第27章 反比例函数 教案（全章）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案围绕反比例函数的概念、图像性质及实际应用展开，通过复习函数、一次函数等旧知，结合行程、面积等实际情境导入新知，搭建从旧知到新知的学习支架，梳理知识脉络。 特色在于以“问题情境—抽象建模—探究验证—应用拓展”为主线，通过实际问题抽象反比例关系培养数学眼光，画图归纳图像性质发展数学思维，建立模型解决实际问题提升数学语言表达。讲练结合与多媒体辅助提升效率，帮助学生发展抽象能力、推理意识和应用意识，为教师提供系统教学流程和丰富实例。

课题：27.1反比例函数的概念 教学目标 1.了解反比例函数的概念和表示方法,能举出反比例函数的实例. 2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想. 3.结合具体情境体会反比例函数的意义,能够根据已知条件确定反比例函数的解析式. 重点难点 了解反比例函数的概念,能根据给定的条件确定反比例函数的解析式. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 一、复习引入 　1.什么是函数? 图27-1-1 在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数. 2. 回顾一次函数、二次函数的学习过程(如图27-1-1). 二、合作探究 在下列问题中,变量之间具有函数关系吗?如果有,它们的解析式有什么共同特点? (1)京沪高铁全程为1318 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化; (2)某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩形草坪,草坪相邻两边的一边长y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化; (3)李明计划在一段时间内使用完5 GB手机流量,平均每天使用的流量Q(单位:GB)随使用完流量的总时间t(单位:天)的变化而变化. 解:上述问题中的变量之间均具有函数关系,它们的解析式分别为 v=, y=, Q=. 上述解析式都具有y=的形式,其中k是非零常数. (2)类比一次函数、二次函数的一般形式,你能给出反比例函数的概念吗? 学生讨论交流后,教师指导总结并板书:一般地,形如y=(k为常数,k≠0)的函数叫作反比例函数. 2.反比例函数的解析式 问题2:反比例函数的解析式有哪些形式? 反比例函数解析式的三种形式: ①y=(k为常数,k≠0); ②xy=k(k为常数,k≠0); ③y=kx-1(k为常数,k≠0). 做一做　下列哪些关系式中的y是x的反比例函数? y=4x, =3, y=-, y=6x+1, y=x2-1, y=, xy=123. 3.反比例函数中自变量和函数值的取值范围 问题3:(1)反比例函数y=(k≠0)中,自变量x的取值有没有限制条件?为什么? (2)在反比例函数y=(k≠0)中,函数y的取值范围是什么? ∵在y=中,当x=0时,分式无意义,∴自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.∵k≠0,x≠0,∴y≠0. 教师板书:自变量x的取值范围是不等于0的一切实数,函数y的取值范围是不等于0的一切实数. 三、例题讲解 【探究2】 根据实际问题列反比例函数解析式 问题:用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系: (1)小明完成100 m赛跑时,所用时间t(单位:s)随他跑步的平均速度v(单位:m/s)的变化而变化; (2)一个密闭容器内有0.5 kg气体,气体的密度ρ(单位:kg/m3)随容器体积V(单位:m3)的变化而变化; (3)压力为600 N时,压强p(单位:Pa)随受力面积S(单位:m2)的变化而变化; (4)三角形的面积为20,它的一边上的高h随这条边的长a的变化而变化. 解:(1)∵vt=100,∴t=(v>0). (2)∵0.5=ρV,∴ρ=(V>0). (3)∵pS=600,∴p=(S>0). (4)∵ah=20,∴h=(a>0). 【探究3】 用待定系数法求反比例函数的解析式 问题:已知y是x的反比例函数,且当x=2时,y=6. (1)写出y关于x的函数解析式; (2)当x=4时,求y的值. 解:(1)设y=.∵当x=2时,y=6,∴6=,解得k=12, 因此y=. (2)把x=4代入y=,得y==3. 引导学生分析问题:如何用待定系数法求反比例函数的解析式? ①根据题意设反比例函数的解析式;②根据条件选取点的坐标或对应值代入;③解方程;④把求出的待定系数代入所设函数解析式. 四、课堂总结 5、 课堂练习 1.下列函数中,y一定是x的反比例函数的是 (D) A.y=x 　B.y= C.y= D.y= 2.生活中有许多反比例函数的例子,在下面的实例中,y是x的反比例函数的有 (B) ①x人共饮水10 kg,平均每人饮水y kg; ②底面半径为x m,高为y m的圆柱形水桶的体积为10 m3; ③用铁丝做一个圆,铁丝的长为x cm,做成圆的半径为y cm; ④一个空水桶的容积为15 L,水龙头的出水速度为x L/min,放满一桶水的时间为y min. A.1个 　B.2个 C.3个 D.4个 3.填空: (1)若y=是反比例函数,则m的取值范围是　m≠1　;  (2)若y=是反比例函数,则m的取值范围是　m≠0且m≠-2　;  (3)若y=是反比例函数,则m的值是　-1　.  4.已知y与x成反比例,且当x=3时,y=-4. (1)写出y关于x的函数解析式; (2)当y=6时,求x的值. 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：27.2反比例函数的图像和性质（1） 教学目标 （1）掌握描点法画反比例函数图像的步骤；认识双曲线图像特征；熟练掌握反比例函数的图像位置与增减性质；能利用性质解决基础判断、比较大小题型. （2）经历画图、观察、对比、归纳的探究过程，体会“由特殊到一般”的探究方法，提升识图能力、归纳概括能力和数形结合分析能力. （3）感受函数图像的对称美、规律美，养成严谨画图、严谨说理的学习习惯，建立系统研究函数的思维模型. 重点难点 理解反比例函数图象是断开的两支双曲线；准确理解“在每一个象限内”的增减性限定条件 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 一、复习引入 1. 旧知回顾： 提问1：什么是反比例函数？其一般解析式是什么？ 预设回答：形如y=（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，自变量x的取值范围是x≠0。 提问2：我们之前学习一次函数、二次函数，是如何研究函数性质的？ 预设回答：列表、描点、连线画出函数图象，再通过图象观察、总结函数性质。 2. 新课导入： 函数的图象是研究函数性质的直观工具，今天我们沿用熟悉的探究方法，研究反比例函数的图象与性质。本节课我们先探究反比例函数的图象和性质，板书课题。 二、合作探究 探究点1 作函数y=（k>0）图象，探究函数性质 在研究一次函数、二次函数的图象和性质时，都是先画出函数的图象，再利用图象，结合函数的解析式研究函数的性质，这种方法同样适用于反比例函数. 有了前面的知识储备，我们换一个角度，从反比例函数的解析式出发，思考它的图象形状，运用数形结合的方法研究其性质. 与对一次函数的研究一样，需要对反比例函数解析式y=（k为常数)中的k分情况讨论.即分k>0，k<0两种情况.先研究k>0时的情况，我们从具体的反比例函数开始. 活动1：动手画图，探究图象与性质 师生共同完成：画出反比例函数y=、y=的图象 列表：选取正负对称的自变量取值（避开0） 描点：在坐标系精准描出对应点 连线：用平滑曲线分别连接左右两侧点，得到两支曲线，如下图： 观察两个函数图象有什么特征和性质： 形状：由两支曲线组成，叫做双曲线； 图像位置：分布在第一、三象限； 变化趋势：每一象限内，x增大，y减小； 特征：图像无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交. 活动2.当k>0时，取几个不同的值，画出函数y=的示意图，探究性质. 如图，画出一些函数图象. 观察函数图象，归纳函数图象的特点和性质： 图像位置：分布在第一、三象限； 变化趋势：每一象限内，x增大，y减小； 特征：图象无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交. 探究点2 作函数y=（k<0）图象，探究函数性质 活动3：类比画图，探究函数y=（k<0）图象与性质 学生自主画出 y=-、y=- 等图像，小组对比讨论，归纳： 图像位置：分布在第二、四象限 增减性：在每个象限内，x增大，y增大. 总结归纳反比例函数性质： 1. 反比例函数图像是双曲线； 2. 当k>0时，双曲线在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 3. 当k<0时，双曲线在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； 4. 图像两支永不与坐标轴相交. 三、例题讲解 例1.已知反比例函数 y=，根据下列条件求k的取值范围： （1）图像分布在第一、三象限； （2）在每个象限内，y随x的增大而增大. 【详解】解：（1）∵ 图像在第一、三象限∴ 比例系数大于0，k-3>0 解得：k>3. （2）∵ 在每个象限内，y随x的增大而增大∴ 比例系数小于0，k-3<0 解得：k<3. 答：图像分布在第一、三象限时k>3；在每个象限内，y随x的增大而增大时k<3. 四、课堂总结 引导学生自主梳理本节课收获： 1. 描点法三步：列表、描点、平滑曲线连线； 2. 反比例函数双曲线，自变量 x≠0，曲线永不触碰坐标轴； 3. k>0时，双曲线在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； k<0时，双曲线在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 5、 课堂练习 课本P70书本练习。 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：课题：27.2反比例函数的图像和性质（2） 教学目标 1.掌握反比例函数图像的两种对称性； 2.熟练掌握跨象限、同象限函数值大小比较方法； 3.理解并掌握k的几何意义，能利用|k|求图形面积、由面积求k值； 4.掌握正反比例函数交点关于原点对称的性质，能解决基础综合题型. 重点难点 跨象限函数值大小比较；反比例函数中k的几何意义及应用 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 一、复习引入 复习回顾：反比例函数k>0、k<0的图像象限与增减性. 提问设疑：① 若两个点不在同一个象限，还能用增减性比大小吗？ ② 双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成的图形面积有什么规律？ 导入课题：本节课综合运用反比例函数图像性质，探究对称性、函数值比较、k几何意义综合应用. 二、合作探究 探究点1：反比例函数图象性质应用 观察图像：双曲线绕原点旋转180°与自身重合→关于原点中心对称； 折叠观察：沿直线y=x、y=-x折叠重合→两条对称轴轴对称； 推论：正比例函数与反比例函数若有两个交点，则两个交点关于原点对称. 问题1：已知反比例函数的图象经过点A（一2，4). （1）这个函数的图象位于哪些象限？随的增大如何变化？ (2）点B(1，-8)，C(2号，-3)，D(2，4)是否在这个函数的图象上? 追问1.已知反比例函数图象上的点，怎样求函数解析式？ 令函数解析式为y=，用待定系数法求出k. 追问2.反比例函数图象的位置由什么确定的，如何确定的？ 反比例函数y=图象的位置是由k确定了，当k>0时，图象在一三象限，当k<0时，图象在二四象限. 追问3.如何判断一点是否在反比例函数图象上？ 将点的坐标代入函数解析式，左右两边相等，点在函数的图象上. 解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.因为点A（一2，4）在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限，在每一个象限内，随x的增大而增大. (2）设这个反比例函数的解析式为y=，因为点A（-2，4)在其图象上，所以点A的坐标满足y=，即4=，解得k=-8. 因此，这个反比例函数的解析式为y=- 因为点B，C的坐标都满足y=-，所以点B，C在这个函数图象上，点不在这个函数图象上. 探究点2 函数值大小比较综合方法 问题2.如图中的曲线是反比例函数y=的图象的一支，根据图象，回答下列问题： （1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(，）和点B(，）.如果>，那么和有怎样的大小关系? 追问1.已知反比例函数图象的位置，怎样判断函数解析式中k的符号？ 反比例函数图象y=，在第一三象限时，k>0；在第二、四象限时，k<0. 追问2.反比例函数图象的增减性？ 当k>0时，在第一、三象限内，y随x的增大而增大；当k<0时，在第二、四象限内，y随x的增大而减小. 解：（1）因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以 m-5>0. 解得 m>5. (2)因为m-5>0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减小.因此当>时，<. 三、例题讲解 探究点3 比例系数k的几何意义 设点P(x,y)是双曲线y=(k≠0)上任意一点： 1. 过P作x、y轴垂线，围成矩形面积：S=|k|； 2. 围成直角三角形面积：S=|k|； 3. 核心结论：无论点在双曲线上哪个位置，面积恒为定值. 问题3:如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数的图象上． (1)求点B的坐标． (2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积． 【分析】（1）利用A的坐标得到B的横坐标，代入反比例函数的解析式即可求得纵坐标； （2）过点B作轴交AC于点D，根据反比例函数的中心对称性得到C的坐标，从而求得直线AC解析式，进而求得D点坐标，然后根据求得即可． 【详解】（1）∵点A的坐标为（1，6）， ∵点B是由点A向右平移2个单位长度，向下平移a个单位长度得到， ∴点B的横坐标为3， 将代入中，得， ∴点B的坐标为（3，2）； （2）过点B作轴交AC于点D，如图所示， 由题意，可知点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为（－3，－2）， 设直线AC解析式为y=kx+b， 将A、C代入得，， 解得， ∴直线AC的解析式为， 由题意，易得点D的纵坐标为2， 将代入中，得， ∴点D的坐标为（－1，2）， ∴． 四、课堂总结 知识技能:本节课掌握了反比例函数图像的中心对称、轴对称性质；掌握正反比例函数交点关于原点对称的结论；熟练掌握同象限看增减、跨象限看正负的函数值比较方法；理解并熟记k的几何意义，能快速求解双曲线对应矩形、三角形面积，能解决参数、面积、函数值综合基础题型. 思想方法:（1）数形结合思想：依托图像判断象限、正负、面积，以形助数；（2）分类讨论思想：对比大小时分同象限、跨象限分类讨论；（3）模型思想：建立k与面积的固定模型，实现快速解题；（4）对称转化思想：利用函数对称性简化交点问题计算. 易错提醒:（1）跨象限两点乱用增减性比较大小，必须先看正负；（2）求面积忘记加绝对值，出现负数面积；已知面积求k忘记分类正负；（3）忽略“任意一点面积恒为|k|”，误以为只有特殊点成立；（4）多个点比大小不分类，思维不全面导致结果错误. 5、 课堂练习 1.在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小． （1）函数经过哪些象限？ （2）求的取值范围． 【分析】（1）根据y随x的增大而减小，即可求解； （2）由（1）得：函数经过第一、三象限，可得到5-﹥0，即可求解． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象上，y随x的增大而减小 ∴函数经过第一、三象限， （2）∵函数经过第一、三象限， ∴5-﹥0，即﹤5 2.双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴，已知B点的坐标为，求点D的坐标． 【分析】根据B点的坐标，利用反比例函数解析式，求出A、C两个顶点坐标即可． 【详解】解：∵双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴， 当时，， ∴A（2，6）． ∵轴， 当时，，， ∴C（8，1.5）． ∴点D的坐标为（8，6）． 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：27.3实际问题与反比例函数（1） 教学目标 1. 能准确识别生活中乘积为定值的反比例数量关系，理解实际问题中反比例函数的现实意义； 2. 掌握实际问题建立反比例函数模型的基本步骤，能熟练求解反比例函数解析式； 3. 能根据实际情境限制条件，正确确定自变量和函数值的取值范围，并利用模型解决简单实际求值问题. 重点难点 结合生活实际，合理限定自变量、函数值的取值范围，避免数学解与实际情境脱节 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 一、复习引入 展示两组生活化情境，引导学生分析数量关系： 情境1：一段总路程为600m的道路，行走速度x（m/min）和行走时间y（min），二者存在怎样的数量关系？ 情境2：一批总质量固定的货物，平均分派给运输车辆，车辆数x（辆）和每辆车装载质量y（t），存在怎样的数量关系？ 设置问题链引导探究：1. 两个情境中，哪些量是固定不变的？哪些量是变化的？2. 变量之间的乘积是否为定值？符合我们学过的哪种函数关系？3. 能否用含x的式子表示y？ 学生自主思考、小组交流后得出：两个情境均满足“两个变量的乘积为定值”，变量成反比例函数关系. 小结导入新课：生活中大量“总量固定、此增彼减”的问题，都可以用反比例函数刻画.今天我们重点学习如何从实际问题中建立反比例函数模型，用函数知识解决生活问题. 二、合作探究 探究点1 探究货物装载问题，总结建模通用步骤 问题1：港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t（单位：h）之间有怎样的函数关系？ （2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 追问1.怎样求出轮船装载货物的总量？ 根据“平均装载速度×装载总时间=货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量. 追问2.怎样建立起重机平均卸载速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t（单位：h）之间的函数关系？ 根据“平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间”，得到v关于t的函数解析式. 追问3.轮船上的货物不超过6h卸载完毕，怎样求出起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 根据函数的增减性来确定. 具体解答如下： 解：(1）轮船上的货物总量为700×9=6300(t)，所以v关于t的函数解析式为v= (2)把t=6代入v=得v= (t/h). 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6h卸载完，那么平均每小时卸载1 050 t. 对于函数v= ，当t>0时，t越小，v越大，因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物. 总结建模通用步骤： 1. 审：审题，确定固定总量（定值）、两个变化的变量； 2. 判：判断变量乘积为定值，确定反比例关系； 3. 列：设变量，根据定值列等式，整理为反比例解析式； 4. 定：结合实际，确定自变量、函数值取值范围. 探究点2 探究并应用“杠杆原理” “杠杆原理”简介：古希腊科学家阿基米德（公元前287一前212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”.杠杆原理为：阻力×阻力臂-动力×动力臂. 问题2.某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5 m. (1）动力F（单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂1至少要加长多少? 追问1.怎样建立动力F（单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系？ 根据杠杆原理为：阻力×阻力臂-动力×动力臂，得到F关于l的函数解析式. 追问2.想使动力F不超过（1）中所用力的一半，怎样求动力臂1至少要加长多少? 结合函数解析式,根据函数的增减性来确定. 具体解答如下： 解：（1)根据“杠杆原理”，得 Fl=1 200×0.5, 所以F关于l的函数解析式为F= 当l=1.5 m时，F==400 (N). 对于函数F=,当l=1.5m时，F=400N，此时杠杆平衡.因此，撬动石头至少需要400N的力. (2)对于函数F=，当l>0时，F随l的增大而减小.因此，只要求出F=200N时对应的/的值，就能确定动力臂l至少应加长的量. 将F=400×=200,代人F=，得200= l==3 (m) 因此，若想用力不超过400N的一半，动力臂的长度就应该不小于3m，则动力臂至少要加长3-1.5=1.5 (m). 讨论:用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 三、例题讲解 例1.某车间需要完成总工作量固定的零件加工任务，总零件数为1200个。设每天加工零件的数量为x（个/天），完成全部任务所需的天数为y（天）。 （1）求y关于x的函数解析式； （2）写出自变量x的取值范围； （3）若车间每天至少加工40个零件，需要多少天完成任务？ 【详解】（1）由题意可知：总零件数量固定，可得等量关系：每天加工数量×加工天数=总零件数，即 xy=1200 变形整理得y关于x的函数解析式：y=. （2）① 每天加工零件数量不能为0或负数，即x>0；② 零件为整数个，因此自变量x为正整数； 综上，自变量取值范围：x>0,且x为正整数. （3）已知每天至少加工40个零件，即x=40,将x=40代入解析式：y===30 答：需要30天完成任务。 拓展追问:若要求工期不超过20天，每天至少需要加工多少个零件？（引导学生初步利用模型反向求值，深化应用） 例2.某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务． (1)则每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系? (2)要求4天完成，每天应完成几页? 【分析】（1）运用每天完成的页数所需天数总页数进行求解； （2）将代入（1）所得函数关系式进行求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 整理，得， 每天完成的页数与所需天数之间是反比例函数关系； （2）由（1）题所得，， 由题意得， 解得， 每天应完成200页． 四、课堂总结 知识技能：（1）模型识别：实际问题中，两个变量乘积为定值、一增一减，即为反比例函数关系；（2）建模步骤：审题找定值→判断反比例关系→列写解析式→确定实际取值范围；（3）应用技能：能利用建立的反比例函数模型，代入已知量求解实际问题. 思想方法：（1）数学建模思想：将生活化的复杂实际问题，抽象为标准化的反比例函数数学模型，用数学方法解决实际问题；（2）对应思想：数学解析式、变量取值必须与生活实际一一对应，保证结果合理； （3）转化思想：文字语言描述的数量关系，转化为函数解析式的符号语言. 易错提醒：（1）核心易错：照搬纯数学函数取值范围，忽略实际情境限制，忘记自变量为正数、整数等实际要求；（2）审题易错：无法区分题目中的定量与变量，误将变化量当作定值，建模错误；（3）解题易错：建模成功后，求解结果不检验实际意义，出现负数、小数等不符合生活实际的答案；（4）书写易错：未将等式整理为标准反比例函数y=的形式，格式不规范. 5、 课堂练习 课本76页 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：课题：27.3实际问题与反比例函数（2） 教学目标 1.能根据生活实际问题准确建立反比例函数模型，写出自变量的实际取值范围； 2.掌握反比例函数实际图像的特征，能读懂实际问题中函数图像的横纵坐标、增减趋势、特殊点的实际意义； 3.能利用数形结合的方法，结合图像解决实际问题中的取值范围、最值、变化规律、参数求解等问题. 重点难点 根据实际限制条件，结合图像确定自变量、函数值的取值范围，区分纯函数图像与实际问题受限图像的区别. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 一、复习引入 知识回顾：（1）生活中哪些等量关系可以建立反比例函数模型？（积为定值：总工程量=人数×效率、路程=速度×时间、压力=压强×面积等） （2）反比例函数y=(k>0)的图像和增减性是什么？ 设疑导入：我们之前通过列式计算解决了反比例实际问题，但很多实际问题需要分析变化趋势、取值范围、最优方案，仅靠计算不够直观。今天我们学习数形结合解决反比例实际问题，通过图像直观解读实际问题的变化规律. 二、合作探究 探究点1 从函数图象中探究力F所做的功W 问题1：在力F（单位：N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W(单位：J）满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1）当力F为10 N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围. 追问1.从图象中你能得出当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为多少？此时F所做的功是多少？ 当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m，此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J). 追问2.当W为定值时，如何用反比例函数描述s与F之间的关系？ 由（1）W=Fs=10×50=500(J)，可知其解析式为s=. 追问3.在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，如何求力的范围？ 将s=100代入s=，可求F的值,因为s随着F的增大而减小，可以确定力F范围. 具体解答如下： 解：（1）由图可知，当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m，此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J). (2）当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系.由（1） 可知其解析式为s=. (3）将s=100代入s=，可得F=5(N), 因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100m，力F要大于5N. 三、例题讲解 探究点2 从函数图象中探究行程问题 问题2.一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v（单位:km/h)与行驶全程所用时间t（单位：h)的函数关 系如图所示，其中60≤v≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； (2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 追问1.甲地到乙地的路程为定值,平均速度v（单位:km/h)与行驶全程所用时间t之间的关系? 平均速度v=路程÷行驶全程所用时间t. 追问2.怎样确定t的取值范围 根据60≤v≤120，和函数的增减性质确定. 追问3.在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围？ 根据函数的增减性质确定客车平均速度v的范围. 具体解答如下： 解：（1）甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的 关系.由上面的图象可知，当t=2时，v=120，于是有 v= ① 当v=60时，由①得t=4. 因为60≤v≤120，并且平均速度随着行驶全程所用时间的增大而减小，所以2≤t≤4. （2）客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间t=2h，代入①，可得v=90(km/h)；若当天11时到达乙地，则行驶全程所用时间t=3h，代人①，可得v=80(km/h). 因为平均速度随着行驶全程所用时间的增大而减小，所以客车平均速度的范围是 80≤v≤90. 总结结合反比例函数图象分析实际问题通用步骤： 1.根据函数图象，确定固定总量（定值）、两个变化的变量； 2. 建立函数关系式，确定反比例关系； 3. 设变量，根据定值列等式，整理为反比例解析式； 4. 结合实际，确定自变量、函数值取值范围，分析解决实际问题. 四、课堂总结 知识技能：（1）结合函数图象，能根据积为定值的实际关系，建立反比例函数解析式，并结合实际确定自变量取值范围；（2）识图技能：掌握实际反比例函数图像仅为第一象限双曲线分支，能解读图像增减趋势、特殊点的实际意义；（3）解题技能：可利用数形结合思想，结合函数图像解决实际问题中的变化规律、取值范围、最值问题. 思想方法：（1）数形结合思想：将实际代数问题转化为函数图像问题，以形助数、直观解题；（2）模型思想：提炼生活中的反比例定值模型，用函数知识解决实际问题；（3）转化思想：将实际限制条件（工期、效率、压强等）转化为函数的取值范围问题. 易错提醒：（1）忽略实际限制，画出完整双曲线，实际问题中自变量多为正数，图像只有第一象限分支；（2）直接套用纯函数增减性，不考虑实际取值范围，导致结论不符合生活实际；（3）由图像范围解题时，混淆自变量与函数值的增减对应关系，最值判断错误；（4）求解实际问题后，不检验结果是否符合实际意义. 5、 课堂练习 .根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示． (1)P关于S的函数关系式为　 　． (2)求当时，物体所受的压强是　 　． (3)当时，求受力面积S的变化范围． 【详解】（1）解：设， 由图象可知：点在函数图象上， ∴， ∴； ∴； 故答案为：． （2）当，； 故答案为：400； （3）当时，； 当时，； ∴当时，． 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：27.3实际问题与反比例函数（3） 教学目标 1.熟练掌握反比例函数实际问题代数建模、数形结合两种解题方法； 2.掌握反比例综合应用题的通用解题流程，提升复杂问题的分析、转化、解决能力. 重点难点 根据多重复合实际条件，灵活选择最优解题方法，结合图像与代数双重验证结论 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 一、复习引入 知识回顾：1.反比例实际问题核心特征是什么？（总量定值、变量乘积为定值、一增一减） 2.基础解题两种核心方法分别是什么？（代数建模求值；数形结合识图判范围） 3.体系梳理：单一建模、单纯识图只能解决基础题，中考及单元重点考查综合题型：需要结合列式计算、图像分析、范围限定、最值决策多重技能. 导入课题：今天我们整合所有方法，综合解决反比例实际问题，攻克多设问、多条件、方案型综合难题. 二、合作探究 探究点1 根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题 函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用函数解决问题. 问题：某物理实验小组研究气体的压强p（单位：kPa）与体积V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据（如下表). 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位). 追问1.由表可知，压强p是体积V的函数，由于没有现成的函数模型，我们需要怎么办？ 由表可知，压强p是体积V的函数，由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. 追问2.怎样选择函数模型？ 首先要根据数据发现规律，为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图，观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点，可以发现，图中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系. 追问3.怎样建立函数模型？ 设函数解析式为p==(V>0)，根据表中的数据，分别求出k的值，列出表如下： V 20 8 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2016 1 968 2 030 1956 2010 计算所有k值的平均值，得 K=(2000+2016+1968+2030+1956+2010)≈1997. 我们把这个平均值1997作为的值，就得到一个函数模型 p== ① 追问4.怎样检验函数模型？ 将已知数据代入函数解析式，或画出函数解析式的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强力P体积V的关系. 追问5.压强为132kPa时，气体的体积为多少？ 将p=132代入①，求出V. 具体解答过程： 解：（1）描点画出图象.先画出散点图，观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点，图中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系. 设函数解析式为p==(V>0)，根据表中的数据，分别求出k的值，列出表如下： V 20 8 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2016 1 968 2 030 1956 2010 计算所有k值的平均值，得 K=(2000+2016+1968+2030+1956+2010)≈1997. 我们把这个平均值1997作为的值，就得到一个函数模型 p= ① 将已知数据代入函数解析式，或画出函数解析式的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强力P体积V的关系. 将p=132代入①，得132==， 解得，V=≈15.13（mL） 因此，当压强为132kPa时，气体的体积约为15.13 mL. 三、例题讲解 例1.某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示：    由图可知：v与t之间成反比例函数； （2）设，将代入，得：， ∴； ∵， ∴； （3）由图象可知，时，随着的增大而减小； ∴当时，取最大值为：；当时，取最小值为：； ∴． 四、课堂总结 根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题的一般步骤 从以上根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题的解题过程，归纳其一般步骤： 1. 寻找规律：根据数据或图象寻找两变量之间的规律； 2. 建立模型：根据规律确定函数关系式； 3. 检验模型：验证函数关系式的正确性； 4. 求解问题：根据函数关系求解问题. 5、 课堂练习 课本80页 板书设计： 作业内容： 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $