1.1.1 空间向量及其线性运算(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

**基本信息** 以空间向量线性运算为核心，通过概念辨析-运算应用-几何证明的递进设计，系统提炼共线/共面向量定理等方法，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|共线向量定理、共面向量定理、向量线性运算法则|从向量基本概念（相等、模）到线性运算，构建"概念-运算-判定"逻辑链| |综合运用|5题|几何体中向量分解、重心性质应用、四点共面证明|结合三棱柱/正方体等载体，实现从代数运算到几何证明的应用拓展|

1.1.1　空间向量及其线性运算 （时间：60分钟　满分：101分） ［备注：单选、填空题5分，多选题6分］ 1.下列命题中为真命题的是（　　） A．两个相等的向量，起点与终点一定相同 B．在四边形中，一定有＋= C．不相等的两个空间向量的模必不相等 D．空间任意三个向量a，b，2a－b一定是共面向量 2.在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与相等的是（　　） A．＋　 B．＋ C．＋－　 D．＋－ 3.下列条件中，能说明空间中不重合的三点A，B，C共线的是（　　） A．＋=　 B．－= C．||=||　 D．= 4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若=a，1=c，=b，则=（　　） A．－a＋b＋c　 B．a＋b＋c C．－a－b＋c　 D．a－b＋c 5.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且=－x＋，则实数x的值为（　　） A．　　 B．－　　C．　　 D．－ 6.〔多选〕已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列选项中正确的有（　　） A．－= B．=＋＋ C．= D．＋＋＋= 7.〔多选〕下列条件中，点P与A，B，C三点一定共面的是（　　） A．=＋ B．=＋＋ C．=＋＋ D．＋＋＋=0 8.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知=e1＋ke2，=5e1＋4e2，=－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k=　　　　． 9.在空间四边形ABCD中，连接AC，BD．若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－=　　　　． 10.（10分）（2026•金华月考）如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且=，=．求证：四边形EFGH是梯形． 11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若=x＋2y＋3z，则x＋y＋z=（　　） A.1　　 B．　　 C．　　 　 D.2 12.〔多选〕若空间中任意四点O，A，B，P满足=m＋n，其中m＋n=1，则下列结论正确的有（　　） A．P∈直线AB B．P∉直线AB C．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线 13.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心，点P为正方体表面及其内部的点，若点P满足=m＋n＋k，其中m，n，k∈R，且m＋n＋k=1，则满足条件的所有点P构成的图形的面积是　　　　． 14.（13分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，证明：A1，G，C三点共线． 15.（15分）如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且=，点G在AH上，且=m． （1）试用向量，，表示； （2）G，B，P，D四点共面，求m的值． 1.1.1　空间向量及其线性运算 1.D　两个相等的向量，起点与终点可能不同，A错误；满足＋=的一定是平行四边形，一般四边形不满足，B错误；两个不相等的空间向量，其模可以相等，C错误；由共面向量定理可知，D正确．故选D． 2.B　＋=，故A错误；＋=，故B正确；＋－=＋，故C错误；＋－=＋=，故D错误．故选B． 3.D　对于空间中的任意向量，都有＋=，选项A不满足题意；若－=，则＋=，而＋=，则=，即B，C两点重合，选项B不满足题意；||=||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项C不满足题意；=，则A，B，C三点共线，选项D满足题意． 4.A　因为M是A1C1的中点，所以=＋－=－＋=－＋=－＋（＋）=－＋=－a＋b＋c．故选A． 5.A　=－x＋=－x＋（－）=－x－．又∵P是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，∴－x－=1，解得x=． 6.ABC　作出平行六面体ABCD－A′B′C′D′如图， 可得－=＋=，故A正确；＋＋=＋＋=，故B正确；C显然正确；＋＋＋=＋=，故D不正确． 7.AB　由=＋得点A，B，C共线，故P，A，B，C共面；对于B，＋＋=1，故P，A，B，C共面；对于C、D，显然不满足，故C、D错误．故选A、B． 8.1　解析：=＋＋=（e1＋ke2）＋（5e1＋4e2）＋（e1＋2e2）=7e1＋（k＋6）e2.设=λ，则7e1＋（k＋6）e2=λ（e1＋ke2），∴解得k=1． 9.0　解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则=，故＋－－AD =＋－＋=＋＋=0． 10.证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点， ∴=，=， 则=－=－==（－）=（－） =（－）=， ∴∥且||=||≠||． 又点F不在直线EH上， ∴四边形EFGH是梯形． 11.B　因为=＋＋=＋＋=＋＋（－），所以2=＋＋，所以=＋＋，所以x=，2y=，3z=，解得x=，y=，z=，所以x＋y＋z=＋＋=． 12.ACD　因为m＋n=1，所以m=1－n，所以=（1－n）＋n，即－=n（－），即=n，所以与共线．又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB．因为=m＋n，故O，A，B，P四点共面．故选A、C、D． 13.　解析：因为点P满足=m＋n＋k，其中m，n，k∈R，且m＋n＋k=1，所以A，M，N，P四点共面，又因为点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心，所以CN=B1N，AM=MC，连接MN，AB1，则MN∥AB1，所以△AB1C即为经过A，M，N三点的平面与正方体的截面，故P点可以是正方体表面上线段AB1，B1C，AC上及其围成的三角形内部的点．所以所有点P构成的图形的面积为×××sin 60°=． 14.证明：连接GB，GD，GC1（图略）， 因为=＋＋=＋＋． 又G为△BC1D的重心，所以＋＋=0， 又=＋， =＋， =＋， 所以3=＋＋， 即=（＋＋）=， 所以∥，即A1，G，C三点共线． 15.解：（1）如图，连接BG． 因为=－，=， 所以=－． 因为=＋， 所以=＋－=－＋＋． 因为=，所以=， 所以=（－＋＋）=－＋＋． 又因为=－， 所以=－＋＋． （2）因为=m， 所以=m=－＋＋． 因为=－＋=－＋， 所以=（1－）＋（－1）•＋． 又因为G，B，P，D四点共面， 所以1－=0，m=，即m的值是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $