养数学思维（推理与运算能力），向量语言证明几何关系提升数学表达能力。课中辅助教师清晰授课，课后练习题与总结帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1．1.2　空间向量的数量积运算 课标要求　1.了解空间向量的夹角．　2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．　3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．　4.掌握两个向量的数量积在判断垂直关系中的应用，会利用向量的数量积求空间两点间的距离． 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝F·s＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角．为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引进了“数量积”的概念，本节课我们学习空间向量的数量积问题． 思考1　平面向量的数量积是如何定义的？ 提示：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a|·|b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 思考2　类比平面向量，如何探究空间向量夹角及数量积？ 提示：只要把两个空间向量平移到同一起点，就可利用平面向量的方法定义空间向量的夹角及数量积． 知识点一　空间向量的夹角 定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角 记法 〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π，当〈a，b〉＝时，a⊥b 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)空间向量与的夹角等于空间向量与的夹角．(　　) (2)对于空间非零向量a，b，若a∥b，则〈a，b〉＝0.(　　) (3)对于空间非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等.(　　) (4)在正四面体ABCD中，与的夹角等于60°.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知a，b是空间非零向量，若|a|＝|b|＝|a＋b|，则〈a，b〉＝________． 解析：因为|a|＝|b|＝|a＋b|，所以非零向量a，b不可能共线，设＝a，＝b，利用平行四边形法则得到＝a＋b， 如图，所以＝b，所以△OAC为等边三角形，得∠OAC＝，故∠AOB＝， 即〈a，b〉＝. 答案： 3．如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，若AB＝，AA′＝1，则向量与的夹角为________，与的夹角为________． 解析：易知AA′⊥AB，而AB＝，AA′＝1，所以tan ∠AA′B＝，即∠AA′B＝.因为CC′∥AA′，所以与的夹角为∠AA′B＝；因为B′C′⊥平面ABB′A′，BA′⊂平面ABB′A′，所以BA′⊥B′C′，所以与的夹角为. 答案：　 【感悟提升】　对两个空间向量夹角的理解 (1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π⇔a∥b(a，b为非零向量)； (2)〈，〉＝〈，〉＝π－〈，〉． 知识点二　空间向量的数量积 1．数量积的定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos_〈a，b〉． 2．数量积的性质(a，b是非零向量) 向量数量积的性质 垂直 a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝|a||a|cos_〈a，a〉＝|a|2； |a|＝；|a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 3.投影向量 类别 作法 图形表示 符号表示 向量a在向量b上的投影向量 将向量a，b(直线l)平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b(直线l的方向向量)共线的向量c c＝|a|·cos 〈a，b〉 向量a在直线l上的投影向量 向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量 4.数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 　(1) 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则集合{y|y＝·，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 (2)已知四面体ABCD的所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则·＝ ________． 【解析】　(1)y＝·＝·(＋) ＝2＋·＝1＋·， 因为⊥，所以·＝0， 所以y＝1＋0＝1，则{y|y＝·，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数为1. (2)因为点E，F分别为棱AB，AD的中点，且四面体ABCD所有棱长均为2， 则＝＋， ＝＋， 所以·＝(＋)·(＋)＝(||·||·cos 60°＋||·||·cos 60°＋||2＋||·||·cos 60°)＝×(2×2×＋2×2×＋22＋2×2×)＝. 【答案】　(1)A　(2) 【感悟提升】　(1)求空间向量数量积的步骤 ①将各个向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； ②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积形式； ③代入a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解． (2)空间向量数量积a·b的几何意义 数量积a·b等于向量a在向量b上的投影向量c与向量b的数量积，即a·b＝c·b. 　1.已知非零空间向量a在向量b上的投影向量为b，|b|＝4，则(a－b)·b＝(　　) A．－4 B．－6 C．－8 D．－16 解析：选C.非零向量a在向量b上的投影向量为b，|b|＝4，则()＝b，解得a·b＝8，故(a－b)·b＝a·b－b2＝8－16＝－8. 2．在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都为2，且∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则·的值为________． 解析： 根据题意，画出空间几何体如图．＝＋，＝＋＋＝－＋＋，因为∠BAA1＝∠CAA1＝∠BAC＝60°， 则·＝(＋)·(－＋＋) ＝－2＋·＋·＋ ＝－4＋2×2×cos 60°＋2×2×cos 60°＋4＝4. 答案：4 应用点　空间向量数量积的应用 角度1　求长度 　(对接教材例2)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝，cos ∠BAA1＝，则AC1＝(　　) A． B．2 C． D． 【解析】　 在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，过点A1向AB作垂线，垂足为点E， 则AE＝AA1cos ∠BAA1＝， 所以||＝－2×＝， ||＝|＋＋| ＝(||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·) ＝＝.所以AC1＝. 【答案】　A 【感悟提升】　求线段长度的步骤 (1)将线段用向量表示； (2)用已知夹角和模的向量表示该向量； (3)利用公式|a|＝即可求长度． 角度2　证垂直 　 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，AA1⊥平面ABC，E，F分别是BB1，A1C1的中点．求证：AF⊥CE. 【证明】　设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝2，|b|＝2，|c|＝2，a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0， ＝＋＝＋(－) ＝－a＋b＋c， ＝＋＝－b＋c. 所以·＝(－a＋b＋c)·(－b＋c) ＝a·b－b2－c·b－a·c＋b·c＋c2 ＝0， 所以⊥，即AF⊥CE. 【感悟提升】　用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量； (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题． 　1.如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上(不含端点)，＝λ，当∠APC为直角时，λ的值是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由题设有＝＋＋＝－＋＋， 故＝λ＝－λ＋λ＋λ， 而＝1＋＝λ－λ－λ＋－＝(λ－1)＋(1－λ)－λ， 同理，＝(λ－1)＋(1－λ)－λ， 因为∠APC为直角，故·＝0， 即(λ－1)2－2λ(1－λ)＝0，故3λ2－4λ＋1＝0， 解得λ＝1(舍去)或λ＝. 2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°.记向量＝a，＝b，＝c，取B1C1的中点M，则||＝________． 解析：因为AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°， 所以a·b＝0，a·c＝b·c＝1×1×cos 60°＝. 因为＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c， 所以2＝(a＋b＋c)2 ＝a2＋b2＋c2＋a·b＋b·c＋2a·c ＝12＋×12＋12＋0＋＋2×＝， 所以||＝. 答案： 1．(2026·宿迁期中)已知|a|＝4，空间向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则空间向量a在向量e上的投影向量为(　　) A．2e B．－2e C．－a D．a 解析：选B.空间向量a在向量e上的投影向量为·e，因为e为单位向量， 所以|e|＝1，又〈a，e〉＝， 所以a·e＝4×cos ＝－2，所以·e＝－2e. 2．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos 〈，〉的值是(　　) A． B． C．－ D．0 解析：选D.由题意·＝·(－)＝·－· ＝||||cos －||||cos ＝||(||－||)， 又OB＝OC，即||＝||，得·＝0， 所以cos 〈，〉＝＝0. 3．(教材P9练习T4改编)若线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α，且AB＝，BD＝2，AC＝3，则CD＝________． 解析：因为AC⊥α，线段AB，BD在平面α内，所以AC⊥AB，AC⊥BD， ＝＋＋，又BD⊥AB， 所以2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝4＋3＋9＋0＝16， 所以CD＝4. 答案：4 4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，E是DD1上一点．若A1D1＝C1D1＝2，DD1＝3，DE＝，利用向量法证明：B1M⊥AE. 证明：设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)， ＝＋＝＋＝b－c， 所以·＝[c＋(a＋b)]·(b－c) ＝－c2＋b2＝－2＋2＝0， 所以⊥，即B1M⊥AE. 1．已学习：空间向量的夹角、投影向量、空间向量数量积的性质及运算律． 2．须贯通：利用空间向量的数量积研究线段长度及位置关系，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：体会空间向量的工具性作用，利用向量的运算得出向量的位置关系后，一定要转化为相应的几何关系． 学科网（北京）股份有限公司 $