1.4.2.1用空间向量研究距离问题 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“用空间向量研究距离问题”，涵盖点到直线、平行直线间、点到平面及平行平面间的距离求解，通过情境问题（如正方体中点到直线距离）与复习投影向量导入，衔接几何法与向量法，搭建新旧知识学习支架。 其亮点在于以转化思想（如平行直线距离转化为点到直线距离）贯穿，公式推导过程渗透数学思维推理，方法归纳“三步曲”（建系、求向量、代公式）规范数学语言表达，综合练习（正方体实例）强化应用意识。助力学生发展空间观念与逻辑推理能力，为教师提供系统教学方法与实例，提升教学效率。

1.4.2.1 用空间向量研究距离问题 第一章　空间向量与立体几何 学习目标 1.能用向量方法解决点到直线、相互平行的直线间的距离问题. 2.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面间的距离问题. 3.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 1、的距离为 2、基底法： 我们知道立体几何中的距离问题包括空间两点、点到直线、点到平面、平行直线与平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离等。 情境导入 我们能不能借助空间向量来解决这些距离问题呢？ 4 3 5 A B C D A1 B1 C1 D1 E 如图所示正方体，思考： 可以用什么办法求点B到直线AC1的距离？ 答：求点线距离的方法有几何法：等面积法 如何用向量的方法解决？ 问题导入 复习回顾：投影向量 新知探究：2、点与直线的距离 已知直线 l 的单位方向向量为 u ，A 是直线l上的定点，P是直线l外一点． Q u l A P 是在直线l上的投影向量 点P到直线l的距离公式 求点P到直线AB的距离的步骤： 方法归纳： A B P ①找相关向量 ②求直线AB的单位方向向量 ③套公式 思考:类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 新知探究：3、直线到直线的距离 两条平行直线间的距离 点到直线的距离 在直线l1上任取一点A，过点A做直线l2的垂线交直线l2于点B， 则线段AB的长度就是这两条平行直线之间的距离 l1 l2 1、已知直线l过点P(1,3,1)且直线l的一个方向向量为m=(1,0,-1)则点A(1,-1,-1)到直线l的距离为( ) 跟踪练习 A B C D A1 B1 C1 D1 E 如图所示正方体，E是A1B1中点，思考： 可以用什么办法求点B到平面AEC1的距离？ 等体积法： 也能用空间向量法，能解决点到平面的距离问题吗？ 新知探究 n α A P Q l 已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.如何求出平面α外一点P到平面α的距离？ 新知探究 如图：过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q ∴点P到平面α的距离PQ就是在直线l上的投影向量的长度.因此 PQ= ∵ 直线l的方向向量 4、点到平面的距离 跟踪练习 2、已知平面的一个法向量点在平面内,则点到平面的距离为( ) 点到平面的距离 直线到平面的距离、平面到平面的距离 利用转化的思想： 5、直线到平面的距离、平面到平面的距离 新知探究 求点P到平面ABC的距离的步骤： A B P ①找相关向量 ②求平面ABC的法向量 ③套公式 方法归纳： C 跟踪练习 3、两平行平面分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是（ ） 如图，在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，棱长均为 2，点 E 为 BB₁ 的中点。 (1) 求点 B₁到直线 D₁E 的距离 (2) 求点 D 到平面 AD₁E 的距离； (3) 求 BC₁ 到平面 AD₁E 的距离。 综合练习 解：以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DD₁ 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系。 由棱长为 2、E 为 BB₁ 中点，得各点坐标： D(0,0,0)，A(2,0,0)，D₁(0,0,2)，B(2,2,0)，B₁(2,2,2)，E(2,2,1)，C₁(0,2,2)。 如图，在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，棱长均为 2，点 E 为 BB₁ 的中点。 (1) 求点 B₁到直线 D₁E 的距离 解：以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DD₁ 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系。 由棱长为 2、E 为 BB₁ 中点，得各点坐标： D(0,0,0)，A(2,0,0)，D₁(0,0,2)，B(2,2,0)，B₁(2,2,2)，E(2,2,1)，C₁(0,2,2)。 （1） 点B₁到直线D₁E的距离为： 也可以用等面积法更简便 综合练习 如图，在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，棱长均为 2，点 E 为 BB₁ 的中点。 (2) 求点 D 到平面 AD₁E 的距离 解：由已知得向量： 设平面 AD₁E 的法向量为 则 令，得 点 D 到平面 AD₁E 的距离为： 综合练习 如图，在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，棱长均为 2，点 E 为 BB₁ 的中点。 (3) 求 BC₁ 到平面 AD₁E 的距离。 由题意 解：(先判断直线与平面的位置关系) = 故BC₁ ∥ AD₁ 又 AD₁ ⊂ 平面 AD₁E，且 BC₁ ⊄ 平面 AD₁E， BC₁ ∥ 平面 AD₁E 因此 BC₁ 到平面 AD₁E 的距离等于其上任意一点（取 B）到该平面的距离。 直线BC₁到平面 AD₁E 的距离为： 综合练习 已知正四棱柱的底面边长为，且该四棱柱的外接球的表面积为，为中点，则点到平面的距离为( ) 巩固练习 小结梳理 两点距离 公式法 向量求模法(基底法/坐标法) 点到直线的距离 直线到直线的距离 点到直线的距离 点到平面的距离 等体积法 公式法PQ 直线到平面的距离 转化成点到平面的距离 平面到平面的距离 向量解决距离问题三步曲：①建系（确定向量） ②求相关向量（或法向量） ③代入公式计算 $