1.1.2 集合的基本关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等、空集性质及子集个数规律。通过具体集合实例引导学生观察包含关系，搭建从集合概念到集合关系的学习支架。 以情境导入培养数学眼光，通过问题链探究概念，结合维恩图与符号表示发展数学语言，例1探究子集个数规律提升数学思维。助力学生逻辑推理与运算能力，为教师提供清晰评价设计和教学流程，便于高效教学。

教学设计-2026-2027学年 高一 人教B版 1.1.2 集合的基本关系 数学 必修第一册 章节名称 第一章 1.1 集合 —— 1.1.2 集合的基本关系 课标要求 通过具体实例，了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 重点 理解子集、真子集的概念与符号表示；掌握集合相等的判定条件。 难点 区分元素与集合的关系（∈）与集合与集合的关系（⊆）；理解空集是任何集合的子集这一规定；探究子集个数的规律。 学习目标 1. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 2. 理解子集、真子集的概念，能正确使用符号⊆、⊊、=表示集合间的关系。 3. 掌握空集的定义及其性质。 4. 能用维恩图（Venn图）表达集合间的关系，体会数形结合的思想。 5. 通过探究子集个数规律，提升逻辑推理和数学运算能力。 评价设计 通过课堂提问，评价学生对子集、真子集定义的理解程度；通过例题演练与课堂练习，评价学生符号使用的规范性及关系判断的准确性；通过探究活动，评价学生的归纳总结能力。 教学过程 一、情境导入 教师提问：观察以下两组集合，它们之间有什么关系？ (1) A={1, 2}, B={1, 2, 3}； (2) C={x | x是正方形}, D={x | x是矩形}。 学生活动：观察并思考，尝试用自己的语言描述集合间的关系。 预设回答：集合A的所有元素都在集合B中；正方形一定是矩形，即集合C的所有元素都在集合D中。 教师引导：像这样，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合之间存在包含关系。这节课我们将深入研究集合的基本关系。 二、探究新知 1. 子集的概念 一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。 教师提问：根据定义，任何一个集合A和它自己是什么关系？ 学生回答：因为A的元素显然都在A中，所以A是A的子集，即A⊆A。 教师强调：我们规定，空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A。 2. 真子集的概念 教师提问：在A={1, 2}, B={1, 2, 3}中，A是B的子集，B中有没有不属于A的元素？ 学生回答：有，元素3不属于A。 教师总结：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A），读作“A真包含于B”。 3. 集合相等 教师提问：如果A⊆B且B⊆A，这两个集合的元素有什么关系？ 学生回答：说明A的元素都在B中，B的元素也都在A中，即它们元素完全相同。 教师总结：如果A⊆B且B⊆A，则A=B；反之，如果A=B，则A⊆B且B⊆A。 思考：A是B的子集，包括哪两种情况？ 预设回答：要么A是B的真子集，要么A与B相等。 4. 维恩图（Venn图） 为了形象地表示集合之间的关系，我们常用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，这种图通常称为维恩图。 例如，A⊊B可以表示为： 三、典例剖析 例1：写出集合 A={a, b} 的所有子集，并指出哪些是真子集。 解：集合 A 的子集有：∅, {a}, {b}, {a, b}。 其中真子集有：∅, {a}, {b}。 教师追问：集合 A 有 2 个元素，子集个数是多少？如果是 3 个元素呢？ 学生活动：尝试列举，寻找规律。 规律总结：元素个数为 n 的集合，子集个数为 ，真子集个数为 -1，非空真子集个数为 -2。 例2：判断下列关系是否正确，并说明理由。 (1) ∅ ⊆ {0}； (2) 0 ∈ {0}； (3) {0} ⊆ ∅； (4) {0} ⊊ {0, 1, 2}。 解：(1) 正确。因为空集是任何集合的子集。 (2) 正确。因为 0 是集合 {0} 中的一个元素。 (3) 错误。因为 {0} 不是空集，且 {0} 中有元素 0 不属于 ∅。 (4) 正确。因为 {0} 是 {0, 1, 2} 的子集，且 {0, 1, 2} 中有元素 1、2 不属于 {0}。 四、巩固练习 练习1：已知集合 A={1, 2, 3}，写出 A 的所有子集。 答案：∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}。共 8 个。 练习2：判断下列各题中集合 A 与 B 的关系。 (1) A={x | x>3}, B={x | x>5}； (2) A={x | x={-1}}, B=。 答案：(1) B⊊A。因为满足 x>5 的数一定满足 x>3，反之不成立。 (2) A⊊B。因为 A={-1}，B={-1, 1}。 五、课堂小结 1. 集合间的三种基本关系：子集（A⊆B）、真子集（A⊊B）、相等（A=B）。 2. 符号的区别：∈ 表示元素与集合的关系；⊆、⊊、= 表示集合与集合的关系。 3. 重要性质：∅是任何集合的子集；任何集合是它本身的子集。 4. 子集个数规律：n 个元素的集合有 个子集。 六、布置作业 教材第 10 页，练习题 1.1 第 3、4 题。 板书设计 1.1.2 集合的基本关系 1. 子集：A⊆B（任意 x∈A ⇒ x∈B） 性质：∅⊆A，A⊆A 2. 真子集：A⊊B（A⊆B 且 ∃ y∈B, y∉A） 3. 集合相等：A=B ⇔ A⊆B且B⊆A 4. 子集个数： 学科网（北京）股份有限公司 $