1.1.2 空间向量的数量积运算(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦空间向量的数量积运算，通过物理“功”的实例导入，引导学生从平面向量数量积自然过渡到空间，结合问题探究搭建学习支架，衔接夹角、数量积、投影向量等核心知识点。 资料以问题驱动学习，设置微思考、即学即练及立体几何模型例题，培养学生直观想象与数学运算能力。提能点与教材挖掘深化逻辑推理，随堂自测及时反馈，助力学生构建知识体系，提升解决立体几何问题的能力。

1.1.2　空间向量的数量积运算 课标要求 情境导入 1.了解空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积（数学抽象、数学运算）． 2.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义（直观想象）． 3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题（数学运算、逻辑推理）． 如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W=F•S=|F||S|•cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念，那么在空间中向量的数量积又是如何定义的呢？ 知识点一　空间向量的夹角 问题　你能从两个平面向量夹角的定义推广到空间中吗？为什么？ 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a，=b，则　　　　叫做向量a，b的夹角，记作　　　　 范围 　　　　 向量 垂直 如果〈a，b〉=　　　，那么向量a，b互相垂直，记作　　　　 【微思考】 〈a，b〉与〈b，a〉，〈－a，b〉与〈a，－b〉，〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，b〉与〈－a，－b〉，之间分别有什么关系？ 1.对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉=0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.在正四面体ABCD中，与的夹角等于　　　　；与的夹角等于　　　　． 3.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 规律方法 对两个空间向量夹角的理解 （1）求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错； （2）两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π． 知识点二　空间向量的数量积 问题　类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？ 1.定义：已知两个非零向量a，b，则　　　　　叫做a，b的数量积，记作a•b．即a•b=　　　　　　． 2.性质：（1）若a，b为非零向量，则a⊥b⇔　　　； （2）a•a=　　　　　　=　　　　=a2； （3）a•e=|a|cos〈a，e〉（其中e为单位向量）； （4）若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉=； （5）特别地，零向量与任意向量的数量积为0． 3.运算律：（1）（λa）•b=　　　　，λ∈R； （2）交换律：a•b=　　　　； （3）分配律：（a＋b）•c=　　　　　　． 【微思考】 对于向量a，b，c，（a•b）c=a（b•c）成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？ （链接教材P7例2（1））如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算： （1）•；（2）•； （3）•；（4）•． 规律方法 求空间向量数量积的步骤 （1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清； （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； （3）代入a•b=|a||b|cos〈a，b〉求解． 训练 1　（1）（2026•扬州月考）如图，在棱长为的正方体ABCD－A1B1C1D1中，•=（　　） A．2　 B．1 C．2　 D． （2）若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，=2a－2b，=b－c，则•=　　　　． 知识点三　投影向量 问题　在平面向量中，我们学习了向量的投影向量，类似地，对于空间任意两个非零向量a，b，怎样得到向量a在向量b上的投影向量呢？ 作法 图形表示 符号表示 向量a在向量b上的投影向量 将向量a，b（直线l）平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b（直线l的方向向量）共线的向量c c=|a|•cos〈a，b〉• 向量a在直线l上的投影向量 向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量 （2026•温州月考）已知向量a，b，|a|=6，|b|=8，〈a，b〉=120°，则a在b上的投影向量为　　　，b在a上的投影向量为　　　　． 听课记录　　 　　 规律方法 投影向量中的两点注意 （1）在投影向量公式中，是向量b的单位向量，不可以省去； （2）向量a在向量b上的投影向量也可以表示为•． 训练 2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b． （1）确定在平面ABC上的投影向量； （2）确定在上的投影向量． 提能点　空间向量数量积的应用 角度1　利用数量积求夹角和模 （1）（链接教材P7例2（2））已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， AA1=AB=AD=1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为（　　） A．6B．C．3D． （2）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，〈1，〉=（　　） A.30°　　B.60°　　C.90°　　D.120° 听课记录　　 　　 规律方法 1.利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 2.利用数量积求两点间的距离或线段的长度的步骤 （1）将此线段用向量表示； （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3）利用|a|=，计算出|a|，即得所求距离． 角度2　利用数量积证明垂直问题 （链接教材P8例3）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD． 规律方法 利用数量积证明垂直问题的步骤 （1）把几何问题转化为向量问题； （2）用已知向量表示所证向量； （3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0； （4）将向量问题回归到几何问题． 训练 3　（1）已知空间向量a，b满足|a|=，|b|=1，a⊥（a＋2b），则向量a，b的夹角为（　　） A．　 B． C．　 D． （2）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，M，N分别是AB，CD的中点．证明：MN⊥AB． 1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2.已知e1，e2是空间中两个互相垂直的单位向量，a=2e1＋3e2，b=ke1－4e2，且a⊥b，则实数k=（　　） A．4　　 B．5　　 C．6　　 D．8 3.在三棱锥P－ABC中，∠PAB=∠ABC=，〈，〉=，PA=2，AB=1，BC=3，则||=（　　） A．　 B．2 C．　 D．1 4.〔一题多解〕如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，P是 C1D1的中点，则与所成角的大小为　　　　；•=　　　　． 　三垂线定理 　 通过教材P10习题8题的证明，我们可得到三垂线定理：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直． 该定理用数学语言描述为：如图，已知点P是平面α外一点，PA是平面α的斜线，交α于点A，过点P作平面α的垂线PO，垂足是O，直线OA是PA在平面α上的投影，对平面α上的任一直线l，若直线l⊥OA，则直线l⊥PA． 【问题探究】 1.保持上述定理的已知条件不变，若已知直线l⊥PA，能否得到直线l⊥OA？ 2.保持上述定理的已知条件不变，你认为直线l⊥OA是直线l⊥PA的什么条件？ 【迁移应用】 1.已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的（　　） A．内心　 B．外心 C．垂心　 D．重心 2.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则点P到BC的距离是　　　　． 完成课后作业　第一章　1.1　1.1.2 答案 1.1.2　空间向量的数量积运算 知识点一　 导入新知 问题　提示：能．因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量． 学习新知 ∠AOB　〈a，b〉　［0，π］　　a⊥b 微思考 提示：〈a，b〉=〈b，a〉，〈－a，b〉=〈a，－b〉，〈－a，b〉=π－〈a，b〉，〈－a，－b〉=〈a，b〉． 即学即练 1.B　因为a∥b包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况，所以当a∥b时，有〈a，b〉=0或〈a，b〉=π，不能得到〈a，b〉=0，充分性不成立；〈a，b〉=0，则a和b方向相同，有a∥b，必要性成立，故“a∥b”是“〈a，b〉=0”的必要不充分条件．故选B． 2.120°　60°　解析：由正四面体每个面都是正三角形可知，〈，〉=180°－〈，〉=180°－60°=120°；〈，〉=〈，〉=60°． 3.解：连接BD（图略）， 则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC=45°，AC=AD′=CD′， 所以〈，〉=〈，〉=45°， 〈，〉=180°－〈，〉=135°， 〈，〉=∠D′AC=60°， 〈，〉=180°－〈，〉=180°－60°=120°， 〈，〉=〈，〉=90°． 知识点二　 导入新知 问题　提示：能． 学习新知 1.|a||b|cos〈a，b〉　|a||b|cos〈a，b〉 2.（1）a•b=0　（2）|a||a|cos〈a，a〉　|a|2 3.（1）λ（a•b）　（2）b•a　（3）a•c＋b•c 微思考 提示：不满足．（a•b）和（b•c）都是实数，而a和c方向也不一定相同． 【例 1】　解：（1）•=•=||•||•cos〈，〉=×1×1×cos 60°=． （2）•=•=||•||•cos〈，〉=×1×1×cos 0°=． （3）•=•=||•||•cos〈，〉=×1×1×cos 120°=－． （4）•=（＋）•（＋） =［•（－）＋•（－）＋•＋•］=［－•－•＋（－）•＋•］ =×（－－＋－＋）=－． 训练 1　（1）A　（2）－1　解析：（1）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥AD1，所以•=（＋）•=（＋）•=•＋•=0＋×2×cos 45°=2.故选A． （2）由题意得，a•b=b•c=c•a=12×cos=，则•=2（a－b）•（b－c）=2（a•b－a•c－b2＋b•c）=2（－－1＋）=－1. 知识点三　 导入新知 问题　提示：在空间中，由于向量a与向量b是自由向量，可将向量a与向量b平移到同一个平面内，进而利用平面上求投影向量的方法， 得到向量a在向量b上的投影向量． 【例 2】　－b　－a　解析：由题可得与向量a，b同方向的单位向量分别为，，由|a|=6，|b|=8，〈a，b〉=120°，根据投影向量的定义，则a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉•==－b，b在a上的投影向量为|b|cos〈a，b〉==－a． 训练 2　解：（1）因为PA⊥平面ABC，所以在平面ABC上的投影向量为． （2）因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， 可得PA⊥AB，所以•=0. 因为CB⊥AB，所以•=0， 所以•=（＋＋）• =•＋•＋• =0＋a2＋0=a2， 又||=a，所以在上的投影向量为 ||•cos〈，〉•=||••=•=•=． 提能点　 【例 3】　（1）B　（2）B　解析：（1）设=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|=1，且〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60°，因此a•b=b•c=c•a=．由=a＋b＋c，得||2=2=a2＋b2＋c2＋2a•b＋2b•c＋2c•a=6.所以||=． （2）不妨设正方体的棱长为1，则•=（＋）•（＋）=（＋）•（＋）=•＋2＋•＋•=0＋2＋0＋0=2=1，又∵||=，||=，∴cos〈，〉===，∴〈，〉=60°． 【例 4】　证明：设=a，=b，=c， 则a•b=0，b•c=0，a•c=0，|a|=|b|=|c|， ∵=＋=＋（＋）=c＋a＋b， =－=b－a， =＋=（＋）＋=a＋b－c， ∴•=（c＋a＋b）•（b－a）=c•b－c•a＋a•b－a2＋b2－b•a=（b2－a2）=（|b|2－|a|2）=0. 于是⊥，即A1O⊥BD． 同理可证⊥，即A1O⊥OG． 又∵OG⋂BD=O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，∴A1O⊥平面GBD． 训练 3　（1）D　由|a|=，|b|=1，且a⊥（a＋2b），可得a•（a＋2b）=a2＋2a•b=0，解得a•b=－1，所以cos〈a，b〉===－，又〈a，b〉∈［0，π］，所以〈a，b〉=． （2）证明：由题意可知，||=||=||=a，且向量，，两两的夹角均为60°，连接AN（图略）， 则=－=（＋）－， 所以•=（•＋•－2）=（a2cos 60°＋a2cos 60°－a2）=0， 所以⊥，即MN⊥AB． 随堂自测 1.A　选项A中向量的夹角为45°，选项B、C、D中的向量的夹角为135°． 2.C　因为a⊥b，且e1，e2是空间中两个互相垂直的单位向量，所以a•b=（2e1＋3e2）•（ke1－4e2）=2k＋（3k－8）e1•e2－12=2k－12=0，解得k=6. 3.C　由已知得=＋＋，所以||2=（＋＋）2=||2＋||2＋||2＋2•＋2•＋2•=22＋12＋32＋2×2×1×（－）＋2×2×3×（－）＋2×1×3×（－）=3，所以||=．故选C． 4.60°　1　解析：法一　连接A1D（图略），则∠PA1D就是与所成的角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1=DA1=PD=，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D=60°，即与所成角的大小为60°，因此•=××cos 60°=1. 法二　根据向量的线性运算可得•=（＋）•（＋）=2=1.由题意可得PA1=B1C=，则××cos〈，〉=1，cos〈，〉=，从而〈，〉=60°． 【教材挖掘】 问题探究 1.提示：能．取直线l的方向向量a，同时取向量，，．因为l⊥PA，所以a ⊥，所以a•=0.又因为PO⊥平面α，所以l⊥PO，所以a⊥，所以a•=0.所以a•=a•（－）=a•－a•=0，所以l⊥OA． 2.提示：充要条件． 迁移应用 1.B　如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC．所以PO⊥平面ABC．因为PA=PB=PC，且∠POA=∠POB=∠POC=90°，所以△PAO≌△PBO≌△PCO，所以AO=BO=CO．即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心． 2.4　解析：由PA⊥平面ABC，在△ABC中，作AD⊥BC于点D，连接PD（图略），由三垂线定理知，PD⊥BC，即PD就是点P到BC的距离．在△ACD中，AC=5，CD=3，所以AD=4.在Rt△PAD中，PA=8，AD=4，所以PD==4． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $