四 基本不等式专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦基本不等式核心应用，通过不同条件下的最值问题及实际情境，系统覆盖“一正二定三相等”条件及变形技巧，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|5题|正实数条件下直接求最值|从基本不等式概念出发，强化“定积求和”“定和求积”基本原理| |条件最值|5题|含等式条件的最值（如“1的代换”）|通过条件变形构建基本不等式适用形式，体现概念推导与应用拓展| |实际应用|2题|造价、年平均费用等优化问题|建立数学模型，将实际问题转化为不等式应用，培养模型意识与数据观念|

27届高三一轮复习练习题 四、基本不等式 一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，为正实数，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意，，为正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故选B． 2.若正实数，满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题． 由已知利用乘法，结合基本不等式即可求解． 【解答】 解：若正实数，满足，即， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故选：． 3.若正数满足，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题． 由已知解出，然后把换成，利用基本不等式即可求解． 【解答】 解：由已知，因为， 可得， 因为，均大于 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为． 故选：． 4.已知实数，满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为，，所以， 又满足， 则， ， 当且仅当，即，时取等号， 故选：． 利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出 本题考查了“乘法”与基本不等式的性质，属于基础题． 5.已知，为正实数且，则的最小值为    ． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 构造基本不等式求最值求解即可． 【解答】 解：由可知，则 ， 当，即，时，等号成立． 故答案选：． 6.若，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查基本不等式，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题． 由可得，把变形为，由基本不等式可得最大值． 【解答】 解：因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为． 故选A． 7.若，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题． 根据基本不等式的性质计算即可． 【解答】 解：， 当且仅当时“”成立， 即的最小值为， 故选A． 二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.若，则函数的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查基本不等式，但需注意使用条件“一正二定三相等”． 由，利用基本不等式即可解出答案． 【解答】 解：由题意，， ，， 当且仅当即时取等号， 故答案为：． 9.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为如果池底每的造价为元，池壁每的造价为元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为           【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，考查用数学知识解决实际问题，属于基础题． 设水池底面一边的长度为，则另一边长度为，由题意可得水池总造价，然后利用基本不等式求最值，可得水池总造价最低时的水池底部的周长． 【解答】 解：设水池底面一边的长度为，水池总造价为元， 由题意得，水池底面积为， 故水池底面另一边长为，池底的造价为元， 则， 故， 当且仅当，即时，有最小值元，此时水池底部的周长为． 故答案为． 三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题分 已知关于的不等式的解集为． 求，的值 若，，且，求的最小值． 【答案】解：因为关于的不等式的解集为， 所以和是关于的方程的两个实数根，且， 所以解得，． 由知， 所以 ， 当且仅当， 即，时等号成立， 所以的最小值为．  【解析】本题考查了三个“二次”的关系和由基本不等式求最值或取值范围，是中档题． 由题意得和是关于的方程的两个实数根，且，根据韦达定理得出，的值 由，利用基本不等式可得其最小值． 11.本小题分 已知集合，集合，集合． 求集合； 若集合中的最大元素为，已知正实数，满足，求的最小值． 【答案】解：由题意得，， 所以； 由得，，即， 所以， 当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为．  【解析】结合函数由意义的条件求出集合，解二次不等式求出集合，然后结合集合的交集运算即可求解； 结合求出，然后利用乘法，结合基本不等式可求． 本题主要考查了集合交集运算，利用基本不等式求解最值，解的关键是利用乘法配凑基本不等式的应用条件，属于基础题． 12.本小题分 为了印刷服务上一个新台阶，学校打印社花费万元购进了一套先进印刷设备，该设备每年的管理费是万元，使用年时，总的维修费用为万元，问： 设年平均费用为万元，写出关于的表达式；年平均费用 这套设备最多使用多少年报废合适？即使用多少年的年平均费用最少 【答案】解：由题意可知，  ，  ， 当且仅当时，即时，等号成立，函数有最小值， 故这套设备最多使用年报废合适．  【解析】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题． 根据已知条件，将购买设备的费用，管理费，维修费求和，并除以年限，即可求解． 根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 27届高三一轮复习练习题 四、基本不等式 一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，为正实数，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 2.若正实数，满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 3.若正数满足，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 4.已知实数，满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 5.已知，为正实数且，则的最小值为    ． A. B. C. D. 6.若，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 7.若，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.若，则函数的最小值为          ． 9.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为如果池底每的造价为元，池壁每的造价为元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为           三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题分 已知关于的不等式的解集为． 求，的值 若，，且，求的最小值． 11.本小题分 已知集合，集合，集合． 求集合； 若集合中的最大元素为，已知正实数，满足，求的最小值． 12.本小题分 为了印刷服务上一个新台阶，学校打印社花费万元购进了一套先进印刷设备，该设备每年的管理费是万元，使用年时，总的维修费用为万元，问： 设年平均费用为万元，写出关于的表达式；年平均费用 这套设备最多使用多少年报废合适？即使用多少年的年平均费用最少 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $