1.1.1 空间向量及其线性运算-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 该同步练通过“基础巩固-综合提升-探索创新”三层设计，梯度覆盖向量共线、线性表示、共面判断等知识点，从概念辨析到空间应用，强化数学眼光、逻辑推理与数学表达，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|向量共线、相等向量、线性表示|选择（含多选）、填空题，聚焦概念辨析与基础运算，如共线条件判断| |关键能力·综合提升|共面判断、四点共面、向量化简|多选与解答题，强化逻辑推理，如利用共面向量定理求参数| |核心价值·探索创新|空间几何体中向量应用|证明与综合题，突出数学表达，如正方体中三点共线证明|

[必备知识·基础巩固] 1．与共线是直线AB∥CD的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若与共线，则∥，此时AB与CD可能平行也可能为同一直线；而若AB∥CD，则必有与共线． 答案　B 2．如图所示，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 解析　根据题意可知，四边形ABCD是平行四边形．与，与均为相反向量．与方向不同，与是相等向量． 答案　D 3．在三棱锥P­ABC中，点M为线段BC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A．0　　　　　　　 B． C．1 D．－1 解析　在三棱锥P­ABC中，点M为线段BC的中点，连接PM，则＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋，又＝x＋y＋z，所以x＝－1，y＝z＝，所以x＋y＋z＝0，故选A. 答案　A 4．(多选)给出下列命题，其中正确的命题为(　　) A．若＝，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若＝＋，则可知＝3 C．若Q为△ABC的重心，则＝＋＋ D．非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面 解析　在平行四边形ABDC中，满足＝，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段，A不正确．因为＝＋，所以3＝＋2，所以2－2＝－，所以2＝，所以3＝＋，即3＝，B正确．若Q为△ABC的重心，则＋＋＝0，所以3＋＋＋＝3，所以3＝＋＋，即＝＋＋，C正确．在三棱柱ABC­A1B1C1中，令＝a，＝b，＝c，满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，但a，b，c不共面，D不正确．故选BC. 答案　BC 5.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点M为线段AC1的中点，则＝______(用含有a，b，c的式子表示). 解析　＝＋＋AA1＝a＋b＋c，因为M是AC1的中点， 所以＝＝(a＋b＋c)，但＝＋，而＝－c， 所以＝－c＋(a＋b＋c)＝a＋b－c. 答案　a＋b－c 6．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则＋＝_______． 解析　因为＝＝，所以＋(－)＝＋＝. 答案　 7．已知A，B，P三点共线，O为空间任意一点，＝＋β，则β＝________． 解析　∵A，B，P三点共线，∴＝λ， 即－＝λ(－)，＝(1－λ)＋λ， 又＝＋β，∴∴β＝. 答案　 8．如图所示，在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量． (1)；(2)；(3)＋. 解析　(1)∵P是C1D1的中点， ∴＝＋＋＝a＋＋ ＝a＋c＋＝a＋c＋b. (2)∵N是BC的中点， ∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. (3)∵M是AA1的中点， ∴＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c. 又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，∴＋＝＋＝a＋b＋c. [关键能力·综合提升] 9．(多选)在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是(　　) A．＝3－2－ B．＋＋＋＝0 C．＋＋＝0 D．＝－＋ 解析　C选项中，因为＋＋＝0，所以＝－－，所以M与A，B，C必共面．其他选项均得不到M与A，B，C一定共面． 答案　ABD 10.已知A，B，C，D四点共面于α，且其中任意三点均不共线．设H为空间中任意一点且H∉α，若a＋b＋c＋2＝0，则a＋b＋c＝(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．－2 D．－1 解析　因为A，B，C，D四点共面，所以＝x＋y，其中x，y∈R， 所以－＝x＋y， 即＝(1－x－y)＋x＋y； 因为a＋b＋c＋2＝0，所以＝－－－， 而，，不共面，则－－－＝(1－x－y)＋x＋y＝1，即a＋b＋c＝－2. 故选C. 答案　C 11．在三棱锥A­BCD中，若△BCD是正三角形，E为其重心，则＋－－化简的结果为________． 解析　延长DE交边BC于点F， 则有＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0. 答案　0 12．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，则＋－＝__________， －－＝________． 解析　如图所示， ＋－＝＋＋＝＋＝， －－＝＋＋＝＋＋＝＋＝. 答案　　 13．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，证明：A1，G，C三点共线． 证明　连接GB，GD，GC1(图略)， ＝＋＋＝＋＋. 因为G为△BC1D的重心，所以＋＋＝0， 又＝＋， ＝＋， ＝＋， 所以3＝＋＋， 即＝(＋＋)＝， 所以∥，即A1，G，C三点共线． [核心价值·探索创新] 14．(多选)空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式成立的是(　　) A．＋＋＋＝0 B．＋＋＋＝0 C．＋＋＋＝2 D．－＋＋＝ 解析　易知四边形EFGH为平行四边形，所以＋＋＋＝＋＋＝＋＝，故A不成立；＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0，故B成立；＋＋＋＝＋＋＝＋＝2，故C成立；－＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝，故D成立． 答案　BCD 15．如图，四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的各个面都是平行四边形，E，F分别在BB1和DD1上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)求证：A，E，C1，F四点共面； (2)已知＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值． (1)证明　∵＝＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋. 又AC1，AE，AF有公共点A， ∴A，E，C1，F四点共面． (2)解析　∵＝－ ＝＋－(＋) ＝＋－－ ＝－＋＋. ∴x＝－1，y＝1，z＝.∴x＋y＋z＝. 学科网（北京）股份有限公司 $