第十三章 三角形 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本初中数学三角形单元复习卷，通过选择、填空、解答题全面覆盖三角形性质、判定及应用，注重基础巩固与推理能力提升，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|17小题|三角形三边关系（1题）、稳定性（3题）、高/中线/角平分线（5、8题）|基础概念辨析，结合生活情境（2题池塘距离估计）| |填空题|4小题|角平分线性质（18题）、面积计算（20题）|聚焦核心技能，渗透几何直观| |解答题|7小题|平行证明（22题）、分类讨论（23题）、探究角关系（26、27题）|分层设计，如27题“规形图”探究培养推理意识与创新意识|

第13章 章末复习 一．选择题（共17小题） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3cm，5cm，9cm B．6cm，7cm，13cm C．9cm，9cm，19cm D．11cm，18cm，22cm 2．如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝14m，OB＝9m，则点A，B间的距离不可能是（　　） A．5m B．10m C．15m D．20m 3．为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 4．要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在△ABC中，AC边上的高是（　　） A．线段AD B．线段BE C．线段BF D．线段CF 6．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD为△ABC的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中不正确的是（　　） A．∠ADC＝90° B．∠ACE＝∠BCE C． D．AC＝EC 9．下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A＝90°﹣∠B能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 10．等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 11．如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝56°，AD是高，AE是角平分线，则∠EAD的度数为（　　） A．7° B．8° C．9° D．10° 12．如图所示，直线a∥b，直角△ABC的顶点C在直线b上．若∠1＝33°，则∠2的度数为（　　） A．57° B．47° C．67° D．33° 13．两根木条A，B按如图所示的方式放在地面上，若∠3＝80°，∠1＝45°，则∠2＝（　　） A．125° B．100° C．80° D．55° 14．如图，△ABC中，∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，∠ACD＝∠DCE＝∠ECB，若∠BEC＝130°，则∠A等于（　　） A．30° B．35° C．80° D．85° 15．如图，已知∠BDC＝142°，∠B＝42°，∠C＝20°，则∠A的度数为（　　） A．75° B．80° C．90° D．110° 16．将一副三角尺按如图所示的位置摆放（斜边与直角边重合），则∠1的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 17．如图，在△ABC中点D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC的面积是（　　） A．32 B．36 C．28 D．30 二．填空题（共4小题） 18．如图，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，若∠A＝50°，则∠P＝　 　 ． 19．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，则∠A为　 　 °． 20．如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝　 　 ． 21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 22．已知，如图∠B＝42°，∠A＝∠1﹣10°，∠ACD＝64°，求证：AB∥CD． 23．已知a，b，c为△ABC的三边长． （1）若b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． （2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC周长的最大值和最小值． 24．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数． （2）当AD为边BC上的中线时，若AB＝10，△ADC的周长比△ABD的周长少2，求AC的长度． 25．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠ACD＝140°，∠B＝40°，求∠E的大小； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 26．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝62°，则∠BPC＝　 　 °． （2）如图2，△ABC的内角、∠ACB的平分线与△ABC的外角、∠ABD的平分线交于点E，其中∠A＝58°，求∠BEC的度数． （3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，其中∠A＝α．求∠BQC＝　 　 （用α表示）． 27．材料阅读：如图1所示的图形，使我们常见的学习用品——圆规，我们不妨把这样的图形叫做“规形图”． （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2，把一块三角板DEF放置在△ABC上，使三角板的两条直角边DE、DF恰好经过点B、C．若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝　 　 °； ②如图3，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP．若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC． 28．如图①，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，∠ACP＝∠1，∠BDP＝∠2，∠CPD＝∠3，点P在线段AB上． （1）若∠1＝22°，∠2＝33°，则∠3＝　 　 ． （2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由． （3）应用（2）中的结论解答下面的问题： 如图②，点A在B的北偏东40°的方向上，在C的北偏西45°的方向上，求∠BAC的度数． （4）如果点P在直线l3上且在A，B两点外侧运动（点P和A，B两点不重合），其他条件不变，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 章末复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共17小题） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3cm，5cm，9cm B．6cm，7cm，13cm C．9cm，9cm，19cm D．11cm，18cm，22cm 【分析】根据三角形三边的关系，对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为3+5＜9， 所以A选项不符合题意； 因为6+7＝13， 所以B选项不符合题意； 因为9+9＜19， 所以C选项不符合题意； 因为11+18＞22， 所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键． 2．如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝14m，OB＝9m，则点A，B间的距离不可能是（　　） A．5m B．10m C．15m D．20m 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到5＜AB＜23，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：14﹣9＜AB＜14+9， ∴5＜AB＜23， ∴A，B间的距离不可能是5m． 故选：A． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是由三角形三边关系定理得到5＜AB＜23， 3．为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【分析】首先确定斜拉木条后木框形成的新的几何图形．因为钉斜拉木条的目的是防止木框变形，即提升结构的稳定性，所以对应寻找该几何图形的相关性质，匹配选项中对应的几何原理． 【解答】解：A、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据，不符合题意； B、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据，不符合题意； C、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形，符合题意； D、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的稳定性，直线的性质及线段的性质，熟知以上知识是解题的关键． 4．要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木架不变形，需将其分割成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，需要的木条数等于对角线的条数． 【解答】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6﹣3＝3条对角线， 所以至少要钉上3根木条． 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形的稳定性以及多边形，正确利用图形得出是解题关键．解题时注意：过n边形的一个顶点作对角线，可以做（n﹣3）条． 5．如图，在△ABC中，AC边上的高是（　　） A．线段AD B．线段BE C．线段BF D．线段CF 【分析】根据三角形的高的定义解答即可． 【解答】解：因为点B到AC边的垂线段是BE，所以AC边上的高是BE， 故选：B． 【点评】此题考查三角形的高，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答． 6．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD为△ABC的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到△ABD与△ACD的周长之差为AB﹣AC，即可得出结果． 【解答】解：∵AD为△ABC的中线，AB＝8，AC＝6， ∴BD＝CD， ∴△ABD与△ACD的周长之差为（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD） ＝AB﹣AC ＝8﹣6 ＝2． 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键． 7．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义与性质，逐一判断各说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【解答】解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，分别三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高（或所在直线）也都交于一点，因此④正确． 综上，正确的说法共2个， 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形相关线段的知识点判断，掌握其相关知识点是解题的关键． 8．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中不正确的是（　　） A．∠ADC＝90° B．∠ACE＝∠BCE C． D．AC＝EC 【分析】根据三角形高、角平分线、中线的定义判断选项即可． 【解答】解：A、CD是△ABC的高，即CD⊥AB，所以∠ADC＝90°，所以选项A正确，不符合题意； B、CE是△ABC的角平分线，即CE平分∠ACB，所以∠ACE＝∠BCE，所以选项B正确，不符合题意； C、CF是△ABC的中线，即F是AB中点，所以，所以选项C正确，不符合题意； D、AC＝EC无法由△ABC的高、角平分线、中线得出，所以选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，关键是相关性质的熟练掌握． 9．下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A＝90°﹣∠B能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 【分析】根据三角形的内角和定理逐一计算判断即得答案． 【解答】解：①若∠A+∠B＝∠C，因为∠A+∠B+∠C＝180°， 所以2∠C＝180°，即∠C＝90°， 所以△ABC是直角三角形，符合题意； ②若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则， 所以△ABC是直角三角形，符合题意； ③若∠A＝∠B＝∠C，则∠A＝∠B＝∠C＝60°， 所以△ABC不是直角三角形，不符合题意； ④若∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，所以∠C＝90°， 所以△ABC是直角三角形，符合题意， 综上，能确定△ABC是直角三角形的有①②④． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内角和和直角三角形的定义，熟练掌握三角形的内角和是180°是关键． 10．等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【解答】解：分两种情况讨论： ①当该等腰三角形的腰长为3时，则底边为7， 此时该该等腰三角形的三边长为：3，3，7， ∵3+3＜7，不满足构成三角形的条件， ∴此种情况不存在； ②当该等腰三角形的腰长为7时，则底边为3， 此时该该等腰三角形的三边长为：7，7，3， ∵3+7＞7，满足构成三角形的条件， ∴该等腰三角形的周长为：7+7+3＝17． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 11．如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝56°，AD是高，AE是角平分线，则∠EAD的度数为（　　） A．7° B．8° C．9° D．10° 【分析】由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，则由角平分线的定义可求出∠CAE的度数，再根据三角形高的定义和三角形内角和定理求出∠CAD的度数即可得到答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝56°，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝86°， ∵AE是角平分线， ∴， ∵AD是高， ∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝34°， ∴∠B＝38°，∠C＝56°，AD是高，AE是角平分线，则∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝9°． 故选：C． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．如图所示，直线a∥b，直角△ABC的顶点C在直线b上．若∠1＝33°，则∠2的度数为（　　） A．57° B．47° C．67° D．33° 【分析】根据直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，进一步可得∠3的度数，根据平行线的性质可得∠2的度数． 【解答】解：在直角△ABC中，∠ACB＝90°， ∵∠1＝33°， ∴∠3＝180°﹣90°﹣33°＝57°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝57°， 故选：A． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 13．两根木条A，B按如图所示的方式放在地面上，若∠3＝80°，∠1＝45°，则∠2＝（　　） A．125° B．100° C．80° D．55° 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解． 【解答】解：由图可知，∠2＝∠3+∠1＝80°+45°＝125°（三角形外角的性质）， 则∠2的度数为125°， 故选：A． 【点评】本题考查三角形外角的性质，关键是三角形外角性质的熟练掌握． 14．如图，△ABC中，∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，∠ACD＝∠DCE＝∠ECB，若∠BEC＝130°，则∠A等于（　　） A．30° B．35° C．80° D．85° 【分析】首先根据三角形的内角和为180°，求出∠EBC+∠ECB＝50°，再根据已知相等的角得出∠ABC+∠ACB＝150°，再根据三角形的内角和得出即可． 【解答】解：∵∠BEC＝130°， ∴∠EBC+∠ECB＝50°， ∵∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，∠ACD＝∠DCE＝∠ECB， ∴∠ABD+∠DBE+∠EBC+∠ACD+∠DCE+∠ECB＝150°， 即∠ABC+∠ACB＝150°， ∴∠A＝180°﹣150°＝30°． 故选：A． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，解题关键是根据内角和定理求出角的度数． 15．如图，已知∠BDC＝142°，∠B＝42°，∠C＝20°，则∠A的度数为（　　） A．75° B．80° C．90° D．110° 【分析】连接AD，延长AD到E．只要证明∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC，即可解决问题． 【解答】解：连接AD，延长AD到E． ∵∠BDE＝∠B+∠BAE，∠CDE＝∠C+∠CAE， ∴∠BDC＝∠B+∠C+∠BAE+∠CAE＝∠B+∠C+∠BAC， ∵∠BDC＝142°，∠B＝42°，∠C＝20°， ∴∠BAC＝∠BDC﹣∠B﹣∠C＝142°﹣42°﹣20°＝80°， 则∠A的度数为80°， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的外角解决问题，属于中考常考题型． 16．将一副三角尺按如图所示的位置摆放（斜边与直角边重合），则∠1的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【分析】首先根据三角板的度数，得到对应角的度数，再利用外角定理求得∠1的度数即可． 【解答】解：如解图，设AC与BD交于点E， 根据题意可知，∠A＝90°，∠ABC＝45°，∠CBD＝30°， ∴∠ABE＝45°﹣30°＝15°， 在△AEB中，∠1＝∠A+∠ABE＝90°+15°＝105°（三角形外角的性质）， 则∠1的度数为105°， 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形外角奥迪性质，找到外角是解题的关键． 17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC的面积是（　　） A．32 B．36 C．28 D．30 【分析】根据三角形中线的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点F为AE的中点，阴影部分的面积为4， 所以△ADE的面积为8． 因为点E为BD的中点， 所以△ABD的面积为16． 因为点D为AC的中点， 所以△ABC的面积为32． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的面积及三角形的角平分线、中线和高，熟知三角形中线的性质是解题的关键． 二．填空题（共4小题） 18．如图，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，若∠A＝50°，则∠P＝　115°　 ． 【分析】由角平分线的定义可得，，再利用三角形的内角和定理可求解． 【解答】解：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD， ∴，， ∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD ＝ ＝ ＝ ＝115°． 故答案为：115°． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，关键是三角形内角和定理的应用． 19．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，则∠A为　35　 °． 【分析】根据直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等可得∠A＝∠BCD＝35°． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高， ∴∠A+∠B＝90°，CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD＝35°（同角的余角相等）， 则∠A的度数为35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 20．如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝　1　 ． 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC， ∵S△ABC＝2， ∴S△ACD＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是三角形的中线、三角形的面积计算，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是 　　 ． 【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可； 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∵当PC⊥AB时，PC的值最小， 此时：•AB•PC＝•AC•BC， ∴PC＝， 故答案为． 【点评】本题考查勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会理由面积法求高，属于中考常考题型． 三．解答题（共7小题） 22．已知，如图∠B＝42°，∠A＝∠1﹣10°，∠ACD＝64°，求证：AB∥CD． 【分析】在△ABC中，∠B＝42°即已知∠A+∠1＝180°﹣42°＝138°，又∠A＝∠1﹣10°可以求出∠A的大小，只要能得到∠A＝64°，根据内错角相等，两直线平行，就可以证出结论． 【解答】证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1＝180°，∠B＝42°， ∴∠A+∠1＝138°， 又∵∠A＝∠1﹣10°， ∴∠A+∠A+10°＝138°， 解得：∠A＝64°． ∴∠A＝∠ACD＝64°， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质定理，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 23．已知a，b，c为△ABC的三边长． （1）若b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． （2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC周长的最大值和最小值． 【分析】（1）利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状． （2）利用三角形三边关系得出c的取值范围，进而求出△ABC的周长最大值和最小值． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下： ∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0， ∴b﹣2＝0，c﹣3＝0， 解得：b＝2，c＝3， ∵a为方程|a﹣4|＝2的解， ∴a﹣4＝±2， 解得：a＝6或2， ∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6， ∴a＝6不合题意舍去， ∴a＝2， ∴△ABC的周长为：2+2+3＝7， ∴△ABC是等腰三角形． （2）∵a＝5，b＝2，c为整数， ∴5﹣2＜c＜2+5， ∴c的最小值为4，c的最大值为6， ∴△ABC的周长的最大值＝5+2+6＝13，最小值＝5+2+4＝11． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，根据绝对值的性质以及偶次方的性质求出a、b、c的值是解题关键． 24．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数． （2）当AD为边BC上的中线时，若AB＝10，△ADC的周长比△ABD的周长少2，求AC的长度． 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出∠BAC，进而求出∠BAD，然后根据两锐角互余求出∠BAE，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先结合已知条件和中线的性质确定AB，AC的数量关系，继而可以求解． 【解答】解：（1）由条件可知∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣66°﹣36°＝78°． 由角平分线定义可知： ． ∵AE为边BC上的高， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣39°＝15°． （2）∵AD为边BC上的中线，∴BD＝CD． 又∵△ADC的周长比△ABD的周长少2， ∴（AD+BD+AB）﹣（AD+DC+AC）＝2， ∴AB﹣AC＝2， ∴AC＝AB﹣2＝10﹣2＝8． 【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高，熟练掌握以上知识点是关键． 25．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠ACD＝140°，∠B＝40°，求∠E的大小； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 【分析】（1）先根据角平分线定义求出∠DCE＝70°，再根据三角形外角性质求解即可； （2）先根据角平分线定义得到∠ACE＝∠DCE，再根据三角形外角性质进行角的代换即可证明结论． 【解答】（1）解：∵CE平分∠ACD，∠ACD＝140°， ∴， 又∵∠B＝40°，∠ECD＝∠B+∠E， ∴∠E＝∠ECD﹣∠B＝70°﹣40°＝30°； （2）证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE． ∵∠DCE＝∠B+∠E， ∴∠ACE＝∠B+∠E． ∵∠BAC＝∠ACE+∠E， ∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟记以上知识点是解题的关键． 26．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝62°，则∠BPC＝　121　 °． （2）如图2，△ABC的内角、∠ACB的平分线与△ABC的外角、∠ABD的平分线交于点E，其中∠A＝58°，求∠BEC的度数． （3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，其中∠A＝α．求∠BQC＝　　 （用α表示）． 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得∠ABC+∠ACB＝118°，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得∠ABD﹣∠ACB＝58°，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得∠CBM+∠BCN＝180°+α，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到． 【解答】解：（1）∵∠A＝62°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣62°＝118°， ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣59°＝121°， 故答案为：121； （2）∵∠ABD＝∠A+∠ACB，∠A＝58°， ∴∠ABD﹣∠ACB＝58°， ∵∠ACB的平分线与∠ABD的平分线交于点E， ∴，， ∴， ∵∠EBD＝∠BEC+∠ECB， ∴∠BEC＝∠EBD﹣∠ECB＝29°； （3）∵∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠A＝α， ∴∠CBM+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+α， ∵∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q， ∴，， ∴＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟记以上知识点是解题的关键． 27．材料阅读：如图1所示的图形，使我们常见的学习用品——圆规，我们不妨把这样的图形叫做“规形图”． （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2，把一块三角板DEF放置在△ABC上，使三角板的两条直角边DE、DF恰好经过点B、C．若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝　50　 °； ②如图3，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP．若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC． 【分析】（1）根据三角形外角的性质进行计算即可； （2）①利用（1）的结论，以及∠D＝90°代入计算即可； ②由（1）的结论得∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD，进而求出∠ABD+∠ACD＝50°，再根据角平分线的定义得到∠ABD+∠ACD＝45°，再根据（1）的结论进行计算即可． 【解答】解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C，理由： 如图，作射线AD， ∵∠BDM＝∠BAD+∠B，∠CDM＝∠CAD+∠C， ∴∠BDM+∠CDM＝∠BAD+∠B+∠CAD+∠C， 即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； （2）①如图②，由（1）得，∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD， ∵∠BDC＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50； ②如图③，由（1）得，∠BPC＝∠ABP+∠ACP+∠A， ∵∠A＝40°，∠BPC＝130°， ∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣40°＝90°， ∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP． ∴∠ABD＝∠ABP，∠ACD＝∠ACP， ∴∠ABD+∠ACD＝（∠ABP+∠ACP）＝×90°＝45°， 由（1）可得，∠BDC＝∠ACD+∠ABD+∠A＝45°+40°＝85°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键． 28．如图①，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，∠ACP＝∠1，∠BDP＝∠2，∠CPD＝∠3，点P在线段AB上． （1）若∠1＝22°，∠2＝33°，则∠3＝　55°　 ． （2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由． （3）应用（2）中的结论解答下面的问题： 如图②，点A在B的北偏东40°的方向上，在C的北偏西45°的方向上，求∠BAC的度数． （4）如果点P在直线l3上且在A，B两点外侧运动（点P和A，B两点不重合），其他条件不变，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系． 【分析】（1）过点P作PQ∥AC与CD交于点Q，利用两直线平行内错角即可求解． （2）延长CA、DP交于点E，利用两直线平行同位角相等与三角形的外角性质即可求解． （3）由（2）可得∠A＝∠ABD+∠ACE＝40°+45°＝85°即可求解． （4）分类讨论，作辅助线，利用平行线的性质即可求解． 【解答】解：（1）如图，过点P作PQ∥l1与CD交于点Q， ∵直线l1∥l2，∴PQ∥l2 ∴∠2＝∠QPD，∠1＝∠QPC， ∵∠3＝∠QPD+∠QPC， ∴∠3＝22°+33°＝55°； 故答案为：55°； （2）∠3＝∠1+∠2； 理由：如图，延长CA、DP交于点E， ∵直线l1∥l2， ∴∠2＝∠4， ∵∠3＝∠1+∠4， ∴∠3＝∠1+∠2； （3）由题可知：∠ABD＝40°，∠ACE＝45°， 由（2）可知∠A＝∠ABD+∠ACE＝40°+45°＝85°； （4）当点P在BA的延长线上时，如图，延长PC、BD交于点M， ∵直线l1∥l2， ∴∠1＝∠CMD， ∵∠2＝∠CMD+∠3， ∴∠2＝∠1+∠3； 当点P在AB的延长线上时，如图，延长PD、AC交于点N， ∵直线l1∥l2， ∴∠2＝∠N， ∵∠1＝∠N+∠3， ∴∠1＝∠2+∠3； 【点评】本题考查了平行线之间的拐点问题，解题关键是正确作辅助线，利用平行线的性质与三角形外角的性质解题，本题涉及到了分类讨论的思想方法． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/26 16:25:12；用户：刘银银；邮箱：15198321411；学号：39141288 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $