第1章 1.1.2 空间向量的数量积运算-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖夹角、数量积定义性质运算律及投影向量。通过“力做功”实例导入，结合平面向量数量积的问题思考，搭建从平面到空间的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以问题驱动引导学生用数学眼光观察类比，通过即时练和正四棱柱、四面体等例题培养数学思维，用向量法解决几何问题体现数学语言表达，“感悟提升”总结方法。助力学生提升空间观念和运算能力，为教师提供系统教学资源。

1．1.2　空间向量的数量积运算 课标要求 1.了解空间向量的夹角．　2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．　3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．　4.掌握两个向量的数量积在判断垂直关系中的应用，会利用向量的数量积求空间两点间的距离． 返回导航 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝F·s＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角．为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引进了“数量积”的概念，本节课我们学习空间向量的数量积问题． 返回导航 新课导入 思考1　平面向量的数量积是如何定义的？ 提示：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a|·|b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 思考2　类比平面向量，如何探究空间向量夹角及数量积？ 提示：只要把两个空间向量平移到同一起点，就可利用平面向量的方法定义空间向量的夹角及数量积． 返回导航 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点一　空间向量的夹角 第一部分 6 ∠AOB 0 π 返回导航 即时练 × × × × 返回导航 2．已知a，b是空间非零向量，若|a|＝|b|＝|a＋b|，则〈a，b〉＝________． 返回导航 返回导航 返回导航 知识点二　空间向量的数量积 第二部分 12 1．数量积的定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作_______．即a·b＝___________________． a·b |a||b|cos〈a，b〉 返回导航 2．数量积的性质(a，b是非零向量) a·b＝0 |a||a|cos〈a，a〉 返回导航 3.投影向量 返回导航 返回导航 4.数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝________，λ∈R 交换律 a·b＝______ 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c λ(a·b) b·a 返回导航 A　 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 【感悟提升】　(1)求空间向量数量积的步骤 ①将各个向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； ②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积形式； ③代入a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解． (2)空间向量数量积a·b的几何意义 数量积a·b等于向量a在向量b上的投影向量c与向量b的数量积，即a·b＝c·b. 返回导航 训练 C　 返回导航 4 返回导航 A　 返回导航 返回导航 返回导航 角度2　证垂直 例3　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，AA1⊥平面ABC，E，F分别是BB1，A1C1的中点．求证：AF⊥CE. 返回导航 返回导航 返回导航 【感悟提升】　用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量； (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题． 返回导航 训练 D　 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 B　 返回导航 返回导航 D　 返回导航 返回导航 4 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：空间向量的夹角、投影向量、空间向量数量积的性质及运算律． 2．须贯通：利用空间向量的数量积研究线段长度及位置关系，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：体会空间向量的工具性作用，利用向量的运算得出向量的位置关系后，一定要转化为相应的几何关系． 课堂小结 返回导航 定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则______叫做向量a，b的夹角 记法 〈a，b〉 范围 _____≤〈a，b〉≤____，当〈a，b〉＝___时，a⊥b 【感悟提升】　对两个空间向量夹角的理解 (1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π⇔a∥b(a，b为非零向量)； (2)〈，〉＝〈，〉＝π－〈，〉． 向量数量积的性质 垂直 a⊥b⇔______________ 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝______________＝|a|2； |a|＝；|a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 类别 作法 图形表示 符号表示 向量a在向量b上的投影向量 将向量a，b(直线l)平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b(直线l的方向向量)共线的向量c c＝|a|·cos 〈a，b〉 向量a在直线l上的投影向量 类别 作法 图形表示 符号表示 向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量 $