第1章 1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦用空间向量研究线线、线面、面面夹角问题，以黄赤交角现实情境导入，通过问题思考区分向量夹角与空间角关系，构建从概念辨析到公式推导再到例题应用的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以现实情境激发数学眼光，通过问题链和例题训练发展数学思维，规范符号表达强化数学语言。如例1圆锥问题中用坐标法求异面直线角，体现转化思想，帮助学生建立空间观念，教师可直接用于课堂提升教学效率。

第2课时　用空间向量研究夹角问题 课标要求 1.会用向量法求线线、线面、面面夹角．　2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系． 返回导航 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，在地球公转的同时地球自身也绕“地轴”自转，地轴与地球的赤道面垂直，黄道面与赤道面的交角称为“黄赤交角”，黄赤交角约为23°26′.本节课我们就探究下空间中的夹角问题． 返回导航 新课导入 思考1　两条异面直线所成的角与其方向向量的夹角有什么关系？ 提示：异面直线所成的角与其方向向量的夹角既有区别又有联系，事实上，它们是相等或互补的关系． 思考2　直线的方向向量与平面的法向量的夹角是直线与平面所成的角吗？ 返回导航 问题思考 思考3　两个平面的夹角与两个平面的法向量的夹角有何关系？ 提示：两个平面的夹角是两个平面的法向量的夹角或其补角． 思考4　两个平面的夹角与二面角是一个概念吗？ 返回导航 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点三 3 知识点一　两条异面直线所成的角 第一部分 7 |cos〈u，v〉| 返回导航 例1　如图，已知圆锥的底面半径r＝2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA的中点． (1)求此圆锥的侧面积； 【解】　因为圆锥的底面半径r＝2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，可得SA＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π. 返回导航 (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值． 返回导航 返回导航 返回导航 　　　1.已知直线l1的方向向量为a＝(1，0，m)，直线l2的方向向量为b＝(0，1，m)，若l1与l2所成的角为60°，则m＝(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．0 C　 训练 返回导航 2．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，且AB⊥AC，异面直线CB1与C1A1所成的角为60°，则该直三棱柱的侧面积为________． 返回导航 知识点二　直线与平面所成的角 第二部分 15 |cos〈u，n〉| 返回导航 返回导航 (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD； 返回导航 (2)求直线PA与平面PCD所成角的正切值． 返回导航 返回导航 返回导航 【感悟提升】　向量法求线面角的基本步骤 返回导航 训练 　　　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点． 返回导航 解：证明：连接AB1，因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，所以AC⊥AA1，又AC⊥AB，AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面ABA1，所以AC⊥平面ABA1，又A1B⊂平面ABA1，则A1B⊥AC. 因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1，所以四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1， 因为AC∩AB1＝A，AC，AB1⊂平面ACB1，所以A1B⊥平面ACB1， 又B1C⊂平面ACB1，则A1B⊥B1C. (1)求证：A1B⊥B1C； 返回导航 (2)求直线A1B与平面AEF所成角的余弦值． 返回导航 返回导航 第三部分 知识点三　平面与平面的夹角(二面角) 1．两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中______________的二面角称为平面α与平面β的夹角． 不大于90° 返回导航 返回导航 (1)证明：CE∥平面PAB； 返回导航 (2)若AB＝AP＝2，求二面角B-PC-E的余弦值． 返回导航 返回导航 【感悟提升】　向量法求两平面的夹角的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系，写出相应点的坐标． (2)求出两个平面的法向量n1，n2. (3)设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|. 返回导航 训练 　　 　如图所示，AE⊥平面ABCD，四边形AEFB为矩形，BC∥AD，BA⊥AD，AE＝AD＝2AB＝2BC＝4. 返回导航 (1)求证：CF∥平面ADE； 解：证明：因为四边形AEFB为矩形，所以BF∥AE. 又BF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，所以BF∥平面ADE.又BC∥AD，BC⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，所以BC∥平面ADE. 又BF∩BC＝B，BF，BC⊂平面BCF， 所以平面BCF∥平面ADE. 又CF⊂平面BCF，所以CF∥平面ADE. 返回导航 (2)求平面CDF与平面AEFB夹角的正弦值． 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 B　 返回导航 2．(多选)如果a，b分别是平面α，β的一个法向量，设α，β夹角的大小为θ，以a为方向向量的直线l与平面β所成角的大小为φ，则(　　) A．sin θ＝sin 〈a，b〉 B．cos θ＝cos 〈a，b〉 C．cos φ＝sin 〈a，b〉 D．sin φ＝cos 〈a，b〉 AC　 返回导航 解析：因为a，b分别是平面α，β的一个法向量，α，β夹角的大小为θ，所以θ，〈a，b〉相等或互补，所以sin θ＝sin 〈a，b〉，故A正确；  所以cos θ＝|cos 〈a，b〉|，故B错误； 因为以a为方向向量的直线l与平面β所成角的大小为φ，所以sin φ＝|cos 〈a，b〉|，故D错误； 返回导航 3．(教材P41T3改编)点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，A(2，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，2)，设平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________． 返回导航 返回导航 4．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，P为DF的中点． 返回导航 (1)证明：BF∥平面APC； 解：证明：如图，连接BD，交AC于点O，连接PO. 因为四边形ABCD为矩形，所以OB＝OD， 因为P，O分别为DF和BD的中点，所以BF∥PO，又PO⊂平面APC，BF⊄平面APC，所以BF∥平面APC. 返回导航 (2)求直线EC与平面APC所成角的正弦值． 返回导航 返回导航 1．已学习：利用空间向量求两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角(二面角). 2．须贯通：利用空间向量求空间角体现了数形结合和转化与化归的思想方法． 3．应注意：两个向量的夹角与空间角之间的关系，能正确理解空间角的概念；三种空间角的范围． 课堂小结 返回导航 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝____________________＝＝______． 注意　异面直线所成的角的范围是. 设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝______________________＝＝_______． 2．两平面夹角的计算：若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝________． $