第1章 1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量及其运算的坐标表示，涵盖空间直角坐标系建立、向量坐标表示与运算、平行垂直条件及夹角距离计算，通过吴文俊先生观点导入，从平面直角坐标系类比过渡到空间，搭建二维到三维的认知支架。 其亮点在于以问题驱动引导类比思考，结合直三棱柱、正方体实例，通过例题与训练培养几何直观和空间观念，感悟提升总结方法，体现用数学思维构建知识体系，帮助学生发展空间观念和运算能力，为教师提供系统教学资源和方法指导。

1．3　空间向量及其运算的坐标表示 课标要求 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．　2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．　3.掌握空间向量运算的坐标表示及空间两点间的距离公式，并会用向量的坐标解决一些简单的几何问题． 返回导航 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，……对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法……”我们应如何理解吴文俊先生的这段话？如何刻画点在直线上、平面内、空间内的位置？本节课我们就来研究这个问题． 返回导航 新课导入 思考1　我们知道平面直角坐标系包括坐标原点、两条互相垂直的坐标轴、单位长度三个要素，那么空间直角坐标系包括哪些要素？ 提示：坐标原点、三条互相垂直的坐标轴、单位长度． 思考2　在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数(即它的坐标)表示．对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？ 提示：是的． 思考3　有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量的坐标运算吗？ 提示：已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)等． 返回导航 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点三 3 知识点四 4 知识点一　空间直角坐标系及点的坐标 第一部分 6 1．空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：____、____、____，它们都叫做坐标轴．这时我们建立了一个空间直角坐标系Oxyz.O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为_____平面，_____平面，_____平面，它们把空间分成八个部分． x轴 y轴 z轴 Oxy Oyz Ozx 返回导航 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向____的正方向，食指指向____的正方向，如果中指指向____的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． x轴 y轴 z轴 返回导航 有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z). 返回导航 即时练 × × √ √ 返回导航 2．点A(1，2，－1)在坐标平面Oyz内的射影的坐标是(　　) A．(1，0，－1) B．(0，2，－1) C．(1，2，0) D．(－1，2，0) 解析：点A(1，2，－1)在坐标平面Oyz内的射影的坐标，即过点A作平面Oyz的垂线所得垂足的坐标为(0，2，－1). B 返回导航 (4，0，0)　 (0，4，4)　 (－4，4，4) 返回导航 返回导航 4．在空间直角坐标系Oxyz中，若点P(a，b，2a)关于坐标平面Ozx对称的点为Q(2－a，－b，b＋5)，则点P的坐标为____________． (1，－3，2) 返回导航 【感悟提升】　(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点M的坐标的方法：作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求点M在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z). (3)空间直角坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“谁不存在谁变号”原则． 返回导航 知识点二　空间向量运算的坐标表示 第二部分 16 1．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 加法 a＋b＝____________________________________ 减法 a－b＝____________________________________ 数乘 λa＝________________________，λ∈R 数量积 a·b＝_________________________ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 x2－x1，y2－y1，z2－z1 减去 返回导航 例1　(1)若a＝(－1，2，－1)，b＝(1，3，－2)，则(a＋b)·(a－2b)＝(　　) A．－29 B．－22 C．22 D．29 【解析】　由a＝(－1，2，－1)，b＝(1，3，－2)，得a＋b＝(0，5，－3)，a－2b＝(－3，－4，3)， 所以(a＋b)·(a－2b)＝0×(－3)＋5×(－4)＋(－3)×3＝－29. A　 返回导航 (5，4，3) 返回导航 【感悟提升】　空间向量坐标运算的解题方法 (1)直接计算，首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量的坐标运算公式计算． (2)由条件求向量的坐标时，首先把向量用坐标的形式设出来，然后建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标． 返回导航 训练 　 　　1.已知向量a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则4a－3b＝ (　　) A．(2，－4，2) B．(10，－20，10) C．(－10，20，－2) D．(2，1，－3) 解析：由题可得b＝a＋b－a＝(－2，4，－2)，4a－3b＝(4，－8，4)－(－6，12，－6)＝(10，－20，10). B　 返回导航 －9 返回导航 第三部分 知识点三　空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 返回导航 例2　已知空间向量m＝(x，y，1)，n＝(x，－2，2x). (1)若m∥n，求x＋y的值； 返回导航 (2)若m⊥n，求y的最小值及此时x的值． 返回导航 【感悟提升】　判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数的值，利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． 返回导航 训练 　　　1.下列各组向量中不平行的是(　　) A．a＝(1，1，－2)，b＝(2，2，－4) B．c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0) C．e＝(1，1，0)，f＝(0，0，0) D．g＝(－2，3，5)，h＝(2，3，5) D　 解析：对于A，b＝2a，两向量平行； 对于B，d＝－3c，两向量平行； 对于C，零向量与任何向量都平行； 对于D，不存在实数k使得g＝kh，两向量不平行． 返回导航 2．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，2，－2)，c＝(6，1，λ)，若(a－b)⊥c，则λ的值为________． 解析：因为a＝(2，－1，3)，b＝(－1，2，－2)，所以a－b＝(3，－3，5)，由(a－b)⊥c得(a－b)·c＝0，又c＝(6，1，λ)，所以3×6＋(－3)×1＋5λ＝0，解得λ＝－3. －3 返回导航 知识点四　夹角、距离的计算 第四部分 30 1．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模 |a|＝______＝________________ 夹角 cos 〈a，b〉＝______＝_______________________ 返回导航 返回导航 (1)求FH的长； 返回导航 (2)求EF与C1G所成角的余弦值． 返回导航 返回导航 母题探究　在本例中，求△EFH的面积S. 返回导航 【感悟提升】　向量夹角与模的计算方法 建立恰当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，然后利用夹角与模的计算公式进行求解． 注意　异面直线所成角的范围与向量夹角的范围不同． 返回导航 训练 　　 　如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝2.  (1)求M，N两点之间的距离； 返回导航 (2)求直线PA与MN所成的角． 返回导航 课堂巩固自测 1．在空间直角坐标系Oxyz中，与点A(4，－6，－1)关于Oxy平面对称的点的坐标为(　　) A．(－4，－6，－1) B．(－4，6，－1) C．(4，－6，1) D．(4，6，1) 解析：由题意，在空间直角坐标系Oxyz中，与点A(4，－6，－1)关于Oxy平面对称的点的横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，即为(4，－6，1). C　 返回导航 2．(教材P23T5改编)若向量a＝(2，2，3)，b＝(－1，2，1)，c＝(0，1，1)，则a·(b＋2c)＝(　　) A．5 B．7 C．10 D．15 解析：由b＝(－1，2，1)，c＝(0，1，1)，得b＋2c＝(－1，4，3)，而a＝(2，2，3)， 所以a·(b＋2c)＝2×(－1)＋2×4＋3×3＝15. D　 返回导航 3．已知向量a＝(2，2m－3，8)，b＝(4，2m＋1，16)，且a∥b，则m＝___． 返回导航 4．(教材P22T5改编)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出各个顶点的坐标； 解：由题意，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(0，1，1). 返回导航 (2)求直线A1B与AC1所成角的余弦值． 返回导航 1．已学习：空间直角坐标系的概念、空间点及空间向量的坐标、空间向量运算的坐标表示及应用． 2．须贯通：空间向量的坐标运算实际上比平面向量坐标运算增加了一个竖坐标，可看作平面向量坐标运算的推广． 3．应注意：厘清空间点的坐标和向量的坐标的概念；讨论向量夹角易忽略向量共线的情况；求异面直线所成的角易忽略范围． 课堂小结 返回导航 3．(对接教材例1)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立如图所示的空间直角坐标系，则向量的坐标为__________；1的坐标为___________；1的坐标为___________． (2)在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，1)，B(3，2，2)，点D满足＝2，则点D的坐标是____________． 共线 当b≠0时，a∥b⇔______⇔________________________(λ∈R) 当b1≠0，b2≠0，且b3≠0时，a∥b⇔＝＝ 垂直 当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔__________⇔___________________ 2.空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)， 则P1P2＝||＝________________________________． $