第1章 1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，通过向量语言表述及证明展开教学。以人民英雄纪念碑为情境导入，结合三个思考问题搭建学习支架，衔接方向向量、法向量与垂直关系的内在逻辑。 其亮点在于例题与训练题均提供基底法和坐标法两种证明路径，培养学生数学思维中的逻辑推理与运算能力。通过现实情境发展数学眼光中的空间观念，用向量语言精确表述关系落实数学语言应用。学生能提升空间想象与推理能力，教师可借助清晰结构高效开展教学。

第3课时　空间中直线、平面的垂直 课标要求 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．　2.能用向量法判断或证明直线、平面间的垂直关系． 返回导航 坐落在天安门广场上的人民英雄纪念碑是我们中华民族的丰碑，它记录着我们中华民族的荣与辱！那么，纪念碑所在直线的方向向量与地面的法向量有什么关系？如何判定直线、平面的垂直关系是我们今天所要学习的内容． 返回导航 新课导入 思考1　两条垂直直线的方向向量有什么关系？ 提示：垂直． 思考2　直线与平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？ 提示：平行． 思考3　两个平面垂直，则两个平面的法向量有什么关系？ 提示：垂直． 返回导航 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点三 3 知识点一　直线与直线垂直 第一部分 6 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔________⇔________． u1⊥u2 u1·u2＝0 返回导航 例1　如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1⊥平面ABCD，AD＝2A1D1＝2AA1，用向量法证明AD1⊥CD1. 返回导航 返回导航 返回导航 【感悟提升】　证明两直线垂直的方法 (1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． (2)基底法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 返回导航 训练 返回导航 返回导航 知识点二　直线与平面垂直 第二部分 14 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔_____⇔∃λ∈R，使得 ______． u∥n u＝λn 返回导航 例2　(对接教材例4)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．  返回导航 求证：(1)EF⊥平面B1AC； 返回导航 返回导航 返回导航 (2)A1C⊥平面AD1B1. 返回导航 返回导航 【感悟提升】　证明线面垂直的方法 (1)基底法：选取基向量，用基向量表示直线的方向向量，证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线的方向向量与平面的法向量共线，从而证得结论． 返回导航 训练 返回导航 求证：CE⊥平面ABC1. 返回导航 返回导航 第三部分 知识点三　平面与平面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔______⇔__________． n1⊥n2 n1·n2＝0 返回导航 例3　如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 返回导航 返回导航 返回导航 【感悟提升】　证明面面垂直的两种方法 (1)证明两个平面的法向量垂直． (2)根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个平面． 返回导航 训练 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 A　 解析：因为α⊥β，所以a⊥b，所以a·b＝x－2－8＝0，解得x＝10. 返回导航 2．(多选)已知平面α及其法向量n，直线l，t及其方向向量a，b，则下面推理正确的是(　 　) A．若l⊥α，t⊂α，则a⊥b B．若l⊥α，l∥t，则b∥n C．若l∥α，t⊂α，则a∥b D．若a⊥b，t⊥α，则a⊥n ABD　 解析：对于A，l⊥α⇒a∥n，又t⊂α⇒n⊥b，故a⊥b，则A正确； 对于B，l⊥α⇒a∥n，又l∥t⇒a∥b，故b∥n，则B正确； 对于C，l∥α，t⊂α时，直线l与t可能为平行或异面关系，因此它们的方向向量a与b不一定平行，故C错误； 对于D，t⊥α⇒b∥n，又a⊥b，故a⊥n，则D正确． 返回导航 3．(教材P33T1(2)改编)已知a＝(m，－2，6)是直线l的方向向量，b＝(1，n，－3)是平面α的法向量．若直线l⊥α，则m－n＝__________． －3 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：线线垂直、线面垂直与面面垂直的向量表示及应用． 2．须贯通：利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间中的垂直关系，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：分清直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间垂直关系的对应，不要混淆． 课堂小结 返回导航 $