专题1.3二次函数的性质 讲义 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

浙教版 九上数学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题1.3 二次函数的性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 判断二次函数的增减性 题型2 比较多点对应的函数值大小 题型3 二次函数的最大值和最小值 题型4 二次函数图像与坐标轴的交点 题型5 二次函数性质的应用 1. 理解并掌握二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的增减性，能准确描述2. 掌握二次函数最值的概念，会根据二次项系数a的正负判定函数的最大值 3. 会利用二次函数的对称性与增减性，在不代入具体计算的情况下，熟练比较多点对应的函数值大小。 5. 利用二次函数的性质解决求最大（小）高度（利润）等实际应用问题。 知识点讲解 1. 二次函数的增减性 （1）当 时，抛物线中对称轴左侧部分是下降的；在对称轴右侧部分是上升的. 即当 时，y随着x增大而减小，当 时，y随着x增大而增大； （2）当 时，抛物线中对称轴左侧部分是上升的；在对称轴右侧部分是下降的. 即当 时，y随着x增大而增大，当 时，y随着x增大而减小； 2. 二次函数的最值 （1）当 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数右最小值； （2）当 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数右最大值； 3. 二次函数图像与x轴、y轴的交点 （1）抛物线与坐标轴的交点坐标 ①抛物线与y轴交点——（0，c） ②抛物线与x轴交点 △>0：抛物线与 x 轴有两个不同交点:（）、（0） △=0：抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴）：（） △<0：抛物线与 x 轴无交点。 题型归纳 题型1 判断二次函数的增减性 【例1】如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【例2】二次函数的顶点坐标是________，当时，y随x的增大而________． 【例3】在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【例4】已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是________． 【方法点睛】——二次函数的增减性（以a>0为例） 1. 二次函数y=对称轴是直线x=0，当x<0时y随x增大而减小，当x>0时y随x增大而增大； 2. 二次函数y=对称轴是直线x=h，当x<h时y随x增大而减小，当x>h时y随x增大而增大； 3. 二次函数对称轴是直线x=，当x<时y随x增大而减小，当x>时y随x增大而增大； 【变式练习】 1．已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 2．抛物线在对称轴的右侧下降，那么的取值范围是___________． 3．二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 4．抛物线的开口方向是_________，顶点坐标是___________，对称轴是直线___________．当x__________时，函数y随x的增大而增大；当x__________时，函数y随x的增大而减小． 5．已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 0 1 2 3 6 3 2 3 6 6．（1）画出函数的图象（列表、描点、连线）； （2）判断点是否在函数的图象上； （3）从图象中观察，当时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当时呢？ 7．如图，已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 8．小强利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序图如图①所示，输入x的值为1时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为2，根据以上信息解答下列问题． (1)求k，a，b的值． (2)图②中，根据程序图请你画出一次函数和二次函数的大致图象． (3)当y随x的增大而减小时，则x的取值范围为 ． 题型2 不代入计算比较多点的函数值 【例1】已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】若，，为二次函数的图象上的三点，则，、的大小关系是______． 【例3】已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【方法点睛】——多点函数值大小的比较 1. 当多点在对称轴同侧时，利用函数的增减性进行比较； 2. 当多点在对称轴异侧时，当a>0时，距离对称轴越远的点函数值越大；当a<0时，距离对称轴越远的点函数值越小； 【变式练习】 1．已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 2．已知函数图象上两点，，则与的大小关系为___________．(填“”，“”或“”) 3．抛物线上有两点，则_____（填“”“”或“”）． 4．已知函数图象上两点，，则与的大小关系为___________．(填“”，“”或“”) 5．已知二次函数，当x取1，2，3，4时，对应的函数值分别为，，，，则下列选项中最大的是（    ） A． B． C． D． 题型3 二次函数的最值 【例1】二次函数解析式为，可以得知，该二次函数有___________值（填“最大”，“最小”），其值为___________． 【例2】已知二次函数，则当时，该函数（    ） A．只有最大值3，无最小值 B．有最大值3，有最小值0 C．有最小值，有最大值3 D．只有最小值，无最大值 【例3】已知二次函数的图象如图所示，当时，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，最大值0 B．有最小值，最大值6 C．有最小值2，最大值6 D．有最小值，最大值2 【方法点睛】——二次函数的最值 1. 在自变量的任意取值范围内，二次函数的最值就是顶点纵坐标的函数值； 2. 在自变量的限定取值范围内，二次函数图像（部分图像）的最高（低）点的纵坐标的函数值就是所求的最值。 【变式练习】 1．二次函数，当_______时，y有最值，最_______值为_______． 2．当_______时，抛物线有最_______值，最值是_______． 3．已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． 4．学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程．习题：①，②，③． 【任务一】基本性质研究（以下横线上均填序号） （1）增减性：当时，y随x的增大而增大的是______； （2）对称性：对称轴为直线的是_______； （3）最值：函数有最大值的是______，有最小值的是_______； 【任务二】研究复杂问题的最值． （4）已知：，求y的最值． 5．如下表格是抛物线上部分点的横、纵坐标信息． … … … … (1)若，则该函数有________（最大值或最小值），最值为________； (2)若，请通过计算判断与的大小关系． 6．已知二次函数中，若，则的取值范围是______． 7．二次函数的部分图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值2，无最小值 B．函数有最大值2，有最小值0 C．函数有最大值2，有最小值 D．函数有最大值，有最小值 8．已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为______． 题型4 二次函数图象与坐标轴的交点问题 【例1】 填空： （1）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________； （2）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________． 【例2】已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 【例3】已知二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式； (2)求抛物线的对称轴和抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)将抛物线绕原点旋转，再向右平移1个单位长度，直接写出两次变换后的抛物线的表达式． 【变式练习】 1．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 2．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 3．已知抛物线与轴有交点，求取值范围． 4. 已知二次函数（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． (1)求点A，B的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型5 二次函数性质的应用 【例1】阅读与思考 我们已学完全平方公式： ，观察下列式子： 原式有最小值是； ，原式有最大值是． 完成下列问题： (1)求代数式的最值； (2)解决实际问题：在紧靠围墙(围墙长60米)的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个中间隔开的长方形花圃，且留如图所示的两个1米宽的小门，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设木栏米，完成下列任务． ①花圃的面积为 平方米；(用含有x的代数式表示) ②请说明当x取何值时花圃有最大面积，最大面积是多少平方米？ 【例2】如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 【例3】已知二次函数（a为常数且）． (1)当点在该函数图象上时，求a的值． (2)当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． (3)若时，当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值． 【变式练习】 1.如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．    (1)设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为 ； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积为最大？最大面积多少平方米？ 2．已知二次函数的图像过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)结合图像，当时，直接写出的取值范围． (3)在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像． 2．在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为． (1)求抛物线的顶点坐标，并直接写出当满足什么条件时，随的增大而增大． (2)当时，函数的最大值与最小值之和为，求的值． 3．如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 过关练习 一、单选题 1．已知二次函数，则下列关于这个二次函数的叙述正确的是（    ） A．图象的对称轴是直线 B．图象顶点坐标为 C．当时，随的增大而减小 D．图象只经过两个象限 2．在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴只有1个交点，则m的值为（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： 的值 … 0 1 2 … 的值 … 2 5 2 … 当时，函数的取值范围是（） A． B． C． D． 4．二次函数（b为常数）的图象经过点，且对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为（     ） A．4 B． C．7 D． 5．在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度后，抛物线的顶点坐标为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象在x轴上截得的线段长度为4 B．顶点坐标是 C．图象与y轴交点的坐标是 D．开口向上 7．已知关于的二次函数解析式，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 9．已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．抛物线的对称轴为直线________． 12．将抛物线向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为_______． 13．二次函数中，，，，则其图象不经过第 _____ 象限． 14．当时，二次函数的最大值为________． 15．如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是__________． 16．经过点的抛物线的对称轴是直线，其顶点在直线上．当时，此时抛物线的最大值为___________． 17．若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 18．已知二次函数，当时，函数的最小值为，则______． 三、解答题 19．已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ 20．已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的取值范围． 21．已知二次函数． (1)试说明该二次函数的图像与x轴必有两个交点； (2)若，该抛物线沿x轴平移多少个单位长度后，得到的抛物线经过原点． 22．已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C. (1)求二次函数的表达式； (2)求的面积. 23．设二次函数． (1)若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标； (2)判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围． 24．已知抛物线（b，c为常数）． (1)当，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 25．为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润（万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：． (1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义． (2)若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？ (3)根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $浙教版 九上数学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题1.3 二次函数的性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 判断二次函数的增减性 题型2 比较多点对应的函数值大小 题型3 二次函数的最大值和最小值 题型4 二次函数图像与坐标轴的交点 题型5 二次函数性质的应用 1. 理解并掌握二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的增减性，能准确描述2. 掌握二次函数最值的概念，会根据二次项系数a的正负判定函数的最大值 3. 会利用二次函数的对称性与增减性，在不代入具体计算的情况下，熟练比较多点对应的函数值大小。 5. 利用二次函数的性质解决求最大（小）高度（利润）等实际应用问题。 知识点讲解 1. 二次函数的增减性 （1）当 时，抛物线中对称轴左侧部分是下降的；在对称轴右侧部分是上升的. 即当 时，y随着x增大而减小，当 时，y随着x增大而增大； （2）当 时，抛物线中对称轴左侧部分是上升的；在对称轴右侧部分是下降的. 即当 时，y随着x增大而增大，当 时，y随着x增大而减小； 2. 二次函数的最值 （1）当 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数右最小值； （2）当 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数右最大值； 3. 二次函数图像与x轴、y轴的交点 （1）抛物线与坐标轴的交点坐标 ①抛物线与y轴交点——（0，c） ②抛物线与x轴交点 △>0：抛物线与 x 轴有两个不同交点:（）、（0） △=0：抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴）：（） △<0：抛物线与 x 轴无交点。 x1题型归纳 题型1 判断二次函数的增减性 【例1】如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 【例2】二次函数的顶点坐标是________，当时，y随x的增大而________． 【答案】 减小 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标和增减性． 将函数化为顶点式可直接得到顶点坐标，再根据开口方向判断增减性． 【详解】解：二次函数可化为， 因此顶点坐标为，对称轴为直线， 由于， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线， 当时，函数在对称轴左侧，y随x的增大而减小． 故答案为：，减小． 【例3】在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据二次函数的性质得到m的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：函数是开口向上的二次函数，其对称轴为直线， ∵开口向上的二次函数，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴m的值可以是1． 【例4】已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：， 图象开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【方法点睛】——二次函数的增减性（以a>0为例） 1. 二次函数y=对称轴是直线x=0，当x<0时y随x增大而减小，当x>0时y随x增大而增大； 2. 二次函数y=对称轴是直线x=h，当x<h时y随x增大而减小，当x>h时y随x增大而增大； 3. 二次函数对称轴是直线x=，当x<时y随x增大而减小，当x>时y随x增大而增大； 【变式练习】 1．已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，掌握的性质是解题的关键． 由抛物线在轴左侧的部分是下降的，则，然后解不等式即可解答． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴，解得：． 故答案为：． 2．抛物线在对称轴的右侧下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 抛物线在对称轴右侧下降，表明抛物线开口向下，因此二次项系数小于零． 【详解】解：抛物线的二次项系数为， 由题意，抛物线开口向下， 故， 解得， 故答案为：． 3．二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 二次函数图象开口向下， ， （答案不唯一）． 4．抛物线的开口方向是_________，顶点坐标是___________，对称轴是直线___________．当x__________时，函数y随x的增大而增大；当x__________时，函数y随x的增大而减小． 【答案】 向下 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，主要包括：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，函数的增减性，理解和掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式性质，结合条件，直接得出开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性． 【详解】解：由抛物线是顶点式，可写为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小． 故答案为：向下；，，，． 5．已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 【答案】(1) (2)填表见解析；画图见解析 (3)； 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可； （2）将x对应的值代入函数解析式求出y的值，然后描点，画出函数图象即可； （3）根据函数的增减性，得出答案即可． 【详解】（1）解：； （2）解：填表如下： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 描点，连线，画出函数图象，如图所示： （3）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小． 6．（1）画出函数的图象（列表、描点、连线）； （2）判断点是否在函数的图象上； （3）从图象中观察，当时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当时呢？ 【答案】（1）见解析；（2）点不在函数的图象上；（3）当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 【分析】（1）先列表，再描点，连线画出函数图象即可； （2）求出时的函数值即可得到答案； （3）根据函数图象即可得到答案． 【详解】解：（1）列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 根据表中数值描点，并用平滑曲线连接这些点，如图． （2）当时，， 点不在函数的图象上． （3）由函数图象可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 7．如图，已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)x的取值范围是 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质： （1）将A，B两点坐标代入函数解析式求解即可； （2）结合图象，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题知， 将A，B两点坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的表达式为． 因为， 所以抛物线的顶点坐标为； （2）解：观察图象， 当时，抛物线在直线的下方，即， 所以x的取值范围是． 8．小强利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序图如图①所示，输入x的值为1时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为2，根据以上信息解答下列问题． (1)求k，a，b的值． (2)图②中，根据程序图请你画出一次函数和二次函数的大致图象． (3)当y随x的增大而减小时，则x的取值范围为 ． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式 （1）根据题意利用待定系数法解答即可； （2）由（1）可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，再求出过一次函数图象的另外一个点，即可画出一函数的图象；然后列表，描点，连线即可画出二次函数的图象； （3）根据（2）中函数图象即可解答； 【详解】（1）解：∵输入的值为1时，输出的值为1，， ∴， ∴； ∵输入的值为时，输出的值为1；输入的值为时，输出的值为2，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：， 令一次函数中，则， 对于二次函数：， 列表为： 函数图象如下： （3）解：∵， ∴二次函数图象关于对称，顶点坐标为， 由（2）中函数图象可得：当随的增大而减小时，或； 题型2 不代入计算比较多点的函数值 【例1】已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得对称轴和在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∵点，在抛物线上，且， ∴， 故选：B． 【例2】若，，为二次函数的图象上的三点，则，、的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质．由于M、N、P在对称轴的异侧，所以首先利用抛物线的轴对称性将三点移到对称轴的同一侧进行比较。 【详解】解：∵二次函数的对称轴直线为，开口向上． ∴关于对称轴直线的对称点为：M’， 关于对称轴直线的对称点为：N’， ， ， 故答案为：． 【例3】已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键． 根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点距离对称轴有2个单位长度， 点距离对称轴有0个单位长度， 点距离对称轴有1个单位长度， ∴根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：， 故选：C． 【方法点睛】——多点函数值大小的比较 1. 当多点在对称轴同侧时，利用函数的增减性进行比较； 2. 当多点在对称轴异侧时，当a>0时，距离对称轴越远的点函数值越大；当a<0时，距离对称轴越远的点函数值越小； 【变式练习】 1．已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，由，可知函数图像开口向下，对称轴为，再根据增减性判断即可． 【详解】解：由，可知函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ． 故答案为． 2．已知函数图象上两点，，则与的大小关系为___________．(填“”，“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，由于开口向下，距离顶点越远，函数值越小． 【详解】解：的顶点坐标为，且二次项系数，因此抛物线开口向下． 点到顶点的水平距离为，点到顶点的水平距离为． 由于开口向下，距离顶点越远，函数值越小，且， 故． 故答案为： 3．抛物线上有两点，则_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据题意，得到抛物线开口向下，进而得到抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点在抛物线上，且， ∴； 故答案为：． 4．已知函数图象上两点，，则与的大小关系为___________．(填“”，“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，由于开口向下，距离顶点越远，函数值越小． 【详解】解：的顶点坐标为，且二次项系数，因此抛物线开口向下． 点到顶点的水平距离为，点到顶点的水平距离为． 由于开口向下，距离顶点越远，函数值越小，且， 故． 故答案为： 5．已知二次函数，当x取1，2，3，4时，对应的函数值分别为，，，，则下列选项中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 可先求出二次函数的对称轴，根据二次函数开口向上的性质，判断各点到对称轴的距离，离对称轴越远函数值越大，进而得出最大的函数值． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴由对称轴公式，其中，， ∴对称轴为， ∵， ∴二次函数图象开口向上，在对称轴处取得最小值，且点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． ∵计算各点到对称轴的距离：，，，， ∴对应的点离对称轴最远， ∴最大． 故选D． 题型3 二次函数的最值 【例1】二次函数解析式为，可以得知，该二次函数有___________值（填“最大”，“最小”），其值为___________． 【答案】 最大 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式，其中决定函数图象的开口方向，当时，开口向上，函数有最小值；当0 时，开口向下，函数有最大值，为函数的最值． 【详解】解：二次函数中， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， 所以该函数有最大值，最大值为， 故答案为：最大；． 【例2】已知二次函数，则当时，该函数（    ） A．只有最大值3，无最小值 B．有最大值3，有最小值0 C．有最小值，有最大值3 D．只有最小值，无最大值 【答案】C 【分析】根据二次函数，可以得到当时，该函数的最大值和最小值，本题得以解决． 【详解】解：二次函数，开口向上，离对称轴越远函数值越大， 当时，在时，函数取得最小值，此时， 当时，函数取得最大值，此时， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【例3】已知二次函数的图象如图所示，当时，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，最大值0 B．有最小值，最大值6 C．有最小值2，最大值6 D．有最小值，最大值2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真观察函数图象，得抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，当时，；当时，；当时，；故当时，有最小值，最大值2，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出抛物线的开口方向向下，对称轴为直线， 在对称轴的左边时，随着的增大而增大， 依题意，当时，；当时，； ∵对称轴为直线， ∴当时，； 当时，有最小值，最大值2， 故选：D． 【方法点睛】——二次函数的最值 1. 在自变量的任意取值范围内，二次函数的最值就是顶点纵坐标的函数值； 2. 在自变量的限定取值范围内，二次函数图像（部分图像）的最高（低）点的纵坐标的函数值就是所求的最值。 【变式练习】 1．二次函数，当_______时，y有最值，最_______值为_______． 【答案】 2 小 0 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为正，函数有最小值，通过顶点公式可求顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数，其中， 故抛物线开口向上，函数有最小值，顶点横坐标，代入得， ∴当时，有最小值为． 故答案为：2；小；0． 2．当_______时，抛物线有最_______值，最值是_______． 【答案】 2 大 0 【分析】本题考查二次函数的性质，根据，抛物线开口向下，抛物线有最高点，最高点为抛物线的顶点，即可求解． 【详解】解：， ∴抛物线开口向下，抛物线有最高点，最高点为抛物线的顶点， ∴当时，抛物线有最大值，最大值为0， 故答案为：2，大，0． 3．已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． 【答案】，直线，，小，． 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线． 根据二次函数的性质作答即可． 【详解】解：已知二次函数， 顶点坐标：，对称轴：直线，当时，y有最小值，最值为． 故答案为：，直线，，小，． 4．学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程．习题：①，②，③． 【任务一】基本性质研究（以下横线上均填序号） （1）增减性：当时，y随x的增大而增大的是______； （2）对称性：对称轴为直线的是_______； （3）最值：函数有最大值的是______，有最小值的是_______； 【任务二】研究复杂问题的最值． （4）已知：，求y的最值． 【答案】（1）①② （2）③ （3）③，①② （4）17 【分析】本题考查了二次函数的增减性，二次函数的对称性，二次函数的最值及二次函数的综合应用．任务一根据二次函数的开口方向、对称轴分析增减性、对称性和最值；任务二通过求和函数表达式并配方求最值． 【详解】解：（1）①开口向上，对称轴，时y随x增大而增大；②开口向上，对称轴，时y随x增大而增大；③开口向下，对称轴，时y先增大后减小， 故答案为：①②． （2）①对称轴，②对称轴，③对称轴， 故答案为：③． （3）①开口向上有最小值，②开口向上有最小值，③开口向下有最大值，故有最大值的是③，有最小值的是①②， 故答案为：③，①②． （4）∵， ∴当时，y有最大值17． 5．如下表格是抛物线上部分点的横、纵坐标信息． … … … … (1)若，则该函数有________（最大值或最小值），最值为________； (2)若，请通过计算判断与的大小关系． 【答案】(1) 最小值， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数的最值问题，求二次函数的函数值等等． ()根据对称性可得对称轴，再由对称轴处的函数值与时的函数值的大小关系即可得到结论； ()利用待定系数法求出解析式，进而求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴当和当时的函数值相等， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时的函数值小于当时的函数值， ∴该函数有最小值，最小值为； 故答案为：最小值，． （2）解：将代入中得， 解得， ∴当时，， ∴此时函数解析式为， 当时，， 当时，， ∴， ∴． 6．已知二次函数中，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，该二次函数的对称轴为直线，开口向上，则当时，函数有最小值为，又，故当时，函数有最大值为，从而得出的取值范围，熟练运用二次函数的性质求解函数值的范围是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，该二次函数的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，函数有最大值为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 7．二次函数的部分图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值2，无最小值 B．函数有最大值2，有最小值0 C．函数有最大值2，有最小值 D．函数有最大值，有最小值 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键． 直接根据函数图象即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，y最大； 当时，y最小． 故选：C． 8．已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 题型4 二次函数图象与坐标轴的交点问题 【例1】 填空： （1）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________； （2）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________． 【答案】 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0，x轴上点的纵坐标为0，将对应值代入抛物线解析式，计算得到对应坐标即可. 【详解】解：（1）对于抛物线， 令， ， 因此抛物线与轴交点坐标为； 令，得方程 ， 因式分解得， 解得，， 因此抛物线与轴交点坐标为 ； （2）对于抛物线 ， 令， ， 因此抛物线与轴交点坐标为； 令，得方程 ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因此抛物线与轴交点坐标为. 【例2】已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 【答案】(1) 证明：一元二次方程中，，， ， 该二次函数图象与轴总有两个不同交点； (2) 【分析】（1）先判断一元二次方程根的情况，再结合二次函数与一元二次方程的关系即可得证； （2）令，求出、两点的横坐标及；令，得与轴交点的纵坐标，即高，根据的面积为推得，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：令，解方程， ， 解得，， ， 令，得与轴交点的纵坐标为， 即高为， 三角形面积， ①时，； ②时，（无实数解）． 故． 【例3】已知二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式； (2)求抛物线的对称轴和抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)将抛物线绕原点旋转，再向右平移1个单位长度，直接写出两次变换后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴的交点坐标为，抛物线与x轴的交点坐标为， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）化成顶点式，可求得抛物线的对称轴，令或，分别求解即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）利用旋转和平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 当时，， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，； （3）解：抛物线的顶点坐标为， 将抛物线绕原点旋转， ∴顶点坐标为， ∴此时抛物线的解析式为， 将抛物线向右平移1个单位长度， ∴， ∴最终两次变换后的抛物线表达式为：． 【变式练习】 1．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】C 【分析】先求出的值，再用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴将代入，可得， ∴整理得， 将代入得原式． 2．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数与轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵二次函数与轴交点的横坐标，是一元二次方程的两个根， ∴． 3．已知抛物线与轴有交点，求取值范围． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题．根据抛物线与轴有交点，可得，即可求解． 【详解】解：∵，，， 又∵抛物线与轴有交点， ∴， 即， 解得：， 即的取值范围为． 4. 已知二次函数（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，另一个交点的坐标为 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根的判别式； （1）通过计算判别式的值，再根据判别式的符号即可证明； （2）代入到，求出k的值，进而求出另一个交点的坐标． 【详解】（1）证明：令，则， ， ∵， ∴， 即， ∴无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）解：代入得，， 解得， 当时，， 令，则， 解得，， ∴另一个交点的坐标为． 5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点，点代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可； （2）根据对称性求出点A的坐标，进一步求出的长，再求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为， ∴点A坐标为：，即， ∴， ∴的面积为：． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． (1)求点A，B的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点M的坐标为 【分析】（1）解方程，即可求解； （2）求得，再利用待定系数法求解即可； （3）分两种情况求解，即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，； （2）解：令，则， ∴， ∵抛物线经过B，C两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （3）解：∵，，， ∴， 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点在抛物线上； 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点不在抛物线上，不符合题意； 综上，点M的坐标为． 题型5 二次函数性质的综合应用 【例1】阅读与思考 我们已学完全平方公式： ，观察下列式子： 原式有最小值是； ，原式有最大值是． 完成下列问题： (1)求代数式的最值； (2)解决实际问题：在紧靠围墙(围墙长60米)的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个中间隔开的长方形花圃，且留如图所示的两个1米宽的小门，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设木栏米，完成下列任务． ①花圃的面积为 平方米；(用含有x的代数式表示) ②请说明当x取何值时花圃有最大面积，最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)最大值 (2)①；②当米时，花圃的最大面积为平方米． 【分析】本题考查了非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最值问题． （1）将代数式配方可求解； （2）①利用长方形的面积=长×宽可得结论；②利用配方法和二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴ ∴原式有最大值是； （2）①根据题意，花圃的面积为：平方米； 故答案为： ②由①可知：， ∵， ∴ ∵， ∴当米时，花圃的最大面积为平方米． 【例2】如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解两函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：把 代入，得， 解得， ∴该抛物线解析式是：， 把 代入，得， 解得， ∴该直线的解析式是； （2）解：由图象得到：当或时，二次函数的值大于一次函数的值． 【例3】已知二次函数（a为常数且）． (1)当点在该函数图象上时，求a的值． (2)当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． (3)若时，当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用纵坐标相同的两个点关于对称轴对称即可求解； （3）分情况讨论对称轴的位置，利用最大值比最小值大2，建立方程，其中当时，要再细分为两个端点离对称轴的距离的大小进一步讨论，最后该两种情况都不成立，综合所有情况即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中， 得： ∴． （2）解：∵对称轴为直线， ∴ ． （3）解：当时，， 图象开口向上，对称轴为直线，顶点， ①当时，最大值最小值 解得：． ②当，即时，最大值最小值 解得：． ③当，即时，最小值为顶点纵坐标， 要使最大值最小值， ∴最大值， 令， 解得：， 当时，即时， 函数在时取最大值， ∵都不在的范围内， ∴该情况不成立， 当时，即时， 函数在时取最大值， 令， ∴ ∵， ∴都不在这个范围内， 故该情况不成立， 综上所述：或． 【变式练习】 1.如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．    (1)设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为 ； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积为最大？最大面积多少平方米？ 【答案】(1) (2)当的长是米时，围成的花圃面积为最大，最大面积为平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键； （1）根据图形可知，用篱笆的周长减去3个长即可； （2）设围成的花圃面积为y，根据长方形的面积求出二次函数的解析式，再根据求出x的范围，再根据二次函数的图象和性质求最值即可． 【详解】（1）解：的长可用含的代数式表示为． 故答案为：； （2）解：设围成的花圃面积为y， 依题意，得， ， ， ， 当时，y有最大值，y最大． 即当的长是米时，围成的花圃面积为最大，最大面积为平方米 2．已知二次函数的图像过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)结合图像，当时，直接写出的取值范围． (3)在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征及二次函数对称轴的定义可得关于、的方程组，求解即可； （2）先确定当时的值，再结合函数图像写出抛物线在直线下方所对应的的范围即可； （3）根据（1）所得的二次函数的表达式，利用五点作图法直接画出图像即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像过点，对称轴为直线， ∴，即， 联立：， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知：二次函数的表达式为， 当时，得：， 解得：或， 由（3）的图像可知：当或时，抛物线在直线的下方， ∴当时，的取值范围是或； （3）解：列表如下： 在直角坐标系中描点、连线即可． 2．在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为． (1)求抛物线的顶点坐标，并直接写出当满足什么条件时，随的增大而增大． (2)当时，函数的最大值与最小值之和为，求的值． 【答案】(1)顶点坐标为，当时，随的增大而增大. (2)的值为或. 【分析】（1）把二次函数解析式化成顶点式即可求解； （2）结合开口方向以及函数的对称轴再分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵二次函数， 化成顶点式为：， 故抛物线的顶点坐标为：，当时，随的增大而增大； （2）解：由（1）得：抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少； 令，则， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点为：，； ∵， ∴当时，则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴， 解得：或，（此时不符合题意，舍去） 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∴函数的最大值与最小值之和为，不符合题意舍去， 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴ ， 解得：或，（此时不符合题意，舍去，） 综上：或. 3．如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，或； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得，解得， 把代入中得，解得； （2）解：联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）∵， ∴二次函数开口向上 ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． 过关练习 一、单选题 1．已知二次函数，则下列关于这个二次函数的叙述正确的是（    ） A．图象的对称轴是直线 B．图象顶点坐标为 C．当时，随的增大而减小 D．图象只经过两个象限 【答案】D 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：对二次函数配方得： ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 A选项中对称轴为，与计算结果不符，A错误． B选项中顶点坐标为，与计算结果不符，B错误． C选项中，∵开口向下，对称轴为， ∴只有时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，因此C错误． D选项中，∵抛物线顶点纵坐标为，开口向下， ∴函数图象全部在轴下方，只经过第三，第四两个象限，D正确． 2．在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴只有1个交点，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴只有一个交点时，对应的一元二次方程根的判别式等于0，利用判别式列方程求解即可得到m的值． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有1个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根，根的判别式， 将，，代入得：， 化简得，解得． 3．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： 的值 … 0 1 2 … 的值 … 2 5 2 … 当时，函数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，先利用表格中相等函数值对应的自变量求出对称轴，判断开口方向，再根据对称性得到端点的函数值，最后结合增减性确定给定取值范围内的取值范围． 【详解】解：∵由表格可知，和时的函数值相等，均为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时的函数值，大于和的函数值， ∴二次函数开口向下，顶点为，即函数在处取得最大值， 根据二次函数对称性，与关于直线对称， ∵时， ∴时， 在区间中，开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小，离对称轴最远，函数值最小为， 因此当时，的取值范围是． 4．二次函数（b为常数）的图象经过点，且对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为（     ） A．4 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】先将已知点代入函数解析式求出b的可能值，再根据对称轴位置筛选出符合条件的b，求出函数解析式，即可求解最值． 【详解】解：因为二次函数的图象经过点 所以 解得或 因为对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴公式为，本题中 所以 所以舍去，得 所以解析式为 配方得 因为 所以该二次函数的最小值为4． 5．在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度后，抛物线的顶点坐标为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方得到顶点式，确定原顶点坐标，再根据抛物线平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，结合平移后顶点为列方程求解． 【详解】解： ∴原抛物线的顶点坐标为 将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移个单位长度后，新顶点坐标为 ∵平移后顶点坐标为 ∴列方程组得： 解得． 6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象在x轴上截得的线段长度为4 B．顶点坐标是 C．图象与y轴交点的坐标是 D．开口向上 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数与坐标轴的交点坐标，根据解析式可得开口方向和顶点坐标，即可判断B、D；求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可判断A、C． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，故B、D说法错误； 在中，当时，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， ∴图象在x轴上截得的线段长度为，故A说法正确； 在中，当时，， ∴图象与y轴交点的坐标是，故C说法错误； 故选：A． 7．已知关于的二次函数解析式，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．先将二次函数解析式配方，确定抛物线的开口方向与顶点坐标，再结合给定的x的取值范围，分析顶点及取值范围的端点对应的函数值，进而确定y的取值范围． 【详解】解：二次函数解析式为 ∵二次项系数 ∴抛物线开口向上，顶点坐标为． ∵ ∴当时，取得最小值． 当时，；当时，． 又∵取不到， ∴；顶点在的取值范围内， ∴． ∴． 故选：D． 8．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键在于根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点个数判断判别式的符号． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，且对称轴在轴右侧，即， ∴； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 综上，，，故选：D． 9．已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，利用图象特征判断字母系数的符号是解题的关键． 根据每个选项中的图象特征，分别判断一次函数和二次函数中的符号，再对比是否一致即可得出答案． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故A选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故B选项不符合题意 C、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故C选项符合题意； D、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故D选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 11．抛物线的对称轴为直线________． 【答案】1 【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线． 12．将抛物线向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移． 将原抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数的平移法则“上加下减，左加右减”计算即可． 【详解】解：原抛物线， 向左平移1个单位，将原解析式中的替换为，所得抛物线的解析式为． 故答案为：． 13．二次函数中，，，，则其图象不经过第 _____ 象限． 【答案】三 【分析】根据已知的符号，判断二次函数的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置，进而确定图象不经过的象限． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， ， ∴抛物线经过原点， ∴， 当时，， ∴或， ∴抛物线与轴的另一个交点横坐标为， ∵，， ∴，即另一个交点在轴正半轴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，， ∴，即对称轴在轴右侧， 当时，， ∵，，，，，， ∴，即时，恒为正，不存在且的点， 因此此函数的图象不经过第三象限． 14．当时，二次函数的最大值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，先求函数顶点横坐标，那么顶点不在内且由于二次函数开口向下，随的增大而减小，所以最大值在左端点处，代入计算即可． 【详解】二次函数的二次项系数， 因此抛物线开口向下， 顶点横坐标为， 由于，顶点不在区间内，且当时，随的增大而减小， 故在时取得最大值， 代入计算得． 故答案为：． 15．如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，不等式组，因式分解，掌握知识点是解题的关键． 先分别求出二次函数与一次函数的解析式，再令，当时，求出，继而当时，即，推断出，求解即可． 【详解】解：将，分别代入得 ， 解得， ∴二次函数， 将代入得 ， 解得， ∴一次函数， 令，当时， ， 即， 解得， ∵当时， 即， ， ∴， 即或（无解） 解得． 故答案为：． 16．经过点的抛物线的对称轴是直线，其顶点在直线上．当时，此时抛物线的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质和二次函数的最值，关键是用待定系数法求出函数解析式． 先用待定系数法求出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，顶点在直线上， 当时，， ∴该抛物线的顶点坐标是， 设该抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式是， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：． 17．若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式确定开口方向和对称轴，利用开口向下的二次函数的性质，比较各点到对称轴的距离，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：二次函数中，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ． 18．已知二次函数，当时，函数的最小值为，则______． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数在区间上的最值，掌握好二次函数的图象与性质是解题关键． 先判断图象的开口方向和对称轴，根据区间与对称轴的相对位置进行分类讨论，结合二次函数的增减性，求出的值． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大， 当和关于对称轴对称时，，解得， ①当时， ∵， ∴当时，取得最小值， ∴， 化简，得， 解得或， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴当时，取得最小值， ∴， 化简，得， 解得或， ∵， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 三、解答题 19．已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1) (2)当时，随的增大而减小 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）将抛物线的解析式化成顶点式，即可得到顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可知抛物线开口向上，对称轴为，再结合二次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）得，， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小． 20．已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】()根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，即可解答； ()根据和二次函数的性质，可以求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：令，则：， ， 解得， ∵二次函数的二次项系数大于，抛物线开口向上， ∴当时，或． 21．已知二次函数． (1)试说明该二次函数的图像与x轴必有两个交点； (2)若，该抛物线沿x轴平移多少个单位长度后，得到的抛物线经过原点． 【答案】(1)见解析 (2)向左平移1或2个单位长度 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图像上的点的坐标特征，二次函数图像与平移变换， （1）证明，可得结论； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴该二次函数的图像与x轴必有两个交点． （2）解：时，， 令，可得或2， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， ∴该抛物线沿x轴向左平移1或2个单位长度后，得到的抛物线经过原点； 22．已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C. (1)求二次函数的表达式； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据（1）可得点C坐标，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】（1）解：把点，代入得： ，解得：， ∴； （2）解：由（1）可知：， 令时，则有， ∴，即， ∵点，， ∴， ∴． 23．设二次函数． (1)若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标； (2)判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)该函数存在最大值11，此时的值为或； (3)或． 【分析】（1）根据抛物线对称轴求出的值，再代入解析式化为顶点式，即可得解； （2）将解析式化为顶点式可得当时，该函数有最大值，再根据一元二次方程根的判别式求解即可； （3）将点代入函数解析式求出，从而判断函数图象开口向下，对称轴为直线，则，且，即可得解． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线， ， 解得：， ， 该函数的顶点坐标为； （2）解：， 若该函数存在最大值11， 则，整理得， ， 解得：，， 即该函数存在最大值11，此时的值为或； （3）解：点在函数图象上， ， 解得：， ， 函数图象开口向下，对称轴为直线， ，且， 和在函数图象上，且当时，都有， 或． 24．已知抛物线（b，c为常数）． (1)当，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）①将，代入抛物线，将其改写为顶点式，进而得到顶点坐标； ②先根据平移规律得到新抛物线的表达式，再将点代入，得到h关于n的表达式，最后根据n的取值范围求出h的取值范围； （2）先确定抛物线的对称轴，再结合已知条件分情况讨论，根据二次函数的单调性求出b、c的值，进而得到抛物线的表达式． 【详解】（1）①解：当，时，抛物线， 则抛物线的顶点坐标为； ②解：由①知抛物线， 将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线为：， 将点代入新抛物线得：，即， 由于， 则当时，有最小值，最小值为1， 当时，， 当时，， 因此，h的取值范围为； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2， 则 即当时，；时，， 代入抛物线得， 解得或（舍去）， 则该抛物线的表达式为． 25．为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润（万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：． (1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义． (2)若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？ (3)根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值． 【答案】(1)，当减少碳排放量等于吨时，最大利润为万元； (2)当利润达到万元时，需要减少吨或吨； (3)满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值万元． 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握顶点式，二次函数函数值、自变量值的计算是关键． （1）由二次函数解析式，根据对称轴直线的计算公式，顶点坐标的计算方法，顶点坐标表示的含义计算即可求解； （2）当时，代入计算即可求解； （3）根据题意图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，确定最大值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：， ∴对称轴直线为， 当时，， ∴顶点坐标为， ∵，即图象的开口象限， ∴当减少碳排放量等于吨时，最大利润为万元； （2）解：当时，， 整理得，， ∴， 解得，， ∴当利润达到万元时，需要减少吨或吨； （3）解：二次函数解析式为， ∵，顶点坐标为， ∴图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量， ∴当时，确定最大值， ∴， ∴满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值万元． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $