周周练3 章末检测——空间向量与立体几何-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

这是一份高中数学“空间向量与立体几何”的周测资料，包含单项选择、多项选择、填空及解答题，覆盖空间向量坐标运算、法向量应用、体积计算等核心知识点，提供详细解析与方法指导。 资料特色突出，通过坐标法解决线面垂直、折叠问题等实例，培养学生空间观念与逻辑推理能力，体现“用数学思维思考现实世界”，解析步骤规范，助力学生掌握向量法表达，提升解题能力，为教师教学提供有效测评与教学参考。 该资料适合高二学生使用，此时学生正处于从平面几何向立体几何过渡的关键阶段，通过针对性练习可帮助学生建立空间观念，提升逻辑推理和数学运算核心素养，为后续高考复习中的立体几何综合题打下坚实基础。

周周练3 章末检测一 空间向 量与立体几何 周周练 2 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.(2026榆林月考)已知点B是点A(2,3,1)在坐标平面Oxy内的射影，则 0B=(C A.\5 B.10 C.V13 D.4 解析：根据题意点A(2,3,1)在坐标平面Oxy内的射影为点B(2,3, 0), 所以0=/22+32=V13. 123)45(6(78(910111213141516171819 ■周周练 3 2.(2026·烟台期中)若向量p在基底{a,b,c下的坐标为(2,4， 3),则p在基底{a一b,a+b,;下的坐标为() A·(-1,3,3)B.(3,-1,3) C.(-3,1,3)D.(1,-3,3) ①②34⑤6⑦8⑨101①1213141⑤161⑦1819 周周练 4 解析：由题意p=2M+4b+3c, p=x(a-b)+y(a+b)+xc=2a+4b+3c, x十y=2, x=-1, 所以y一x=4,解得y=3, 所以p在基底{a一b,M+b,c}下的坐标 =3, z=3, 为(-1,3,3) ①②34⑤6⑦89101①1213141⑤161⑦1819 周周练 5 3.已知直线1的方向向量为v=(1,2,一4)，平面a的一个法向量为n= c,1,一2)，若直线1与平面a垂直，则实数x的值为(D) A.-10 B.10 C. n.} kx=1, 解析：因为直线l与平面a垂直，故v‖n.设v=kn且k∈R即k=2, -2k=-4, 1 解得x= 1②③456⑦891011213141516171819 周周练 6 4.(2026·朝阳月考)已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任 意一点P,都有0=-3P+5P市+C市，则实数m的值为(D) A.-2 B.-1 C.0 D.2 解析：由A0=-3pi+5P市+mC办，得P-pi=一3pi+5P市-mP心，所以 P)=-2PA+5P市-mP己，动，点Q在△4BC所在平面内运动，可知2，A, B,C四点共面，由空间中四点共面的向量定理可知，一2十5一m=1,解得 m=2. )2)345)(6)78(910111213141516171819 周周练 7 5.(2026济宁期中)在空间直角坐标系中，0为坐标原点，已知A(1,2,3), B(2,一1,0)，C3,6,一5)，则三棱锥OABC的体积为(D) 25 25 A. 24 B. 12 35 35 C. 6 D. 3 1②3456⑦891011213141516171819 1周周练 8 解析：由题可得0A=(1,2,3),0办=(2，-1,0)，0元=(3,6，-5)， 因为0A0办=1×2+2×(-1)+3×0=0， 所以OA⊥O市，所以OA⊥0B, 即△OAB为直角三角形， 又10M=1+22+32=V14,10i=4+1=V5, 所以△04B的面积为S=X4×y5-0, 1234⑤6⑦8910111213141⑤161⑦1819 周周练 9 设平面OAB的法向量为n=(c,y,), m-0i=x+2y+3z=0, 则 n0i=2x-y=0, 令x=1,得=2，=-3，故n=(1,2,3, 5 所以，点C到平面0OAB的距离E0u3+12+5 170 =V70, 3 则三校维01BC的体积a=a-=号×空×Ny70 35 1234⑤6⑦891⑩1012131415161⑦1819 周周练 10 6.(2026·佛山月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边 形，过点A的平面a分别与棱PB,PC,PD交于点E,F,G,若P市=2P主， 励=3P庇，则=(A) D G B E A C. D B 34⑤6⑦89101①1213141516 0(19 周周练 11 PF 解析：设pC=元，连接AF,如图， 则市=市+市=市+P元=立+（市十市一A)=A市十2A市+(1一 因为励=3成，即功-市-3-办，故花=办+子，因为A, E,F,G四点共面，且A正，A它不共线，存在，tER使得A市=M正+M心， 所以市=应+花=党（应++(3市+3动=市+市+吃+ 彩应， 1)2)3(4567)8)9)10111213141516171819 C ■周周练 12 由空间向量的基本定理可得 = 1 1 1 3=, 解得W= 2 所以PC 4 2t 2+3=1-2, 3 4 1②34⑤6⑦8910112131415161⑦1819 周周练 13 7.(2026·岳阳月考)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1CD1中，E,F 分别为BB1,CC的中点，G为线段DD1上的点，且DG=DD,过E,F, G的平面交AA1于点H,则直线A1D1到平面EFGH的距离为(A) 437 2V37 A. 37 B. 37 B C. 2 E 37 D. 137 37 D B 1②34⑤6⑦89101112131415161⑦1819 周周练 14 解析：以点D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、？轴建 立空间直角坐标系，如图所示. D 则E1,1,,F0,1,2, A16 B G0,0,3,D(0,0,10, E H A1(1,0,1), B 2 所以E脉=(-1,0,0，F元=0，-1，-， 41市1=(-1,0,0)， 1②34⑤6⑦891011213141⑤161⑦1819 周周练 15 则Aò1=E序，所以4市1‖E克 又因为EFC平面EFGH,AD1平面EFGH,所以A1D1‖平面EFGH. 所以A1D1到平面EFGH的距离，即为点D1到平面EFGH的距离. 设平面EFGH的法向量为n=(c,y,), nE=0，∫一x=0, 则 nFG=0, +=0, 1 令z=6,则y=-1,所以n=(0,一1,6)， ②34⑤6⑦81011213141⑤161⑦1819 周周练 16 又因为=0,1，-》，所以点D,到平面EGH的距离4=D_ n 4V37 7,所以直线4山到平面EFGH的距离为 ①②3456⑦8910111213141⑤161⑦1819 周周练 17 8.(2026·无锡月考)在空间直角坐标系Oyz中，经过点P(0,y0,0),且一 个法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(c-一xo)十By一yo)十C(z一0)=0， 经过点Px0,yo,z0)且一个方向向量为n=(,v,o)(uww≠0)的直线1的方 程为一”=’一”=一0.阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面a的 ) 方程为3x-5y+:一7=0，经过0,0,0)的直线1的方程为=之=，则 直线l与平面a所成角的余弦值为( D) V10 V10 A. 5 B. 35 9V15 C. 1V15 5 D 35 6)(789)10(11121314(15 0(19 周周练 18 解析：因为平面a的方程为3x一5y十z一7=0，故其一个法向量为m=(3, -5,),且直线1的方程为-=1，故其一个方向向量为n=6,2,- 1),设直线1与平面a所成的角为0∈0,1，则sin0=lcos〈m,n>|= 网网70-为，可得c00=7-sin0-”买5，所以直线1与平面a mn 2 10 所成角的余孩值为 12)3456)(789)10111213141516171819 周周练 19 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分.) 9.(2026三明期中)已知空间向量a=(2,0,1),b=(1,1,一1)，则以下说 法正确的是(BCD) A.la+=5 B.b=1 C.2a+b=(5,1,1) D.向量a在b上的投影向量为(， 3-3 (2)3)4(5(6(7(8©10(1112(13(14(1516 7)(18)(19 周周练 20 解析：对于A,因为=(2,0,1)，b=(1,1,-1),所以M+b=(3,1, 0),由空间向量的模长公式得十b=32+12=V10,故A错误； 对于B,因为M=(2,0,1),b=(1,1,-1),所以b=2一1 =1，故B正确； 对于C,因为1=(2,0,1)，b=(1,1,-1),所以2M+b= 稀于D,0厉截母住，1)=V3,由投影向量公式得，向量a在b上的 投影向重为踪6动=(G:3月，故D正确。 1 (2)3456(7)(8) 10) 11(1213(1415(16(17(18(19 周周练 21 10.如图，在平行六面体ABCD-AB1CD1中，AA1=AD=AB=1,∠AAD =∠A1AB=∠BAD=60°，M为B1D1的中点，则(ACD) A.=2访+-2办 B.CM=-2--2办 B c.d=2 D.C办办=-4 1)(2(3(4(5)(6 )(91011121314(1516171819 周周练 22 解析：连接DB,则M=Di+DM=+D成=+2市-)=2访 +-,故A正确； cM=C+D成+DM=-访++访-办=-2成+-2市，故 B错误； 1②34⑤6⑦89101112131415161⑦1819 周周练 23 C心店=ir店=之4B=1X1X对，故C正确； C市=(-2+-2市=-2访办+办-2亦=-2 nosB4n+esA0-2=X对+分名= 故D 正确. 1234⑤6⑦891⑩111213141⑤161⑦1819 周周练 24 11.(2026·河池月考)如图1，已知长方形ABCD中，AB=2,AD=1,M为 DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM,如图2 所示，在四棱锥DABCM中，下列选项正确的是ACD) A.AD⊥BM M B.AD和BC所成的角为30° 3 A C.点C到直线MD的距离为 B 图1 图2 D.若点E为线段D上的动点，且二面角EAMD的余弦值为5，则品 1 2 45)6)(7)(8(9101121314(1516171819 周周练 25 解析：取AM中点O，连接DO，因为AB=2,AD=1,M为DC中 点， 所以AD=DM=1,所以DO⊥AM,因为平面ADM⊥平面ABCM,平 面ADM∩平面ABCM=AM,DOC平面ADM, 所以DO⊥平面ABCM.以O为坐标原点，分别以过O与AB垂直、平行 的直线为x轴、y轴， 乙轴，建立如图所示空间直角坐 标系， 12)3456(78)(9101213141516 17)(18(19 周周练 26 则00,0,0,42，-2,0，B2,,0,《-2,2,0,M-2,2,0, 0,0,3,对于A,办=(-，另，新=(-1，-1,0，办 =0,所以AD⊥BM,故A正确； 对于B,B心=(-1,0，，设AD和BC所成的角为0，则cos0=而-☑ ADlBC 1 21 1X1=2)又0<≤90°，所以0=60°，故B错误； 3( 456⑦891012131415161⑦1819 ■周周练 27 对于C,⑦=2，马，励=，- 则点C到直线MD的距 m-0-0-3 故C正确； ①②34⑤6⑦891012131415161⑦1819 周周练 28 对于D,设B-2,2E01),连接0E,则0=0+成=0,0，+ DE 以，，-=以，之，听以症=+9 ),M=(-1,1,0),设平面AME的法向量为m=(c,y,), mA花=0， 则 mM=0, 1234⑤6⑦89101213141⑤161⑦1819 周周练 29 -0e+2++号-2g=0, 即 -x+y=0, 令=1，则=1，-，所以m=0,,会是平西4证的-个法 向量. 设n=(a,b,c)是平面AMD的法向量， 。+9n 则 ①②34⑤6⑦⑧91⑩12131415161⑦1819 周周练 30 令M=1,则b=1,c=0,所以n=(1,1,0)是平面AMD的一个法向量. 设二面角EAMD的大小为a,由图知二面角E-AM-D是锐二面角， m'n 2 则cosa=mlm V5 822 5 1V2+a2 1 DE 1 解得=2，即DB-2,D正确. 1)2)3(45)(6(7)8)9)10101213141516171819 周周练 31 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填 在题中横线上.) 12.(2026赣州月考)已知向量1=(1，一2,1)，b=(3,2,), 若ub,则= 解析I8国为向量a=1,-2,D,b=3,名，心，且6，所以-2只， 得2=-6，u=3,所以2u=一18. 123(456(7(89)10111213141516171819 周周练 32 13.2026衡阳期中)如图，在几何体ABCDEF中，ADBC,∠BAD=2 AB=AD=2BC=6,AE‖CF,AE云2CF=4,AE1平面ABCD,则异面直 线EF与AB所成角的余弦值为7 E A 1(2)345(6⑦8(910111213141516171819 周周练 33 解析：因为AE⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以AE⊥AD,AE⊥AB, 又因为∠BAD=,所以AE,AD,AB两两垂直， 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB=AD=2BC =6,AE=2CF=4,所以BC=3,CF=2,则A(0,0,0),B(6,0,0),E(0, 0,4),F6,3,2),所以4B=(6,0,0),EF=(6,3,-2),所以Ic0s〈B, = E E方 1(2)3(4(5(6)(7(8910111213141516 17)(18(19 周周练 34 16×6 6 =V6×62+32+(-22 7 6 所以异面直线EF与AB所成角的余弦值为 1234⑤6⑦891⑩101231415161⑦1819 周周练 35 14.(2026·佛山月考)已知在正方体ABCDA1B1CD1中，点P是A1C上的动 点，点E是CD的中点，若4，B,P,E四点共面，则-_2 1234⑤6⑦8910111213④1⑤161⑦1819 周周练 36 解析：设点A1到平面AEB1的距离为d1,点C到平面AEB1的距离为d, 则忙-，以》为坐标原点，1，DC,Dm所在直复分别为c轴、y轴、 z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A(2,0,0),E(0,1, 0),B1(2,2,2),A1(2,0,2),C0,2,0),正=(-2,1,0)，AB1=(0, 2,2),AA=(0,0,-2),CA=(2,-2,0),设平面AEB1的法向量为m =c,y,), D C B D B )23)45)(6(7)8)910111213141516171819 周周练 37 mA正=-2x+y=0, 则 mA1=2y+2z=0, 令x=1得y=2,z=-2,故n=(1,2,-2), 所以d=Hm=0,0,-21,2,-2 4 ，k= CA m Iml V1+4+4 3 m 2,-2,0-2列-，故批会=2 V1+4+4 ①234⑤6⑦89101112131④15161⑦1819 周周练 38 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分13分)2026·漯河月考)已知空间向量1，b满足4= (1,2,-2),b1=6. (1)若a与b的夹角为60°，求3a一b1;(5分) 解：因为1=(1,2，一2)， 所以d=1/12+22+(-2)2=3. 因为b=6,且4与b的夹角为60°， 所以ab=lacos〈a,b>=3×6X2=9,则13a-b=9d2-6b+b2= 9X32-6X9+62=63,故3M-b1=V63=3V7. )(2)3)(456)7)(8(9)(10(111213141516(171819 周周练 39 (2)若ab,求向量b的坐标.(8分) 解：因为ab,所以b=ka(k∈R). 当向堂，b同向时，k=份个=2， 则b=2M=(2,4,一4)； 当向量山，b反向时，=二二一2 则b=-2a=(-2,-4,4). 综上，向量b的坐标为(2,4，一4)或（一2，一4,4）. 1234⑤6⑦891⑩10121314⑤161⑦1819 周周练 40 16.（本小题满分15分)如图，正四棱锥PABCD的底面边长 高均为2，E,F分别为PD,PB的中点. (1)证明：EF⊥PC;(6分) 解：证明：连接AC,BD交于O,连接OP,由正四棱锥的性质可得PO1 平面ABCD,底面ABCD为正方形，则AC⊥BD,所以以O为坐标原点， OA,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、乙轴建立空间直角坐标系， 则A(V2,0,0),B0,V2,0),P0,0,2),C(-V2,0,0),D(0,-V2, 0,0,-2,1,0,2,0, 则E=(0,V2,0),P式=(-V2,0,-2), 则EP己=0，所以EF⊥PC. )(2)(3)(4(5)(6)(7(8(9101112(13(14(15 7)18(19 周周练 41 (2)若点M是线段PC上的点，且PM=PC,判断点M是否在平面AEF 内，并证明你的结论.(9分) 解：点M在平面AEF内，证明如下： 连接4M,痴迹=(-2，一是，，市=（一2，头，，办=- 2,0,2),AM=+3Pt=(-2,0,2)+3-2,0,-2)=(-32, 0,,A花+=(-22,0,2)， 所以M=正+，所以A,M,E,F四，点共面， 即，点M在平面AEF内. 2)3(4(5(6)(78(9)10111213141516 17)(1819 周周练 42 17.(本小题满分15分)如图所示，平行六面体ABCD-A1B1CD1中，E,F 分别在B1B和DD上，BE=}BB,DF=子DD D B D M B 1)2)3(45(6(78(9101112131415161819 周周练 43 (1)求证：四边形AECF为平行四边形；(7分) 解：证明：设市=4，A市=b,1=c, 以{a,b,c}为空间的一个基底， 花=店+应=+， F=市+=3+a, 则正=F心，即AE=FC1且AE‖FC1,所以四边形AECF为平行四边形. 1234⑤6⑦8910111213141⑤16⑦1819 周周练 44 (2)若底面ABCD为正方形，且AB=4,AA,=3,∠AAB=∠AAD 廨留题悬氨，衙相脐王3求為到真线的要寧=6， 由(1)可知，四边形AECF为平行四边形，所以M为AC1的中点， 则=2记=u+b+o, 则不2=2a+b+ce =44+42+32+2×6+2×6)= 65 4 1(2345(6(7(8)(910(1112(13141516 1718(19 周周练 45 亦=u+b+ea=11, 则，点M到直线AB的距离为 的 =-=” 则点M到直线AB的距离为I39 4 123)45(6(78(910111213141516171819 周周练 46 18.(本小题满分17分)如图1，△ABC是底边为2的等腰三角形，且AB= BC=V3,△DAC为等腰直角三角形，∠CDA=90°，将△DAC沿AC翻折到 △PAC的位置，且点P不在平面ABC内（如图2）. B B 图1 图2 1(2)345(6(7(8(910111213(14(1516171819 周周练 47 (1)证明：AC⊥PB;(7分) 解：证明：取AC中点为E,连接PE,BE,因为PA=PC,AB= BC,所以PE⊥AC,BE⊥AC,又PE∩BE=E,PE,BEC平面 PBE,所以AC⊥平面PBE,又PBC平面PBE,所以AC⊥PB. 1234⑤6⑦89101112131415161⑦1819 周周练 48 ②若直线PC与4B所成角的余弦值为， 设平面PAC与平面ABC的夹 角为a,求cosa的值.(10分) 解：以E为坐标原点，EA,EB所在直线分别为x轴、y轴，过点E垂直于 平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(0,V2, 0),C(一1,0,0)，因为△DAC为等腰直角三角形，所以DA=DC=V2,所 以EP=1,设∠BEP=0,则P(0,c0s0,sin0), 1(2)(3(4(5(6)(7(8(91011121314(1516171819 周周练 49 则p元=(-1，-cos0,-sin0),市=(-1，V2,0),故cos〈P式，i>| 含安”-乐ao-a- 又a∈0，， 所以wsa=ks价=是 1234⑤6⑦89101112131415161⑦1819 周周练 50 F E 19.(本小题满分17分)在五面体ABCDEF中 CD⊥平面ADE,EF⊥平面ADE. D C (1)求证：ABCD;(⑤分) 解：证明：因为CD⊥平面ADE,EF⊥平面ADE,所以CDEF,因为 CDt平面ABFE,EFC平面ABFE, 所以CD平面ABFE, 因为平面ABFE∩平面ABCD=AB,CDC平面ABCD,所以ABCD. 1(2)34⑤(6)7(8(91011121314151617189 周周练 51 (2)若AB=2AD=2EF=2,∠ADE=∠CBF=90°，点D到平面ABFE的距 离为品，求二面角4BFC的大小6分 解：因为CD⊥平面ADE,AB‖CD, 所以AB⊥平面ADE,又AEC平面ADE, 所以AB⊥AE,又因为CD⊥平面ADE,AD,EDC平面ADE,所以CD⊥AD, CD⊥ED, 又因为∠ADE=0°，AD∩CD=D,AD,CDC平面ABCD,所以ED⊥平面 ABCD, 1②3456⑦8910112131415161⑦1819 周周练 52 连接BE,BD,因为VDABE=VEABD, 所以5是=及oED, 所以好B4-AD-ED, 即A5是-1D-E=4=2FD, B 所以AE=VAD2+ED=V2ED,即AD=ED=1,AE=V2, 以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 1234⑤6⑦8910111213141⑤161⑦181 周周练 53 设CD=c,则A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,c,0),F0,1,1), 所以B市=(-1，-1,1)，B=(-1,c-2,0), 因为∠CBF=90°，所以BFB记=1-c+2=0, 解得c=3, 设平面BFA的法向量为m=(,y1,1),平面BFC的法向量为n=(2, 2,2), 因为AB=(0,2,0),BF=(-1,-1,1), ①234⑤6⑦8910101213141⑤161⑦181 周周练 54 成m=2y=0, 所以 B:m=-x1-y1+1=0, 令x1=1,则m=(1,0,1), 因为BC=(-1,1,0),BF=(-1,-1,1), B元n=-x2十2=0， Bn=-2-2十2=0， ①②34⑤6⑦89101012131415161⑦181Θ ■周周练 55 令x2=1,则n=(1,1,2), 设二面角ABFC的大小为0， 酷合图象可知0为钝角，所以cos0=一 1+2 13 n2X/6 故0= 5元 6 1234⑤6⑦891⑩1012131415161⑦181Θ 1周周练 56 (3)在第(2)问条件下，线段AB上是否存在点M,使得DM与平面BCF 所成的角为30°.若存在，求AM的长度，若不存在，请说明理由.(6分) 解：设线段AB上存在点M,使得DM与平面BCF所成的角为30°， 设AM=t,t∈[0,2]，则M(1,t,0), 又D0,0,0),则DM=(1,t,0), 由(2)知，平面BCF的一个法向量为n=(1,1,2), 对m0,a-5安 1)(2)(3(4(5)(6)7)8)(910(1112(1314(1516171819 ■周周练 57 =sin30°= 2, 即-4t+1=0,解得t=2士V3, 因为0≤≤2，所以t=2-V5, 所以线段AB上存在，点M,使得DM与平面BCF所成的角为30°，此时AM =2-V5. ①234⑤6⑦891011213141⑤161⑦181Θ