第1章 07-1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦“空间向量与立体几何”中距离、夹角问题，从空间向量坐标运算切入，通过正方体、正四棱锥等实例，搭建从向量基本运算到距离（点线、线线、点面、面面）和夹角（异面直线、线面、二面角）公式应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以问题驱动，融合数学眼光（抽象空间形式）、数学思维（逻辑推理求法向量）、数学语言（向量公式表达）。如通过建系求点到直线距离，推导公式并总结步骤，培养学生空间观念与运算能力。教师可借助例题模板提升教学效率，学生通过分层练习巩固知识，发展理性思维。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.4　空间向量的应用 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　用空间向量求空间距离 1.[2025河南漯河部分学校联考]在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,则点A1到直线 DE的距离是 ( ) A. 　    B. 　     C. 　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接DA1.依题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),D(0,4,0),E(4,2,0),从而 =(0,-4, 4), =(4,-2,0),故点A1到直线DE的距离是 = .   第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)寻找垂直关系,建立空间直角坐标系,求直线的单位方向向量u的坐标; (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a的坐标; (3)利用距离d= 计算点到直线的距离. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026福建厦门外国语学校月考]正四棱锥S-ABCD中,O为顶点S在底面ABCD内的射影,P为侧棱SD的 中点,且SO=OD= ,则异面直线BD与PC间的距离为 ( ) A. 　    B. 　     C. 　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为几何体S-ABCD为正四棱锥且O是S在底面ABCD内的射影,所以SO⊥底面ABCD, 连接AC,则AC⊥BD且相交于点O. 因为OC,BD⊂底面ABCD,所以SO⊥OC,SO⊥OD. 以O为坐标原点,OC,OD,OS所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.   因为SO=OD= ,P为侧棱SD的中点,所以S(0,0, ),D(0, ,0),C( ,0,0),B(0,- ,0),P , 所以 =(0,2 ,0), =  ,- ,-  . 第1讲　描述运动的基本概念 设异面直线BD与PC的公垂线的方向向量为n=(x,y,z), 则有 即 取x=1,得z=2,则n=(1,0,2). 又因为 =(- , ,0), 所以异面直线BD与PC间的距离d= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏镇江第一中学月考]在空间直角坐标系中,已知O为坐标原点,A(1,2,3),B(2,-1,0),C(3,6,-5),则 三棱锥O-ABC的体积为 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　第一步:判定△OAB的形状并求其面积. 由O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,-1,0),C(3,6,-5),得 =(1,2,3), =(2,-1,0), =(3,6,-5), 因为 · =1×2+2×(-1)+3×0=0,所以OA⊥OB,即△OAB为直角三角形, 又| |= = ,| |= = ,所以△OAB的面积S= × × = . 第二步:求点C到平面OAB的距离. 设平面OAB的法向量为n=(x,y,z),则  取x=1,得n= , 所以点C到平面OAB的距离d= = = , 第1讲　描述运动的基本概念 第三步:由三棱锥的体积公式求解. 则三棱锥O-ABC的体积是 × × = . 方法技巧 求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线段,则垂线段的长即为点到平面的距离; (2)在三棱锥中用等体积法求解; (3)向量法:距离d= (n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的平面的斜线段). 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026山东潍坊段考]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是棱AB,AD,B1C1,D1C1的 中点,则平面EFD1B1和平面GHDB之间的距离为 ( )   A. 　    B. 　    C. 　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以D为坐标原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐 标系,   则D(0,0,0),F(1,0,0),B(2,2,0),H(0,1,2),E(2,1,0),B1(2,2,2), 所以 =(1,0,0), =(0,1,2), =(2,2,0), =(0,1,2),所以 = , 因为D,H,E,B1四点不共线,所以DH∥EB1, 由EB1⊄平面GHDB,DH⊂平面GHDB,知EB1∥平面GHDB, 因为E,F分别是棱AB,AD的中点,所以EF∥BD,同理知EF∥平面GHDB, 第1讲　描述运动的基本概念 又EF∩EB1=E,EF,EB1⊂平面EFD1B1, 所以平面EFD1B1∥平面GHDB, 所以平面EFD1B1和平面GHDB之间的距离就是EF到平面GHDB的距离,也就是点F到平面GHDB的距 离.(注意转化与化归思想的应用,即面面距→线面距→点面距) 设平面GHDB的法向量为n=(x,y,z),则  不妨取y=-2,则n=(2,-2,1), 所以点F到平面GHDB的距离d= = = , 即平面EFD1B1和平面GHDB之间的距离是 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026北京顺义牛栏山第一中学月考]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在正方体内部且满足  =  +  +  ,则点M到直线AD的距离为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,过M作MN⊥AD交 AD于N,   则根据 =  +  +  ,且正方体的棱长为1可知,点M的坐标为  , ,  , 易知向量 在向量 上的投影向量即为 ,其模为| |= = , 则点M到直线AD的距离d= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[教材习题改编]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为D1C1的中点. (1)求异面直线D1B与A1E间的距离; (2)求点B1到平面A1BE的距离; (3)求直线D1C到平面A1BE的距离; (4)求平面A1DB与平面D1CB1间的距离. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)如图,建立空间直角坐标系,   则D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),D1(0,0,1),E , 所以 = , =(1,1,-1), 设n=(x,y,z)是与 , 都垂直的向量, 则 即  第1讲　描述运动的基本概念 即 令x=1,得n=(1,2,3), 又 =(1,0,0), 所以异面直线D1B与A1E间的距离d1= = = . (2)由(1)得 =(0,1,-1). 设m=(a,b,c)为平面A1BE的法向量,则 即  即 令a=1,得m=(1,2,2), 又 =(0,1,0),所以点B1到平面A1BE的距离d2= = . 第1讲　描述运动的基本概念 (3)易知D1C∥平面A1BE,所以直线D1C到平面A1BE的距离即为点D1到平面A1BE的距离, 由(2)知平面A1BE的一个法向量为m=(1,2,2),又 =(1,0,0), 故直线D1C到平面A1BE的距离d3= = . (4)由(1)得 =(1,0,1), =(1,1,0), =(0,1,-1), =(1,1,0), 设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别为平面A1DB、平面D1CB1的法向量, 所以 令x1=1,可得y1=-1,z1=-1,所以n1=(1,-1,-1), 同理, 令x2=1,可得y2=-1,z2=-1,所以n2=(1,-1,-1), 所以n1=n2,又平面A1DB与平面D1CB1不重合,所以平面A1DB∥平面D1CB1,所以点A1到平面D1CB1的距离即 第1讲　描述运动的基本概念 为所求, 又 =(1,0,0),所以点A1到平面D1CB1的距离d4= = = ,故平面A1DB与平面D1CB1间的距离为  . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　用空间向量求空间角 7.[2026河南青桐鸣大联考月考]在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,点P为底面ABCD的中心,Q为 线段AB1的中点,则异面直线D1P与C1Q所成角的大小为 ( ) A.30°　    B.45°　    C.60°　    D.90°     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,   则P ,Q ,C1(1,1,2),D1(0,1,2), 则 = , =  ,- ,-2 , 所以 · = × +(-1)× +(-1)×(-2)= , | |= = ,| |= = , 第1讲　描述运动的基本概念 设异面直线D1P与C1Q所成的角为θ,0°<θ≤90°,则cos θ=|cos< , >|= = = , 所以θ=45°,即异面直线D1P与C1Q所成角的大小为45°. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026广东广州增城月考]在空间直角坐标系中,已知点A(1,2,-1),C(0,1,3),B为x轴正半轴上的点,且直线 CA与直线CB所成角的余弦值为 ,则点B的坐标为 ( ) A. 　    B.(1,0,0)　     C.(3,0,0)　    D.(2,0,0)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设B(x,0,0)(x>0),又A(1,2,-1),C(0,1,3),所以 =(1,1,-4), =(x,-1,-3), 则 · =x-1+12=x+11,| |=3 ,| |= = , 由直线CA与直线CB所成角的余弦值为 ,得 = = ,(点拨:作为选择题,可以 逐项检验得答案) 整理可得1 764(x+11)2=18×1 183(x2+10), 所以155x2-308x-4=0,即(155x+2)(x-2)=0,所以x=2或x=- (舍去),所以点B的坐标为(2,0,0). 第1讲　描述运动的基本概念 知识积累    空间角的向量解法公式 1.异面直线所成的角:设异面直线l1,l2所成的角为θ,方向向量分别为u,v,则cos θ=|cos<u,v>|= . 2.线面角:设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>| = . 3.面面角:设平面α与平面β的夹角为θ,法向量分别为n1,n2,则cos θ=|cos<n1,n2>|= . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026河北唐山阶段测试]在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PAC=∠ABC=90°,PA=BC=1,PB= AC=2,E是AB的中点,则二面角B-PC-E的余弦值为 ( )   A. 　    B. 　    C. 　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为∠PAC=90°,所以PA⊥AC,又因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PA⊂平面 PAC,所以PA⊥平面ABC,又AB,BC⊂平面ABC,所以AB⊥PA,BC⊥PA. 在Rt△ABC中,BC=1,AC=2,∠ABC=90°,所以AB= = = .以B为坐标原点,建立如图所示 的空间直角坐标系,   则B(0,0,0),P( ,0,1),C(0,1,0),E ,所以 =( ,-1,1), =(- ,0,-1), = . 设平面BPC的法向量为m=(x1,y1,z1), 第1讲　描述运动的基本概念 则  令x1=1,则m=(1,0,- ). 设平面EPC的法向量为n=(x2,y2,z2), 则  令x2=2,则n=(2, ,- ). 设二面角B-PC-E的平面角为θ,由图可知θ∈ ,则cos θ= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 专家支招　求两个平面所成的角一般有两种思路:一是先根据二面角的平面角及两个平面夹角的定义, 在两个半平面内分别找出与二面角的棱垂直的直线,然后利用两直线的方向向量的夹角得到两平面夹 角的大小;另一种是直接求出两个平面的法向量,通过法向量的夹角求得两平面夹角的大小,但要注意 两平面夹角的取值范围是 ,而两个法向量的夹角的取值范围为[0,π]. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026山西晋中段考]已知矩形ABCD中,AB= ,AD=1,将△ACD沿AC折起到△PAC的位置,使得PB=  ,则平面PAC与平面ABC的夹角的余弦值为_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,作PE⊥AC,垂足为E,作BF⊥AC,垂足为F,   因为在矩形ABCD中,AB= ,AD=1,所以AC= =2, 在Rt△PAC中,由等面积法可得PE= = = ,故AE= = . 同理可得BF= ,CF= ,则EF=AC-AE-CF=2- - =1. 易知 = + + ,则 =( + + )2, 即3= + + +2 · +2 · +2 · = +1+ +2 · , 第1讲　描述运动的基本概念 解得 · = ,故cos< , >= = = , 故平面PAC与平面ABC的夹角的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[易错题][2024安徽天一大联考期中]如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,F 为棱BB1的中点. (1)求异面直线AB1与FC1所成角的余弦值; (2)求直线AA1与平面AB1E所成角的正弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,   则B1(1,1,1),E ,F ,A(1,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1), 可得 = , =(0,1,1), 设异面直线AB1与FC1所成的角为θ, 第1讲　描述运动的基本概念 则cos θ=|cos< , >|= = = , 所以异面直线AB1与FC1所成角的余弦值为 . (2)由(1)得 =(0,1,1), = , =(0,0,1), 设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z), 则 取z=2,可得x=1,y=-2,所以n=(1,-2,2), 设直线AA1与平面AB1E所成的角为α,则sin α=|cos< ,n>|= = = , 所以直线AA1与平面AB1E所成角的正弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江苏无锡第六高级中学月考]如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE= BC=2. (1)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值; (2)求证:BF∥平面ADE; (3)若平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为 ,求线段CF的长.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意,以A为原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图,   则B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2), 可得 =(-1,-2,2), =(-1,1,0), =(-1,0,2). (1)设平面BDE的法向量为n1=(x1,y1,z1),则  令z1=1,则x1=2,y1=2,则n1=(2,2,1), 设直线CE与平面BDE所成的角为θ, 第1讲　描述运动的基本概念 则sin θ= = = , 所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 . (2)证明:设CF=h(h>0),则F(1,2,h),故 =(0,2,h), 由题意可知平面ADE的一个法向量为(1,0,0),记m=(1,0,0), 因为 ·m=0,所以 ⊥m, 又BF⊄平面ADE,所以BF∥平面ADE. (3)由(2)知 =(0,2,h), 设n2=(x2,y2,z2)为平面BDF的法向量,则  令y2=h,则x2=h,z2=-2,可得n2=(h,h,-2), 第1讲　描述运动的基本概念 由题意可得|cos<n1,n2>|= = = ,整理可得7h2-8h=0, 解得h= 或h=0(舍去), 所以线段CF的长为 . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026重庆第八中学校月考]如图,在矩形ABCD中,AB=25,AD=15.沿AC将△ADC折起,使点D到达点P 的位置,点P在平面ABC内的射影H落在边AB上. (1)证明:AP⊥PB; (2)若M在边PC上, =m ,平面MAB与平面PBC的夹角的余弦值为 ,求m的值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:由点P在平面ABC内的射影H落在边AB上,得PH⊥平面ABC, 又BC⊂平面ABC,所以PH⊥BC, 又BC⊥AB,AB∩PH=H,且AB,PH⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB, 又AP⊂平面PAB,所以BC⊥AP, 又AP⊥PC,PC,BC⊂平面PBC,PC∩BC=C,所以AP⊥平面PBC, 因为PB⊂平面PBC,所以AP⊥PB. (2)由(1)知AP⊥PB,在Rt△APB中,AP=15,AB=25,则PB=20, 所以PH= = =12, 故BH= =16. 以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,过点B且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐 第1讲　描述运动的基本概念 标系,如图所示,   则B(0,0,0),A(0,25,0),P(0,16,12),C(15,0,0),则 =(0,25,0), =(15,-16,-12). 由 =m ,得 =m(15,-16,-12)=(15m,-16m,-12m), 可得M(15m,16-16m,12-12m), 则 =(15m,16-16m,12-12m), 设平面MAB的法向量为n=(x,y,z), 第1讲　描述运动的基本概念 则  可得y=0,令z=5m,得x=4m-4, 所以n=(4m-4,0,5m). 由(1)知PA⊥平面PBC,则平面PBC的一个法向量为 =(0,9,-12), 所以|cos< ,n>|= = = , 化简得8m2+2m-1=0,解得m= 或m=- (舍),所以m的值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.4　空间向量的应用 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　用空间向量解决空间距离问题 1.[2026湖南天壹名校联盟联考]已知空间向量 =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1),向量 =x +y +z  ,其中 + +z=1,则| |的最小值为 ( ) A.1　    B. 　    C. 　    D.2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设 =4 =(4,0,0), =2 =(0,2,0), 则 =x +y +z =  +  +z , 因为 + +z=1,所以D,E,C,P四点共面,当OP⊥平面DEC时,| |取得最小值,即为点O到平面DEC的距离. 易得 =(4,0,-1), =(0,2,-1), 设平面DEC的法向量为m=(a,b,c), 则  取a=1,则c=4,b=2,所以m=(1,2,4)为平面DEC的一个法向量, 所以点O到平面DEC的距离d= = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026福建泉州永春第一中学月考]在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点M在线段BD上,动点N 在线段AD1上,则MN长度的最小值为     ( ) A.1　    B. 　    C. 　    D.3     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意,建立如图所示的空间直角坐标系,   则D(0,0,0),A(3,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3), ∴ =(3,3,0), =(-3,0,3), ∵点M在线段DB上,点N在线段AD1上, ∴可设 =λ (0≤λ≤1), =μ (0≤μ≤1),(关键点:根据三点共线设参) ∴ =(3λ,3λ,0), =(-3μ,0,3μ), ∴M(3λ,3λ,0),N(3-3μ,0,3μ), 第1讲　描述运动的基本概念 则 =(3-3μ-3λ,-3λ,3μ), 易知当MN的长度最小时,有MN⊥BD,MN⊥AD1, ∴  即 解得λ=μ= , 此时 =(1,-1,1),则| |= , 所以MN长度的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026四川成都外国语学校月考]如图,棱长为3的正方体的顶点A在平面α上,三条棱AB,AC,AD都在平 面α的同侧,若顶点B,C到平面α的距离均为 ,则顶点D到平面α的距离是 ( )   A. 　    B.2　    C. 　    D.2      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,   则C(3,0,0),B(0,3,0),A(3,3,0),D(3,3,3),所以 =(3,0,0), =(0,3,0), =(0,0,3), 设平面α的法向量为n=(x,y,z), 则顶点B到平面α的距离d1= = = ,① 顶点C到平面α的距离d2= = = ,② 第1讲　描述运动的基本概念 由①②可得|y|=|x|,|z|= |x|, 所以顶点D到平面α的距离为 = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二    用空间向量解决空间角问题 4.[2026广东广州天河联考]在三棱锥P-ABC中,若PA⊥PB,PA=PB,∠APC=∠BPC=60°,则直线PC与平面 PAB所成的角θ的正弦值是 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　不妨设PA=PB=1,以P为原点,直线PA为x轴,直线PB为y轴,过点P且垂直于平面PAB的直线为z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,   则P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0), ∴ =(1,0,0), =(0,1,0), 设C(x,y,z),则 =(x,y,z), ∵∠APC=∠BPC=60°, ∴ · =| |·| |·cos 60°, · =| |·| |·cos 60°, 第1讲　描述运动的基本概念 即x= | |,y= | |, 设| |=t,则x= ,y= ,∵| |= ,∴t= ,解得z= (舍负), ∴sin θ= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026安徽阜阳太和中学月考]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中点,点P在线段A1C1上,若直 线OP与平面A1BC1所成的角为θ,则sin θ的取值范围是 ( )   A. 　    B. 　    C. 　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设正方体的棱长为1, =λ(0≤λ≤1),则 =λ , 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.   则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),O ,B1(1,1,1),故 = =(-1,1,0),所以 =λ =(-λ,λ,0),则P(1-λ,λ, 1),所以 =  -λ,λ- ,1 . 连接B1D,易知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D⊥平面A1BC1, 所以 =(1,1,1)是平面A1BC1的一个法向量, 第1讲　描述运动的基本概念 所以sin θ=|cos< , >| =  = , 所以当λ= 时,sin θ取得最大值,为 ,当λ=0或λ=1时,sin θ取得最小值,为 ,所以sin θ∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026辽宁省实验中学月考]如图,已知正方形ABCD、ABEF,∠CBE=120°,动点M,N分别在线段AE和 DB上,EM=BN,当| |最小时,二面角A-MN-B的余弦值是 ( )   A.- 　    B.- 　    C.- 　    D.-      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意,以B为原点,直线BA为x轴,直线BC为y轴,过B且垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立空间 直角坐标系,如图所示,   设正方形ABCD、ABEF的边长为m,则B(0,0,0),A(m,0,0),D(m,m,0),E , 由动点M,N分别在线段AE和DB上,且EM=BN,EA=BD,可设 =λ , =λ ,λ∈[0,1],则M λm, λm-  第1讲　描述运动的基本概念 m, m- λm ,N(λm,λm,0), 所以 = 0, λm+ m, λm- m , 则| | =  =m =m , 所以当λ= 时,| |取得最小值 m, 此时M ,N  m, m,0 , = 0, m,- m ,所以 =  m,- m, m , = - m,- m, 第1讲　描述运动的基本概念  m , 设平面AMN的法向量为n=(x1,y1,z1),则  即  令z1= ,得x1=1,y1=1, 即n=(1,1, ), 设平面BMN的法向量为m=(x2,y2,z2),则  第1讲　描述运动的基本概念 即  令z2= ,得x2=-1,y2=1, 即m=(-1,1, ), 设二面角A-MN-B的平面角为θ, 由题图可知θ为钝角, 则cos θ=-|cos<n,m>|=-  =-  =- . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026吉林省实验中学月考]如图,菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,E为边AB的中点,将△ADE沿DE折 起,使A到A'的位置,连接A'B,若A'D⊥DC,平面A'BE与平面A'CD的交线为l,则下列结论中错误的是  ( ) A.CD∥l B.平面A'DE⊥平面A'BE     D C.二面角E-A'B-D的余弦值为  D.BC与平面A'DE所成角的余弦值为  第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由题知CD∥BE,因为CD⊄平面A'BE,BE⊂平面A'BE,所以CD∥平面A'BE, 又平面A'BE与平面A'CD的交线为l,CD⊂平面A'CD,所以CD∥l,故A中结论正确; 对于B,连接BD,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=AD,则△ABD是正三角形, 由E为边AB的中点,得ED⊥AB,又DC∥AB,故ED⊥DC, 而A'D⊥DC,A'D∩ED=D,A'D,ED⊂平面A'DE,则DC⊥平面A'DE, 又DC∥BE,所以BE⊥平面A'DE,而BE⊂平面A'BE,因此平面A'DE⊥平面A'BE,故B中结论正确; 对于D,由B中分析知,ED⊥AB,折起后,有ED⊥A'E,ED⊥BE,又BE⊥平面A'DE,A'E⊂平面A'DE,故BE⊥ A'E, 如图,以E为原点,BE,ED,A'E所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念   则E(0,0,0),B(1,0,0),A'(0,0,1),C(2, ,0),D(0, ,0), 则 =(1, ,0), =(1,0,-1), =(-1, ,0), 由BE⊥平面A'DE,得 =(1,0,0)是平面A'DE的一个法向量, 设BC与平面A'DE所成的角为θ, 则sin θ=|cos< , >|= = = , 因此cos θ= = ,故D中结论错误; 对于C,由D中分析知DE⊥平面A'BE,则 =(0, ,0)为平面A'BE的一个法向量, 第1讲　描述运动的基本概念 设平面A'BD的法向量为n=(x,y,z), 则  令y=1,得n=( ,1, ), 则cos<n, >= = = , 由图形知二面角E-A'B-D为锐角,故其余弦值为 ,故C中结论正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026山东日照实验高级中学月考]已知三棱锥A-BCD中,∠ABC= ,∠ABD= ,BC=BD,则异面直线 AB和CD所成角的余弦值的取值范围是_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图所示,以B为原点建立空间直角坐标系,过D作DE⊥AB交AB于点E,   设BC=BD=a(a>0), 因为∠ABC= ,∠ABD= , 所以C ,DE=BE= a, 设D ,则DE2=m2+n2= a2, 第1讲　描述运动的基本概念 又AB和CD为异面直线,所以n≠0,m∈ , 易知直线AB的一个方向向量为(1,0,0), = ,记a=(1,0,0), 设异面直线AB和CD所成的角为θ,则θ∈ ,cos θ=|cos<a, >|= = =  = , 又m∈ , 所以cos θ∈  ,1 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026河南漯河部分校联考]如图,在三棱锥A-BCD中,AC=AD=2 ,CD=4,BC=BD=2 ,AB=2 ,E在线 段BC(不包含端点)上,F是线段BD的中点. (1)证明:AB⊥CD; (2)当 = 时,求直线AE与平面ACD所成角的正弦值; (3)当 为何值时,平面ACD与平面AEF夹角的余弦值取得最大值?   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:取棱CD的中点O,连接AO,BO. 因为AC=AD,且O是棱CD的中点,所以AO⊥CD. 因为BC=BD,且O是棱CD的中点,所以BO⊥CD. 因为AO⊂平面ABO,BO⊂平面ABO,且AO∩BO=O,所以CD⊥平面ABO. 因为AB⊂平面ABO,所以CD⊥AB. (2)由AC=2 ,CD=4,BC=2 ,O为棱CD的中点,得AO= = =2 ,BO= =  =4, 又AB=2 ,所以△ABO为等腰三角形,则A在BO上的射影为BO的中点, 以O为原点,OB,OC所在直线分别为x轴、y轴,过O且垂直于平面BCD的直线为z轴,建立如图所示的空间 直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念   可得A(2,0,2),C(0,2,0),D(0,-2,0), 则 =(-2,2,-2), =(-2,-2,-2). 设平面ACD的法向量为n=(x1,y1,z1), 则  第1讲　描述运动的基本概念 令x1=1,得n=(1,0,-1), 因为 = ,所以E(2,1,0),所以 =(0,1,-2),则cos<n, >= = = , 故直线AE与平面ACD所成角的正弦值为 . (3)因为F为线段BD的中点,且由(2)知B(4,0,0),D(0,-2,0),所以F(2,-1,0),则 =(0,-1,-2). 设 =k,0<k<1,又 =(2,0,-2), =(-4,2,0),故 =k =(-4k,2k,0), = + =(2-4k,2k,-2). 设平面AEF的法向量为m=(x2,y2,z2),则  令x2=2k+1,得m=(2k+1,4k-2,1-2k). 设平面ACD与平面AEF的夹角为θ, 第1讲　描述运动的基本概念 则cos θ=|cos<n,m>|= = = . 因为 - +12= + ≥ , 所以k= 时, 取到最大值,为 , 所以当且仅当k= ,即 = 时,平面ACD与平面AEF夹角的余弦值取得最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　用空间向量解决与距离、夹角有关的探索性问题 10.[2026北京陈经纶中学月考]在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD= ,AB=2AD=2CD=4,P为AB的中点,线 段AC与DP交于O点(如图1).将△ACD沿AC折起到△ACD'的位置,使得D'O⊥OP(如图2). (1)求证:平面D'AC⊥平面ABC; (2)线段PD'上是否存在点Q,使得CQ与平面BCD'所成角的正弦值为 ?若存在,求出 的值;若不存在, 请说明理由.        第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:在题图1中,连接CP,由题可知AP􀱀DC,AD=AP=2,则四边形ADCP为菱形,∴AC⊥DP, ∴AC⊥D'O,又D'O⊥OP,AC∩OP=O,AC,OP⊂平面ABC,∴D'O⊥平面ABC, ∵D'O⊂平面D'AC,∴平面D'AC⊥平面ABC. (2)存在, = ,理由如下: 由(1)可知OA,OP,OD'两两互相垂直, 如图,以O为坐标原点,OA,OP,OD'所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.   第1讲　描述运动的基本概念 则C(- ,0,0),B(- ,2,0),D'(0,0,1),P(0,1,0), ∴ =( ,-2,1), =( ,0,1), 设平面BCD'的法向量为n=(x,y,z), 则 即  令x=1,则y=0,z=- , ∴n=(1,0,- ). 由题可设 =λ (0≤λ≤1), ∵ =( ,1,0), =(0,-1,1), ∴ = + = +λ =( ,1-λ,λ), 设CQ与平面BCD'所成的角为θ, 第1讲　描述运动的基本概念 则sin θ=|cos< ,n>|= = = ,即3λ2-7λ+2=0,解得λ= (λ=2舍去), ∴线段PD'上存在点Q,使得CQ与平面BCD'所成角的正弦值为 ,且 = . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026山东临沂第一中学月考]如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,PA=1,AB=  ,BC=1,AD=2,M是PD的中点. (1)求证:CM∥平面PAB; (2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值; (3)在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说 明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:取AP的中点E,连接ME,BE,如图,   又因为M是PD的中点,所以ME∥AD且ME= AD, 因为BC∥AD且BC= AD,所以ME∥BC且ME=BC, 所以四边形BCME是平行四边形,所以CM∥BE, 又因为CM⊄平面PAB,BE⊂平面PAB,所以CM∥平面PAB. (2)由PA⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,且AB⊥AD,知AP,AB,AD两两垂直,以A为原点,建立如图所示 第1讲　描述运动的基本概念 的空间直角坐标系Axyz,   则A(0,0,0),P(0,0,1),B( ,0,0),D(0,2,0),C( ,1,0),则 =( ,1,-1), =(0,2,-1), 显然平面PAB的一个法向量为(0,1,0),记n1=(0,1,0), 设平面PCD的法向量为n2=(x,y,z), 所以  第1讲　描述运动的基本概念 令y=1,则n2= , 所以cos<n1,n2>= = = , 所以平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为 . (3)设 =λ,0≤λ≤1,则 =λ , 由(2)知 =( ,0,0), =(- ,2,0), =(0,0,1),则 = + = +λ =( - λ,2λ,0), 设平面PAQ的法向量为n3=(x0,y0,z0),则  令y0=1,所以n3= ,又点D到平面PAQ的距离为 ,且 =(0,2,-1),所以 = 第1讲　描述运动的基本概念  = , 所以 +3=7,则λ2=(1-λ)2,解得λ= , 所以在线段BD上存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为 ,此时 = . 第1讲　描述运动的基本概念 创新点　立体几何与解析几何的结合 创新题型 12.我们给出定义:在空间直角坐标系中,若平面α经过点P0(x0,y0,z0),向量u=(a,b,c)(abc≠0)为平面α的一个 法向量,P(x,y,z)是平面α内的任意一点,则平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.已知平面α的方程为x-3 y+2z+5=0,则点M(0,2,1)到平面α的距离为 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　平面α的方程可以化为(x-1)-3(y-0)+2(z+3)=0, 则平面α的一个法向量u=(1,-3,2),且平面α经过点P0(1,0,-3), 又M(0,2,1),故 =(-1,2,4), 所以点M(0,2,1)到平面α的距离d= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 $