第1章 02-1.1.2 空间向量的数量积运算（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，从平面向量延伸至空间向量，通过基础过关练到能力提升练的递进设计，以题组形式构建概念理解、运算应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合数学眼光观察空间形式，通过正方体、正四面体等实例培养空间观念，以数学思维推理逻辑关系，如排除反向共线、余弦定理应用，用数学语言表达几何问题，如投影向量、异面直线夹角计算。助力学生提升空间想象与推理能力，为教师提供分层教学资源。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.1　空间向量及其运算 1.1.2　空间向量的数量积运算 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　空间向量数量积的概念及其运算 1.[2026安徽阜阳太和第一中学月考]已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,若 =a, =b, =c,则(a +b)·(b-c)= ( ) A.0　    B.1　    C.2　    D.4     B     解析　由题意知,a,b,c两两垂直,且其模均为1,∴(a+b)·(b-c)=a·b-a·c+b2-b·c=0-0+1-0=1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河南洛阳栾川月考]如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量 在 上的投 影向量为 ( )   A.-  　    B.  　    C.-  　    D.       D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,则 · =( + + )· = · + · + ·  =0+6×6× +62=54, 则向量 在 上的投影向量为 · =  =  . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河南信阳高中月考]若A,B,C,D是空间中不共面的四点,且满足 · = · = · =0,则△ BCD是 ( ) A.钝角三角形　    B.锐角三角形　     C.直角三角形　    D.不确定     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵ · = · = · =0,∴AB⊥AC,AC⊥AD,AB⊥AD, 设AB=a,AC=b,AD=c,则BC= ,CD= ,BD= ,在△BCD中,由余弦定理的推论得cos∠ CBD= = >0, 同理可得,cos∠BCD>0,cos∠BDC>0,(注意:判定锐角三角形时要证明三个角均为锐角) ∴∠CBD,∠BCD,∠BDC都是锐角,即△BCD是锐角三角形. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[易错题]已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,当a+2b与ka-b的夹角为钝角时,k的取值范围为 _________________.     k>-7且k≠-      解析　由题意得(a+2b)·(ka-b)=ka2+(2k-1)a·b-2b2=k+(2k-1)×1×2×cos 120°-8=-k-7<0,解得k>-7. 又当k=- 时,a+2b与ka-b反向共线,此时它们的夹角为180°,并不是钝角, ∴k>-7且k≠- . 易错警示　利用两向量的夹角求参时,要考虑两向量同向、反向的情形. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　利用空间向量的数量积解决夹角问题 5.[2026四川外国语大学附属外国语学校月考]已知在四面体ABCD中,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD= 1,则AB与CD所成的角是 ( ) A.30°　    B.45°　     C.60°　    D.90°     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由∠ACD=∠BDC=90°,得AC⊥CD,BD⊥CD,则 · = · =0, ∴ · =( + + )· = · + + · =| |2=1, ∴cos< , >= = , ∴AB与CD所成的角为60°. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025山东烟台莱州一中等三校联考]如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2,四边形ABCD 是正方形,∠A1AD=∠A1AB= ,O是B1C与BC1的交点,则直线AO与CB所成角的余弦值为 ( )   A.1　    B. 　    C. 　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析     = + = +  +  = +  +  , 则 · = · =  +  +   · = · +  +  · =0+ ×4+ ×2×2×cos  =3,  =  = +  +  + · + · +  ·  =4+1+1+0+2×2×cos  + ×2×2×cos  =9, 因此| |=3, 所以cos< , >= = = , 设直线AO与CB所成角的大小为θ,则cos θ=|cos< , >|= . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026河北邯郸阶段联考]如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=2,EF=4,CA=CB=3,若 · +  · =7,则 与 的夹角的余弦值等于_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵ =9=( - )2= + -2 · =9+4-2 · , ∴ · =2, ∵ · + · =7,∴ ·( + )+ ·( + )= + · + · + · =4+ ·(- )+2+ ·  =6+ ·( - )=6+  · =7,∴ · =2, ∴4×3×cos< , >=2,∴cos< , >= . 方法总结    (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式; (2)利用向量数量积的运算律将式子展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积; (3)结合公式a·b=|a||b|·cos<a,b>求解. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用空间向量的数量积求长度(模) 8.[2026广东汕头第一中学月考]如图,线段AB,BD在平面α内,∠ABD= ,AC⊥α,且AB=2,CD=2 ,AC=1, 则BD= ( )   A.1　    B. 　    C.3　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设BD=x,因为AC⊥α,AB,BD⊂平面α,所以AC⊥AB,AC⊥BD,故 · =0, · =0,因为∠ABD=  ,所以 · =x, 根据向量的线性运算,可得 = + + ,又CD=2 , 故8= = = + + +2 · +2 · +2 · =12+22+x2+0+0+2x=x2+2x+5, 即x2+2x-3=0,解得x=-3(舍)或x=1,故BD=1. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026福建福州闽侯第六中学月考]已知空间向量a,b,c两两间的夹角为60°,且|a|=|b|=|c|=2,则|a-b+2c|= __________.     2      解析　由已知得a·b=a·c=b·c=2×2×cos 60°=4× =2, ∴|a-b+2c|2=(a-b+2c)·(a-b+2c)=a·a+(-b)·(-b)+2c·2c+2a·(-b)+2a·2c+2·(-b)·2c=4+4+16+(-4)+8+(-8)=20,因此| a-b+2c|=2 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.如图,在平面角大小为60°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两 点间的距离是_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,∴AE⊥EF,DE⊥EF,BF⊥EF,CF⊥EF,又平面 ABFE∩平面CDEF=EF,∴二面角A-EF-D的平面角为∠AED=∠BFC=60°,易得 = + + ,∴| |2 =( + + )2= +| |2+ +2 · +2 · +2 · =1+1+1+0+2×1×1×cos 120°+0=2,∴| | = ,故B,D两点间的距离是 . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026湖南天壹名校联盟联考]空间内不共面的三条直线l,m,n满足l⊥m,l⊥n,且l∩m=A,l∩n=B,设C∈ n,D∈m,已知 · =-4, · =2,∠BAC=∠DAC,则BD=_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,   由l⊥m,l⊥n得 · =0, · = ·( - )=0,则 · = , 又 · =-4,所以 · = ·( + )= · +4=4,即 =4,得AB=2. 又 · =2,所以 · =( + )· = · +2=2. 由∠BAC=∠DAC得cos∠BAC=cos∠DAC, 即 = ,即 = ,解得AD=1,故在△BAD中,由勾股定理得BD= = . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.1　空间向量及其运算 1.1.2　空间向量的数量积运算 第1讲　描述运动的基本概念 题组一    与空间向量数量积有关的范围或最值问题 1.[2026江苏南通第一中学月考]已知正四面体ABCD的棱BC的中点为E,且2| |=| |=2(点P为空间中 一动点),则 · 的最大值为 ( ) A.2 -2　    B.2 +2　    C.4 -4　    D.4 +4     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　取AD的中点F,连接PF,EF,如图, 由题意知| |=1,| |=1, 所以 · =( + )·( + )= - = -1.(解题关键点:将求数量积的最值转化为求| |的最值) 又因为 = + ,所以| |=| + |≤| |+| |,当且仅当 , 同向共线时等号成立. 同理,| |=| + |≥|| |-| ||,当且仅当 , 反向共线时等号成立. 连接AE,DE,因为正四面体ABCD的棱长为2,所以在△ADE中,EA= ,ED= ,AD=2, 所以EF= ,即| |= , 所以 -1≤| |≤1+ ,即3-2 ≤ ≤3+2 , 所以2-2 ≤ -1≤2+2 ,即2-2 ≤ · ≤2+2 , 所以 · 的最大值为2+2 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026浙江温州永嘉中学开学考试]已知空间向量a,b,c两两间的夹角均为60°,且|a|=|b|=2,|c|=4. 若向量x,y满足x·(x+a)=x·b,y·(y+a)=y·c,则|x-y|的值可能是 ( ) A.1+2 　    B.6　    C.9-2 　    D.5-      AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,取三棱锥O-ABC,使 =a, =b, =c,∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°,   则OA=OB=2,OC=4,所以AB=2,AC=BC= = =2 , 令 =x, =y,则|x-y|=| |. 由x·(x+a)=x·b⇒x·(x+a-b)=0,y·(y+a)=y·c⇒y·(y+a-c)=0, 又b-a= - = ,c-a= - = , 所以 ·( - )=0, ·( - )=0,即 · = · =0, 所以AD⊥DB,AE⊥EC. 第1讲　描述运动的基本概念 分别取AB,AC的中点M,N,连接DM,MN,EN,则DM= AB=1,EN= AC= ,MN= BC= ,则点D,E分别在以 M,N为球心,1, 为半径的球面上, 由于EN-DM<MN<DM+EN,所以两球有公共点,故DE的长度的最小值为0, 易知当D,M,N,E四点共线且按此顺序排列时,DE的长度取得最大值,为DM+MN+NE=1+2 , 故选出在区间[0,1+2 ]内的值即可. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026四川广安友实学校月考]已知MN是棱长为4的正方体的内切球的一条直径,点P在正方体表面上 运动,则 · 的最大值为_________.     8     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,以正方体ABCD-A1B1C1D1为例,设其内切球的球心为G,连接PG.由题知正方体的体对角线长 为4 ,GM=GN=2, · =( + )·( + )= + ·( + )+ · , 因为MN是正方体内切球的一条直径,所以 + =0,则 · =-4,所以 · = -4. 又点P在正方体表面上运动,所以当P为正方体的顶点时,| |最大,且最大值为2 ,所以 · = -4 ≤8,所以 · 的最大值为8.   第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026辽宁省实验中学月考]如图,正八面体ABCDEF的棱长为4,空间中一动点P满足| + |=2,则 ·  的最大值为_________.       8     第1讲　描述运动的基本概念 解析　取AB的中点M,由| + |=2| |=2,得| |=1,所以点P在以M为球心,1为半径的球面上.在正八 面体ABCDEF中, = ,则 · =( + )· = · + · =2×4×cos 60°+1×4×cos< , >=4 +4cos< , >(解题关键), 而cos< , >∈[-1,1],则 · =4+4cos< , >∈[0,8],所以 · 的最大值为8. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026广东惠州华罗庚中学月考]若P是棱长为2 的正四面体表面上的动点,MN是该四面体内切球的 一条直径,则 · 的最大值是_________.     8     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图所示:   以正四面体ABCD为例,设其内切球的球心为点O,连接AO并延长,交底面BCD于点E,则E为正三角形 BCD的中心,且AE⊥平面BCD, 连接BE并延长,交CD于点F,则F为CD的中点,且BF⊥CD, ∴BF= =3 ,∴BE= BF=2 ,∵AE⊥平面BCD,BE⊂平面BCD, ∴AE⊥BE,∴AE= =4, 第1讲　描述运动的基本概念 又S△BCD= ·CD·BF=6 , ∴正四面体ABCD的体积V四面体ABCD= S△BCD·AE=8 , 设球O的半径为R,连接OB,OC,OD, 则V四面体ABCD=VO-BCD+VO-ACD+VO-ABD+VO-ABC=4VO-BCD=4× S△BCD·R,∴R= =1,∴AO=AE-OE=3, ∵ = + , = + = - , ∴ · =( + )·( - )= - = -1,当 最大,即点P位于正四面体ABCD的顶点时, ·  取得最大值,即 · = -1≤AO2-1=9-1=8. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　空间向量数量积的综合应用 6.[多选题][2026湖北荆门名校联盟联考]已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各个面均为菱形,设 =a,  =b, =c,且|a|=1,a,b,c两两之间的夹角均为 ,则 ( ) A.(a+c)·(b+c)= 　    B. · =0　     C.| |= 　     D.∠B1AD1<<a,b>     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各个面均为菱形,|a|=1,所以|b|=|c|=1,又a,b,c两两之间的夹角均 为 ,所以a·b=a·c=b·c= ,故(a+c)·(b+c)=a·b+a·c+c·b+c·c= + + +1= ,故A正确;  · =(a+b+c)·(-a+b+c)=-a·a+b·b+c·c+2b·c=-1+1+1+1=2,故B错误;  =|a+b+c|2=|a|2+|b|2+|c|2+6a·b=6,故| |= ,故C正确; 易知cos∠B1AD1= = = > ,故0<∠B1AD1< ,又<a,b>= ,故∠B1AD1<<a,b>,故D正 确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2026江苏无锡江阴南菁高级中学月考]如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2,  , , 两两间的夹角均为60°,点E,F分别在棱BB1,DD1上,且BE=2B1E,D1F=2DF,则( ) A.A,E,C1,F四点共面 B. 在 方向上的投影向量为   C.| |=      ABD     D.直线AC1与EF所成角的余弦值为  第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,在棱A1A上取点H,使得A1H=2HA,连接AE,C1F,HF,B1H,AF,C1E, 易知在平行六面体中,AH=B1E,AH∥B1E,所以四边形AHB1E为平行四边形,可得AE∥B1H, 因为HF=B1C1,HF∥B1C1,所以四边形HFC1B1为平行四边形,可得B1H∥C1F,   所以AE∥C1F,可得A,E,C1,F四点共面,因此A正确; 对于B,在平行六面体中, = + + , 因此 =( + + )2= + + +2 · +2 · +2 · =24,则| |=2 , 第1讲　描述运动的基本概念 故 在 方向上的投影向量为 ·  =  =  ,因此B正确; 对于C, = - = +  - -  =- + -  , 则 = = + +  -2 · +  · -  · = ,则| |= ,因此C不正 确; 对于D,  第1讲　描述运动的基本概念 =  = =- , 于是直线AC1与EF所成角的余弦值为 ,因此D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025河北唐山第五中学月考]在四面体PABC中,给出以下说法,其中错误的是 ( ) A.若 =  +  ,则 =3  B.若Q为△ABC的重心,则 =  +  +   C.若 · =0, · =0,则 · =0 D.若四面体PABC的各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则| |=1     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由 =  +  ,得3 = +2 ,整理得2 -2 = - ,所以2 = ,故2 =  - ,所以 =3 ,故A中说法正确; 对于B,由于Q为△ABC的重心,所以 + + =0,所以 - + - + - =0,即 =  +  +   ,故B中说法正确; 对于C,由 · =0, · =0,得 · + · =0,所以 · + ·( + )=0,整理得( - )· +  · =0,所以 · + · =0,即 · + · =0,即 · =0,故C中说法正确; 对于D,由题可知,四面体PABC的各个面均为正三角形, 则| |=| |=| |=2, , , 两两之间的夹角均为60°, 又 = - = ( + )-  = ( + - ), 且| + - |= 第1讲　描述运动的基本概念   =2 , 所以| |= ,故D中说法错误. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026河南信阳滨城高级中学月考]已知空间向量 , , 的模均为1, · = , · = · =- . 若存在非零实数λ,μ,使得 + =λ , =μ ,且 · = · =0,则λ-μ=_________.     0     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由μ =μ( - )= = - ,得 =  +  , ∴ · = ·( - )= · - = ( + )·   +   - ( + )2=0,又 · =  , · = · =- ,∴ + =3①, ∵ · = ·( - )= ( - )·   +  - ( + ) =0,∴ + =3②. 由①②解得λ=μ= , 所以λ-μ=0. 第1讲　描述运动的基本概念 创新点　空间想象能力在向量中的应用 创新题型 10.若正四面体ABCD的棱长为4,空间中的动点P满足| + |=2 ,则 · 的取值范围为 ( ) A.[4-2 ,4+2 ]　    B.[ ,3 ]　     C.[4-3 ,4- ]　     D.[-14,2]     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　分别取BC,AD的中点E,F,连接EF,ED,则| + |=2| |=2 , (共起点的两向量之和的问题,通常取两向量终点所构成线段的中点,利用平行四边形法则将两向量转 化为一个向量,这是解题的关键点) 所以| |= ,因此点P在以E为球心, 为半径的球面上,    · =-( + )·( + )=-( + )·( - )= - =4- , 又ED= = =2 , EF= = =2 , 所以 =EF- = , =EF+ =3 , 因此 · 的取值范围为[-14,2]. 第1讲　描述运动的基本概念 $