第1章 1.1.1 空间向量及其线性运算-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦空间向量及其线性运算核心知识点，通过平面向量到空间向量的推广脉络，系统梳理空间向量的概念、加减与数乘运算及共线、共面向量的判定，结合思考问题、对比分析及例题解析构建学习支架。 资料以滑翔伞受力情境引入培养数学眼光，通过问题链引导学生推理空间向量与平面向量的联系发展数学思维，借助几何表示与代数运算结合强化数学语言表达。课中助力教师引导学生迁移知识，课后通过练习题帮助学生查漏补缺，巩固空间向量运算与应用能力。

1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其线性运算 课标要求　1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．　2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程．　3.掌握空间向量的线性运算． 如图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向且大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？能对这些力进行力的合成吗？这就是本节我们学习的空间向量及其线性运算． 思考1　我们学习了平面向量，现在要将向量推广到三维空间．你认为空间向量和平面向量的核心概念有什么联系？ 提示：空间向量是平面向量的三维推广，核心概念完全类似，只是坐标多了一个维度． 思考2　平面向量的线性运算包括加、减、数乘，这些运算规则能直接用到空间向量中吗？ 提示：能． 思考3　平面向量共线，需要“a＝λb(b≠0，λ∈R)”，那空间中两个向量共线，这个条件还成立吗？空间里多个向量的位置关系除了“共线”“不共线”之外，还存在哪些情况？ 提示：成立．空间里多个向量的位置关系还有“共面”“不共面”． 知识点一　空间向量的有关概念 1．定义 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 3．表示法 (1)几何表示法：空间向量用有向线段表示． (2)字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||． 4．几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|＝1或 ||＝1 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量 －a 共线向量 或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a a∥b或 ∥ 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或 ＝ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)在空间中，单位向量唯一．(　　) (2)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(　　) (3)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线.(　　) (4)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中： (1)单位向量有________________________________； (2)模为的向量有________个； (3)与相等的向量有__________________________________________________________； (4)的相反向量有______________________________________． 答案：(1)，，，，，，， (2)8　(3)，， (4)，，， 【感悟提升】　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等；两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等、方向相反． 知识点二　空间向量的加减运算 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法运算 ＝＋＝a＋b 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法运算 ＝－＝a－b 　(对接教材探究)如图，已知平行六面体ABCD -A′B′C′D′，化简下列各式： (1)＋＋； (2)－＋. 【解】　(1)＋＋＝＋＝. (2)因为＝，所以－＋＝－＋＝＋＋＝＋＝. 【感悟提升】　空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 　如图，已知空间四边形ABCD，点E，F，G分别是BC，CD，BD的中点，请化简下列各式并在图中标出化简后的向量： (1)－－； (2)＋＋. 解： (1)－－＝＋＋＝，如图所示． (2)连接GF，因为点E，F，G分别是BC，CD，BD的中点，所以＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝，如图所示． 知识点三　空间向量的数乘运算及共线向量 1．数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0 运算律(λ，μ∈R) 结合律 λ(μ a)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μ_a λ(a＋b)＝λa＋λb 2.共线向量 (1)向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． (2)空间直线的确定 在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，空间直线可以由直线上一点和它的方向向量确定． 　(1)如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点N在上，且ON＝NA，点M为BC的中点，则＝(　　) A．a－b＋c B．a＋b＋c C．－a＋b＋c D．a＋b－c (2)设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝－a＋2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________． 【解析】　(1)依题意，N，M分别是OA，BC的中点， 则＝＋＋ ＝＋－＋ ＝－＋＋(－) ＝－＋＋＝－a＋b＋c. (2)由题意得＝＋＝(－2a－b)＋(－a＋2b)＝－3a＋b.因为A，B，D三点共线，所以与共线，存在实数λ，使得＝λ，即9a＋mb＝λ(－3a＋b). 根据向量相等的性质，可得解得 【答案】　(1)C　(2)－3 【感悟提升】　(1)利用数乘运算进行向量表示时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．明确目标时，要巧妙运用中点或其他分点的性质． (2)判定或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法： ①＝λ(λ∈R)； ②对空间任一点O，＝＋λ(λ∈R)； ③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1). 　1.如图， 在斜棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a＋b＋c B．－a－b－c C．－a＋b＋c D．－a－b＋c 解析：选A.＝＋＝＋＝＋＋＝a＋b＋c. 2．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点D满足＝x，E为AD的中点，且＝a＋b＋c，则x＝________． 解析： 由题意 ＝(＋) ＝＋(＋) ＝＋(＋x) ＝＋＋(－)＝＋＋＝a＋b＋c＝a＋b＋c， 解得x＝. 答案： 知识点四　共面向量 1．向量与平面平行 如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x_a＋y_b 提醒　已知e1，e2，e3为空间三个不共面的向量，若xe1＋ye2＋ze3＝0(x，y，z∈R)，则x＝y＝z＝0. 　(1)若a，b，c是空间一组不共面的向量，则下列选项中不共面的一组向量为(　　) A．a－b，b＋c，c＋a B．－a＋c，－b－c，a＋b C．a＋b，b－c，a＋c D．a＋b，a－b，c (2)已知t∈R，A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任意一点．若＝－＋＋t，且A，B，C，P四点共面，则t＝________． 【解析】　(1)对于A，a－b＋(b＋c)＝c＋a，所以a－b，b＋c，c＋a是共面向量； 对于B，－a＋c＋(－b－c)＝－a－b＝－(a＋b)，所以－a＋c，－b－c，a＋b是共面向量； 对于C，a＋b－(b－c)＝a＋c，所以a＋b，b－c，a＋c是共面向量； 对于D，令a＋b＝x(a－b)＋yc，显然x，y无解，故a＋b，a－b，c不是共面向量． (2)因为A，B，C，P四点共面，则＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，又＝－＋＋t，即－＝－＋＋t， 即＝＋＋t， 所以＋＋t＝1，解得t＝. 【答案】　(1)D　(2) 【感悟提升】　证明M，P，A，B四点共面时的常用方法 (1)＝x＋y； (2)对于空间任意一点O，＝＋x＋y； (3)对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； (4)∥(或∥或∥). 　1.下列条件中，使点M与点A，B，C(点O不同于上述四点)一定共面的为(　　) A．＋＋＝0 B．＝2＋－ C．＝3＋2－6 D．＋＋＋＝0 解析：选A.对于＋＋＝0可得，＝－－，由空间共面向量定理知，M，A，B，C一定共面，故A正确；对于＝2＋－可知，系数和不为1，故M，A，B，C不共面，故B错误；对于＝3＋2－6，系数和3＋2－6＝－1≠1，故M，A，B，C不共面，故C错误；对于＋＋＋＝0，可得＝－－－，系数和不为1，根据空间向量共面的推论可知M，A，B，C不共面，故D错误． 2．已知平面α内有A，B，C，D，E五点，其中任意三点不共线，O为空间中一点，若满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y＝________． 解析：因为A，B，C，D四点共面，且＝＋x＋y，故＋x＋y＝1，同理2x＋＋y＝1，两式相减可得x＝，故y＝，故x＋3y＝. 答案： 1．已知空间四点A，B，C，D，则＋－＝(　　) A．0 B． C． D． 解析：选C.依题意，＋－＝＋＋＝＋＝. 2．(2026·盐城月考)向量a，b不平行，则存在两个非零常数λ，μ，使c＝λa＋μb是a，b，c共面的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.充分性证明：由a，b不平行，c＝λa＋μb，则a，b，c必定共面，所以充分性成立；必要性证明：由a，b，c共面，且a，b不平行，当c，a共线时，μ＝0，则不存在两个非零常数λ，μ，使得c＝λa＋μb，所以必要性不成立．综上，向量a，b不平行，则存在两个非零常数λ，μ，使c＝λa＋μb是a，b，c共面的充分不必要条件． 3．(教材P10T5改编)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，点N为B1D1上靠近点D1的三等分点．设＝a，＝b，＝c，则＝_____________________________________. 解析： ＝＋＋＝－＋＝(＋)－＋(＋) ＝－＋－＝－a＋b－c. 答案：－a＋b－c 4．(教材P10 T10改编)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，点E，H分别是AB，AD的中点，点F，G分别是CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形． 证明：因为点E，H分别是AB，AD的中点， 所以＝，＝， ＝－＝－ ＝＝(－) ＝(－)＝， 所以∥且||≠||， 又F∉EH，所以四边形EFGH是梯形． 1．已学习：空间向量的有关概念、空间向量的线性运算、空间共线向量与共面向量、直线的方向向量． 2．须贯通：厘清空间向量的有关概念、空间向量的运算法则、利用空间向量解决三点共线及四点共面问题． 3．应注意：应抓住空间向量的“大小”和“方向”两个要素；向量共面与直线共面不同，不要混淆． 学科网（北京）股份有限公司 $