第1章 1.4.2 第2课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）
2026-08-26
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教辅
摘要：
该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的应用，涵盖方向向量、法向量及线面角、面面角、异面直线所成角的计算。课堂导入可联系传统几何法，搭建从几何直观到代数运算的学习支架，帮助学生衔接前后知识。
其亮点是分层设计（基础、能力、素养）与多样题型（选择、填空、解答、多选），解析注重逻辑推理与运算，如第6题法向量验证体现数学思维的推理能力，第7题最值计算培养数学眼光的抽象能力。学生能巩固基础提升能力，教师可精准检测教学效果。
内容正文：
课后达标检测
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1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角为( )
A．40° B．50°
C．130° D．170°
解析：因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，所以直线l与平面α所成的角等于130°－90°＝40°.
A
A 基础达标
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2．已知平面α的法向量n1＝(1，0，0)，平面β的法向量 n2＝(0，1，0)，则平面α与β的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：因为n1·n2＝1×0＋0×1＋0×0＝0，所以n1⊥n2，故α⊥β，所以平面α与平面β的夹角为90°.
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7．已知平面α的一个法向量为a＝(x，1，2－x)，直线l的一个方向向量为b＝(0，11，0)，则直线l与平面α所成角的正弦值的最大值为________．
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8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，则异面直线EB1与AD1所
成角的余弦值为 ________．
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9．如图所示，在圆锥SO中，AB是底面圆直径，且SO＝AB＝4，AC＝BC，则平面ASB与平面SBC夹角的余弦值为 ________．
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(1)求直线PB与直线CD所成角的大小；(7分)
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(2)求直线PD与平面PAC所成角的正弦值．(6分)
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B 能力提升
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解析：对于A，三棱锥A1-AB1E即为三棱锥E-AA1B1，其底面积为定值，
因为平面AA1B1B∥平面DD1C1C，E∈平面DD1C1C，所以点E到平面AA1B1B的距离不变，即三棱锥E-AA1B1的高不变，所以三棱锥A1-AB1E的体积为定值，故A正确；
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13．(15分)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，A1B1＝2，AB＝AC＝4，D为BC的中点，AC⊥C1D.
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(1)证明：AC⊥AB；(7分)
解：证明：在三棱台ABC-A1B1C1中，
因为A1B1＝2，AB＝AC＝4，所以A1C1＝2，BC＝2B1C1，BC∥B1C1.
因为D为BC的中点，所以B1C1＝BD，又B1C1∥BD，所以四边形BDC1B1为平行四边形，
故BB1∥C1D.
因为AC⊥C1D，所以AC⊥BB1.
因为AA1⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，
所以AA1⊥AC.
因为AA1，BB1⊂平面ABB1A1，AA1，BB1为相交直线，所以AC⊥平面ABB1A1，
因为AB⊂平面ABB1A1，所以AC⊥AB.
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14．(15分)如图，在圆柱O1O2中，AB是底面圆O2上的一条直径，P，Q分别是底面O2，O1圆周上的一点，PQ∥O1O2，AB＝2PQ，且点P不与A，B两点重合．
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(1)证明：平面APQ⊥平面BPQ；(6分)
解：证明：因为AB是底面圆O2上的一条直径，
所以AP⊥BP，
因为O1O2⊥底面圆O2，PQ∥O1O2，
所以PQ⊥底面圆O2，
因为BP⊂底面圆O2，所以PQ⊥BP，
因为AP∩PQ＝P，AP，PQ⊂平面APQ，
所以BP⊥平面APQ，因为BP⊂平面BPQ，所以平面APQ⊥平面BPQ.
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(2)若二面角A-O1O2-P的大小为60°，求直线BQ与平面PQO1所成角的正弦值．(9分)
解：因为O1O2⊥底面圆O2，AO2，PO2⊂底面圆O2，
所以O1O2⊥PO2，O1O2⊥AO2，又平面AO1O2∩平面PO1O2＝O1O2，
所以∠AO2P为二面角A-O1O2-P的平面角，
故∠AO2P＝60°，又AO2＝PO2，所以△APO2为等边三角形，以P为坐标原点，PB，PA，PQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
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15．在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.已知平面α的方程为x－2y＋z－7＝0，直线l是两平面x＋y＋2＝0与y－z＋2＝0的交线，则直线l
与平面α所成角的正弦值为__________．
C 素养拓展
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