第1章 1.2 空间向量基本定理-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，课堂导入引用《道德经》“道生万物”语句，关联平面向量基本定理，搭建从二维到三维的认知支架，帮助学生理解基底生成空间向量的原理。 其亮点在于通过问题链引导数学思维，如辨析基底与基向量条件，结合空间四边形向量表示等例题培养空间观念，用即时练和应用点强化数学语言表达，助力学生深化理解，为教师提供系统教学资源。

1．2　空间向量基本定理 课标要求 1.掌握空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量正交分解．　2.会用基底表示空间向量．　3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法． 返回导航 “道生一，一生二，二生三，三生万物”，这句话出自老子的《道德经》，他表示“道”生万物，从少到多，从简单到复杂的一个过程，联系我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一个二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一个三维的基底，可以生成空间中的所有向量．这节课我们来探究空间向量基本定理及其应用． 返回导航 新课导入 思考1　根据学习过的平面向量基本定理，说明基底与基向量的概念有什么不同？ 提示：一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 思考2　平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？ 提示：空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底． 返回导航 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点一　空间向量基本定理 第一部分 6 1．定理 条件 三个_________的向量a，b，c和____________空间向量p 结论 存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_______________ 不共面 任意一个 p＝xa＋yb＋zc 返回导航 2.基底 三个向量a，b，c_________，那么{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做_________． 如果空间的一个基底中的三个基向量两两______，且长度都为_，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 3．正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使_____________．像这样，把一个空间向量分解为三个两两______的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 不共面 基向量 垂直 1 a＝xi＋yj＋zk 垂直 返回导航 即时练 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)0也可以作为基向量．(　　) (2)空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示．(　　) (3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(　　) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(　　) × × √ × 返回导航 ACD　 返回导航 返回导航 3．若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3，且{a，b，c}不能构成空间的一个基底，则t＝________． －1 返回导航 【感悟提升】　(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间的一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 返回导航 知识点二　用基底表示空间向量 第二部分 14 返回导航 返回导航 返回导航 【感悟提升】　用基底表示空间向量的步骤 返回导航 训练 D　 返回导航 返回导航 2．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，向量p＝3a＋2b＋c，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，则用基底{a＋b，a－b，c}表示向量p＝ ______________________． 返回导航 返回导航 返回导航 (1)MN∥平面PCD； 返回导航 (2)MC⊥DB. 返回导航 【感悟提升】　证明平行、垂直问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明直线平行，进一步证明线面平行． (2)将要证的线面垂直转化为线线垂直，再转化为两直线的方向向量的数量积为0.  返回导航 角度2　求异面直线所成的角 例3　如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为_______． 返回导航 返回导航 返回导航 【感悟提升】　将异面直线所成的角转化为两条直线的方向向量的夹角(或其补角).再用基向量表示出两方向向量，并借助于向量的运算求出角． 返回导航 　　　1.已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且a＝－2e1－2e2＋6e3，b＝e1＋xe2－3e3，若a∥b，则实数x＝________． 训练 1 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 B　 返回导航 返回导航 ACD　 返回导航 因为a－b＋b＋c＝a＋c，所以{a－b，b＋c，a＋c}不能构成空间的一个基底，B错误；  (a＋b)·(a＋c)＝a2＝1，C正确；  因为不存在实数x，y，使得x(a－b)＋y(b＋c)＝a－c，所以{a－b，b＋c，a－c}构成空间的一个基底，D正确． 返回导航 3．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋υe3＝0，则λ2＋μ2＋υ2＝________． 解析：因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3为不共面向量．又λe1＋μe2＋υe3＝0，所以λ＝μ＝υ＝0，所以λ2＋μ2＋υ2＝0. 0 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：空间向量基本定理及其应用． 2．须贯通：空间向量基本定理表明空间的任意一个向量都可以用空间的一个基底来表示，并且这种表示是唯一的，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：向量的夹角和线线角的范围不同，不要混淆． 课堂小结 返回导航 $