空间向量基本定理 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练通过题型分层设计，以基础概念辨析为起点，逐步过渡到综合应用，构建“概念理解-定理应用-问题解决”的知识巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|基底判定、向量线性表示|单选题聚焦单一知识点，如基底概念辨析，夯实抽象能力| |综合应用|共线共面定理、参数计算|多选题与填空题结合图形情境，深化定理理解，发展推理意识| |拓展提升|空间向量运算与长度求解|解答题综合运用定理解决实际问题，体现数学语言表达现实世界的能力|

高二数学空间向量基本定理同步训练 一、单选题： 1.设向量、、不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，在四面体中，是棱上靠近点的三等分点，，分别是，的中点设，，，用，，表示，则(    ) A. B. C. D. 3.下列条件中可使非零向量，，构成空间的一个基底的是(    ) A. ，，两两垂直 B. C. D. 4.如图，，分别是四面体的边，的中点，是的三等分点，且，用向量，，表示为(    ) A. B. C. D. 5.已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且若，，，四点共面，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 7.以下说法中，不正确的个数为(    ) “”是“，共线”的充要条件若，则存在唯一的实数，使得若，，则若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 A. B. C. D. 二、多选题： 8.在空间四点，，，中，若是空间的一个基底，则下列说法正确的是(    ) A. ，，，四点不共线 B. ，，，四点共面，但不共线 C. ，，，四点不共面 D. ，，，四点中任意三点不共线 9.下列四个说法正确的是(    ) A. 空间向量，，若，则 B. 若对平面外一点，有，则，，，四点共面 C. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 任意向量，，满足 三、填空题： 10.如图，在正方体中，用，，表示，则          ． 11.已知，，三点共线，则对空间任一点，存在三个不为的实数，，，使，那么的值为          ． 12.若是空间的一个基底，且存在实数，，使得，则，，满足的条件是          ． 13.已知空间的一个基底，，，若与共线，则          ，          ． 14.在正四棱锥中，若，平面与棱交于点，若，则           ． 四、解答题： 15.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，设，，，，，为空间的一个基底，求： 的长． 高二数学空间向量基本定理答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量共面定理以及空间向量基本定理，是基础题． 空间向量的一组基底，任意两个不共线，并且三个向量不共面，判断选项即可． 【解答】 解：由已知及向量共面定理，易得选项A、中的向量都是共面向量； 选项D中的向量也是共面向量； 只有，，不共面，故可作为空间的一个基底． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了空间向量的基本定理，属基础题． 根据空间向量的线性运算求解即可． 【解答】 解： ， 故选D． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】因为，所以，所以，即． 又，，所以． 故选D 5.【答案】  【解析】若，，，四点共面，则，则故选D． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量共面定理，是基础题． 根据空间向量共面定理可得，解出即可． 【解答】 解：由题可得． 又动点在所在平面内运动， 所以，解得． 故选B． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的共线、垂直及数量积运算，以及空间向量的基本定理，属中档题． 中为充分不必要条件中需要显然不成立中，，不共面，则，，也不共面，故正确中 【解答】 解：由， 可得， 故， 故，，故与反向共线，故充分性成立， 而，同向共线时，故必要性不成立， 故“”是“，共线”的充分不必要条件，故不正确 ，时，不存在实数，使得，故不正确； 若，则或或与垂直， 又，故显然不一定有，故不正确 设，，共面， 则存在不全为的实数、、使得， 即， 又，，不共面， 则，即， 这与、、不全为矛盾， 故，，不共面， 则可以构成空间的一个基底，故正确 ，，， ，不一定为， 故不一定成立，故不正确． 故不正确的有，共个， 故选C． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量共面定理，基底的含义，属于基础题． 根据基底的含义，非零向量，，不在同一平面内，即，，，四点不共面，从而可得结论． 【解答】 解：因为是空间向量的一个基底， 所以非零向量，，不在同一平面内， 即，，，四点不共面， 所以、、选项说法正确，B错误． 故选：． 9.【答案】  【解析】对于若，则，故A正确 对于若对平面外一点，有，则，即得，所以，，共面，则，，，四点共面，故B正确 对于假设不是空间的一个基底，则，，共面，设，，，因为，所以有，整理可得，因为是空间的一个基底，所以有显然该方程组不成立，故假设错误，所以也是空间的一个基底，故C正确 对于由于是一个实数，也是一个实数，则由可得和共线，与已知，，的任意性不符，故D错误． 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的基本定理应用，以及平面向量的三点共线结论，属基础题． 由，，三点共线，故有，且、，，将已知式子化成，即可根据向量基本定理得、、的关系式． 【解答】 解：已知，，三点共线， 故有，且、，， 又存在三个不为的实数，，，使， 即， 故，即， 故答案为． 12.【答案】  【解析】解：若，则，即共面， 由是空间的一个基底知不共面，故，同理． 13.【答案】   【解析】因为与共线，所以存在实数，使，即，  于是有解得 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了空间向量基本定理，考查了空间向量的线性运算，属于中档题． 根据空间向量的线性运算、空间基底等知识列方程，化简求得的值． 若是空间一组基底，则空间任意一个向量，都有，且的值唯一，这是空间向量的基本定理在具体应用时，可将已知或求转化为等量关系式，然后根据系数的对应关系来对问题进行求解． 【解答】 解：如图所示： 由已知可得，． 由题知四点共面，可设， 则， 所以 ， 整理可得，． 又因为不共面， 所以有，解得． 故答案为． 15.【答案】解：由题意知，，，， 且， ，，，， ． ， ， ， 的长是．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $