章末检测（1） 空间向量与立体几何(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

**基本信息** 空间向量与立体几何单元卷，以无人机配送、瓮城建筑等真实情境为载体，覆盖空间向量运算、线面关系证明、空间角与距离计算等核心知识，通过基础巩固与探究创新题梯度设计，培养数学眼光、思维与语言，适配高中数学单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|空间向量模长（题1）、线面垂直（题7）|无人机情境体现数学眼光| |多项选择|3/18|四点共面（题9）、折叠问题（题11）|多角度辨析考查数学思维| |填空|3/15|共面向量（题12）、二面角（题13）|基础运算强化数学语言| |解答题|5/77|线线垂直证明（题16）、存在性探究（题19）|瓮城模型与探究题提升应用能力|

章末检测（一）　空间向量与立体几何 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.某公司利用无人机进行点餐即时配送，利用空间坐标表示无人机的位置，开始时无人机在点O（0，0，0）处起飞，6秒后到达点A（0，0，90）处，15秒后到达点B处，若=（120，0，0），则||=（　　） A．30　 B．120 C．150　 D．210 2.已知向量a=（0，－1，1），b=（4，1，0），|λa＋b|=，且λ＞0，则λ=（　　） A．2　 B．3 C．4　 D．5 3.如图，在三棱柱ABC－DEF中，P，Q分别是CF，AB的中点，若=a＋b＋c，则a＋b＋c=（　　） A．1　 B．－1 C．　 D．－2 4.已知空间中三点A（－1，0，0），B（0，1，－1），C（－2，－1，2），则点C到直线AB的距离为（　　） A．　 B． C．　 D． 5.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则•=（　　） A．－1　 B．0 C．1　 D．2 6.如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3，5，M，N分别在上、下底面圆周上，且〈，〉=120°，则||=（　　） A．　 B．5 C．　 D．5 7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1A，C1D1，A1D1的中点，则（　　） A．AB∥平面EFG　 B．A1C∥平面EFG C．B1C⊥平面EFG　 D．B1D⊥平面EFG 8.如图1，“瓮城”是古代城池中依附于城门，与城墙连为一体的附属建筑，当敌人攻入瓮城时，如将主城门和瓮城门关闭，守军即可对敌形成“瓮中捉鳖”之势．“瓮城”可看作是上、下底面均为半环形的柱体，如图2，AA1垂直于下底面，AA1=3，AB=4，CD=2，E为的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为（　　） A．　 B． C．　 D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列命题正确的是（　　） A．若p是平面α的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点，则b∥α的充要条件是p•=0 B．已知A，B，C三点不共线，对于空间中任意一点O，若=＋＋，则P，A，B，C四点共面 C．已知a=（－1，1，2），b=（0，2，3），若ka＋b与2a－b垂直，则k=－ D．已知△ABC的顶点分别为A（－1，1，2），B（4，1，4），C（3，－2，2），则AC边上的高BD的长为 10.已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB=2，AC与BD的交点为M，∠BAD=90°，∠A1AB=∠A1AD=60°，则（　　） A．=－＋－ B．=－－ C．||= D．||= 11.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，则（　　） A．AC⊥BD B．△ACD是等边三角形 C．AB与平面BCD所成的角为60° D．AB与CD所成的角为90° 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12.若空间向量a=（2，－1，3），b=（－1，4，－2），c=（7，－7，m）是共面向量，则实数m=　　　　． 13.如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，SD⊥平面PAC，P为侧棱SD上的点，则二面角P－AC－B的余弦值为　　　　． 14.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，O是侧面A1ADD1的中心，E，F分别是B1C1，CC1的中点，点M，N分别在线段OB，EF上运动，则MN的最小值为　　　　． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知向量a=（x，1，2），b=（1，y，－2），c=（3，1，z），且a∥b，b⊥c． （1）求向量a，b，c的坐标； （2）求a＋c与b＋c所成角的余弦值． 16.（本小题满分15分）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为． （1）若侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； （2）若AB1与BC1所成的角为，求侧棱的长． 17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点． （1）求证：EF⊥CD； （2）已知点G在平面PAD内，且GF⊥平面PCB，试确定点G的位置． 18.（本小题满分17分）如图1，在边长为4的等边三角形ABC中，CD是AB边上的高，E，F分别是边AC和BC的中点，现将△ACD沿CD翻折使得平面ACD⊥平面BCD，如图2. （1）求证：AB∥平面DEF； （2）若M为线段AB上一点，求点M到平面DEF的距离． 19.（本小题满分17分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD=2，AB=1，BC=2，PA=1，AB⊥BC，E，F分别为PD，BC的中点． （1）求证：EF∥平面PAB； （2）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 章末检测（一）　空间向量与立体几何 1.C　因为=（0，0，90），=（120，0，0），所以=＋=（120，0，90），所以||==150.故选C． 2.B　由题意，得λa＋b=（4，1－λ，λ）．因为|λa＋b|=，所以42＋（1－λ）2＋λ2=29，整理得λ2－λ－6=0.又λ＞0，所以λ=3. 3.B　因为P，Q分别是CF，AB的中点，所以=＋=＋（＋）=－＋（－＋－）=－－，所以a=，b=－1，c=－，所以a＋b＋c=－1. 4.A　依题意得=（－1，－1，2），=（1，1，－1），则点C到直线AB的距离为===． 5.C　由于=＋=＋（＋）=＋（＋）．而=＋．则•=［＋（＋）］•（＋）=（＋）2=（＋）=1. 6.A　∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，∴•=0，•=0，且由题意知，•=3×5×cos 60°=．∵=＋O2O1＋，∴2=（＋＋）2=2＋2＋2＋2•＋•＋2•=9＋16＋25＋15=65，∴||=．故选A． 7.D　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，取CC1，BC，AB的中点分别为M，N，Q，则平面EFG即为平面EGFMNQ，故AB与平面EGFMNQ相交，故A错误；E（2，0，1），G（1，0，2），F（0，1，2），B1（2，2，2），D（0，0，0），A1（2，0，2），C（0，2，0），则=（－1，0，1），=（－2，1，1），=（2，2，2），由于•=（2，2，2）•（－1，0，1）=0，•=（2，2，2）•（－2，1，1）=0，故是平面EFG的一个法向量，故B1D⊥平面EFG，故D正确；由正方体的性质可得B1C与B1D不平行，因此B1C不垂直于平面EFG，故C错误；由于=（－2，2，－2），•=（2，2，2）•（－2，2，－2）=－4≠0，故与法向量不垂直，故A1C与平面EFG不平行，故B错误． 8.D　以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，3，0），D（0，1，0），B1（0，4，3），又E为的中点，所以E（2，2，3），=（2，－2，0），=（0，－3，－3），=（2，－1，3）．设平面DEB1的法向量为n=（x，y，z），则令x=1，得n=（1，1，－1）是平面DEB1的一个法向量．设直线CE与平面DEB1所成角为θ，则sin θ=|cos〈，n〉|====，所以直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为． 9.BCD　若b⊂α，则p•=0成立，故b∥α不是p•=0的必要条件，故A错误；若=＋＋，则（－）=（－）＋（－），所以=＋，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；由题意可得ka＋b=（－k，k＋2，2k＋3），2a－b=（－2，0，1），若ka＋b与2a－b垂直，则（ka＋b）•（2a－b）=2k＋2k＋3=0，解得k=－，故C正确；由题意可得=（5，0，2），=（4，－3，0），则||==，||==5，则cos A===，所以sin A==，所以|BD|=||•sin A=×=，故D正确． 10.AC　如图所示，=－=－=（＋）－=－＋－，故A正确，B错误；由=－＋－平方得，||2=（－＋－）2=2＋2＋2－2ו＋2ו－2ו=||2＋||2＋||2－•＋||||•cos∠A1AB－||||•cos∠A1AD=×1＋×4＋4－0＋2×1×－2×2×=，所以||==，故C正确，D错误．故选A、C． 11.AB　如图，取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD．又AO⋂CO=O，AO，CO⊂平面AOC，∴BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD，A中结论正确；∵AC=AO=AD=CD，∴△ACD是等边三角形，B中结论正确；∵AO⊥平面BCD，∴∠ABD是AB与平面BCD所成的角，为45°，C中结论错误；=＋＋，不妨设AB=1，则2=（＋＋）2=2＋2＋2＋2•＋2•＋2•，∴1=1＋2＋1＋2×（－）＋2×（－）＋2cos〈，〉，∴cos〈，〉=，∴〈，〉=60°，即AB与CD所成的角为60°，D中结论错误．故选A、B． 12.11　解析：若向量a，b，c共面，则存在x，y∈R，使得a=xb＋yc，所以解得 13.－　解析：连接BD，交AC于点O，连接SO，则SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设底面边长为a，则SO=a，S（0，0，a），D（－a，0，0），=（－a，0，－a），显然n=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量，因为SD⊥平面PAC，所以=（－a，0，－a）是平面PAC的一个法向量，设二面角P－AC－B的平面角为θ，由图易知θ为钝角，所以cos θ=－|cos〈n，〉|=－==－． 14.2　解析：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则O（2，0，2），B（4，4，0），E（2，4，4），F（0，4，2）．因为点M，N分别在线段OB，EF上运动，所以设=λ（0≤λ≤1），=μ（0≤μ≤1），所以M（2λ＋2，4λ，2－2λ），N（2μ，4，2＋2μ），所以||==，所以当μ=λ=时，||min==2． 15.解：（1）∵向量a=（x，1，2），b=（1，y，－2），c=（3，1，z），且a∥b，b⊥c， 易知y≠0，否则a∥b不成立， ∴解得x=－1，y=－1，z=1. ∴向量a=（－1，1，2），b=（1，－1，－2），c=（3，1，1）． （2）∵a＋c=（2，2，3），b＋c=（4，0，－1）， ∴（a＋c）•（b＋c）=2×4＋2×0＋3×（－1）=5， |a＋c|==，|b＋c|==， ∴向量a＋c与b＋c所成角的余弦值为==． 16.解：（1）证明：因为=＋，=＋． 又BB1⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC， 所以•=0，•=0. 又△ABC为正三角形， 所以〈，〉=π－〈，〉=π－=． 因为•=（＋）•（＋）=•＋•＋||2＋•=||||•cos〈，〉＋||2=－1＋1=0，所以AB1⊥BC1. （2）结合（1）知• =||||cos〈，〉＋||2=||2－1， 又||===||． 所以cos=|cos〈，〉|===，解得||=2，即侧棱长为2. 17.解：（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示． 设AD=a，则D（0，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），P（0，0，a），F（，，）． 所以=（－，0，），=（0，a，0）， 所以•=（－，0，）•（0，a，0）=0， 所以EF⊥CD． （2）因为G∈平面PAD，设G（x，0，z）， 所以=（x－，－，z－）． 由（1）知，=（a，0，0），=（0，－a，a）． 因为GF⊥平面PCB，所以•=（x－，－，z－）•（a，0，0）=a（x－）=0， •=（x－，－，z－）•（0，－a，a） =＋a（z－）=0， 所以x=，z=0， 所以点G的坐标为（，0，0），即点G为AD的中点． 18.解：（1）证明：在△ABC中，E，F分别是边AC和BC的中点，所以EF∥AB，因为AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AB∥平面DEF． （2）由（1）知，AB∥平面DEF，所以点M到平面DEF的距离即为点A到平面DEF的距离． 因为平面ACD⊥平面BCD，平面ACD⋂平面BCD=CD，AD⊂平面ACD，AD⊥CD，所以AD⊥平面BCD，又CD⊥BD，可得AD，BD，CD两两垂直．以D为原点， ，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D（0，0，0），A（0，0，2），E（0，，1），F（1，，0），所以=（1，，0），=（1，0，－1），=（0，0，2）． 设平面DEF的法向量为n=（x，y，z）， 则即 令x=，则n=（，－1，）． 所以点A到平面DEF的距离为==． 所以点M到平面DEF的距离为． 19.解：（1）证明：如图，过点E作EG⊥AD交AD于点G，连接GF． 因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，又EG⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，故EG∥PA． 因为E为PD的中点，所以G为AD的中点，又F为BC的中点，AB∥CD，所以GF∥AB． 因为EG⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EG∥平面PAB，同理GF∥平面PAB，又EG⋂GF=G，EG，GF⊂平面EGF，所以平面EGF∥平面PAB，而EF⊂平面EGF，所以EF∥平面PAB． （2）存在点M满足题意，此时=．根据题意设DM=tPD（0≤t≤1），如图，以点A为原点，过点A在平面ABCD内作垂直于AB的直线为x轴，AB，AP所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系． 则P（0，0，1），B（0，1，0），C（2，1，0），D（2，－1，0）． 故=（0，1，－1），=（2，1，－1），=（2，－1，－1），=（0，－2，0），则=＋=－t=（－2t，t－2，t）． 设平面PBC的法向量为n=（x，y，z），则有取y=1，可得n=（0，1，1）． 则|cos〈n，〉|===， 整理得4t2－16t＋7=0，解得t=或（舍去）， 所以当=时，直线CM与平面PBC所成角的正弦值是． 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $