第十三章三角形 章末进阶试题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 人教版八年级上册三角形单元进阶卷，以折叠凳、平板电脑放置等生活情境为载体，通过基础巩固（如三角板角度计算）、能力提升（如等腰三角形分类讨论）、创新应用（如动点位置探究）的梯度设计，覆盖三角形内角和、全等、等腰等核心知识，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|三角板角度计算（内角和）、三角形分类（直角三角形判定）|结合教具操作（如第1题三角板摆放），考查空间观念| |填空题|5|角平分线性质（第9题）、三角形三边关系（第11题）|设置开放性问题（如第11题多解周长），培养数据意识| |解答题|8|外角平分线证明（第20题）、动点位置探究（第21题）|分层设计探究题（如第21题分点P在边/外部/延长线讨论），发展创新意识与推理能力|

第十三章三角形 章末进阶试题 2026-2027学年 上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．如图，在中，边上的高为（   ） A． B． C． D． 4．如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（    ）. A． B． C． D． 5．将一台带有保护套的平板电脑按图①放置在水平桌面上，其侧面示意图如图②所示．经测得，．若移动支点C的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（   ） A． B． C．或 D．或 6．在中，，与全等的三角形有一个角是，那么中与这个角对应的角是（        ） A． B． C． D．无法确定 7．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，，交于点D，，交于点E．图中等腰三角形共有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 8．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，平分，平分，如果，那么______°． 10．如图：等于______________度． 11．有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是___________． 12．如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为________． 13．已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，请写出与之间的数量关系________． 三、解答题 14．下列各组中的数分别表示三条线段的长度，试判断以下列各组线段为边是否能组成三角形． (1)，，； (2)，，； (3)，，（，）． 15．如图，是的角平分线，，交于点E，，交于点F．求证：． 16．如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，且．求的度数． 17．如图，已知，， ，，． (1)在中，边上的高是_______；在中，是_______边上的高； (2)求的面积和的长． 18．已知的三边长是a，b，c. (1)若，，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长； (2)化简 19．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上． （1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． （2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 20．已知：CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）如图1，求证∠BAC=∠B+2∠E； （2）如图2，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，若∠DCE=2∠CAF，∠B=2∠E，求∠BAC的度数． 21．在中，，点D、E分别是边、上的点（不与A、B、C重合）点P是平面内一动点（P与D、B不在同一直线上），设，，． (1)若点P在边上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则＝______；（用含有、的代数式表示） (2)若点P在的外部，如图（2）所示，则、、之间有何关系？写出你的结论，并说明理由． (3)当点P在边CB的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，直接写出对应的、、之间的关系式． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B D D A B A 1．C 本题考查三角板中角度的计算，三角形的外角，利用三角形的外角求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可． 解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 2．B 本题考查三角形的分类和三角形内角和定理，熟练掌握三角形的分类和三角形内角和定理是解题的关键，根据，设，则，，根据三角形内角和定理解得，故，从而得到答案． 解：设， ∵ ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 3．B 解：在中，边上的高为； 故选B． 4．D 本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 直接根据“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答． 解：如图：∵， ∴,即， ∴只有D选项符合题意． 故选D． 5．D 本题考查了等腰三角形定义，根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 解：，，是一个等腰三角形， 当时，的周长。 当时，的周长。 故选：D． 6．A 解：∵一个三角形中只能有一个钝角． ∴的角只能是等腰三角形中的顶角， ∴是底角，是顶角 ∴中与这个角对应的角是． 故选A． 7．B 解：①∵为等边三角形， ∴， ∴为等腰三角形； ②∵分别是三个角的角平分线， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ③为等腰三角形； ④为等腰三角形； ⑤∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； ⑥∵， ∴， ∵， ∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO， ∴为等腰三角形； ⑦为等腰三角形． 故选：B． 8．A 解：如图， ， ． 故选：． 9． ， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 10． 此题考查了三角形内角和定理．根据三角形内角和为得到，即可得到答案． 解：∵， ∴ 故答案为： 11．或 本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系． 根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可． 解：∵，，，， ∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，， ∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或， 故答案为： 或． 12． 本题考查三角形中线的性质，三角形的面积，根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 解：∵ 是的中线，的面积是16， ∴ ∵E是的中点， ∴，     ∴阴影部分的面积为， 故答案为：8． 13． 本题考查了三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的定义． 延长交延长线于M，延长交于E，根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到，结合平角定义和角平分线的定义得到，根据三角形外交的性质求出，列等式计算即可． 解：如图，延长交延长线于M，延长交于E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 14．(1)不能； (2)能； (3)不能． 本题主要考查了三角形三边之间的关系，三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．只要三条边中两条短边之和大于最长的边，这三条边就可以组成三角形． 因为，不满足两边之和大于第三边，所以这三条边不能组成三角形； 因为，满足两边之和大于第三边，所以这三条边能组成三角形； 因为，不满足两边之和大于第三边，所以这三条边不能组成三角形． （1）解：， 不能组成三角形； （2）解：， 能组成三角形； （3）解：，， 、为较短边的长度， 又， 不能组成三角形． 15． 证明：是的角平分线， ． ， ． ， ， ． 本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的内错角相等是解题的关键．通过分析图形中的平行线和角平分线，利用平行线的内错角相等，以及角平分线将一个角分成两个相等的角的定义，逐步推导出结论． 略 16． 本题主要考查了与方向角有关的计算、三角形的内角和定理、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识并正确计算是解题的关键． 由方位角知识可得，由平行线的性质可得，进而得到，最后根据角的和差即可解答． 解：处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向， ． ， ， ， ， ，即的度数是． 17．(1)， (2)的面积为， 本题考查与三角形的高有关的计算，理解三角形的高的定义是解答的关键． （1）根据从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高进行判断即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可． （1）解：∵在中，， ∴边上的高是； ∵在中，， ∴是边上的高， 故答案为：，； （2）解：∵在中，是边上的高，，， ∴， 又，， ∴． 18．(1)4或6 (2) （1）先根据三角形三边关系确定c边的范围，再根据三角形的周长是小于18的偶数确定c边的长； （2）根据三角形三边关系确定，再根据绝对值的意义，化简绝对值的即可． （1）解：∵的三边长是a，b，c，，， ∴， 即， ∵三角形的周长是小于18的偶数， ∴或； （2）解：∵的三边长是a，b，c， ∴， ∴，， ∴ ． 19．（1）；（2）或． （1）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，所以，则可解得； （2）由三角形的周长被分成的两部分的差是2，可得方程①或②．解得或． 解：（1）由图可知三角形的周长，四边形的周长， 又三角形的周长与四边形的周长相等，为中点， ，， 即， 又，，， ， ． （2）由三角形的周长被分成的两部分的差是2，可得方程 ①当时，即：，解得：， ②当时．即：，解得． 故长为或． 20． （1）证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE， ∵∠DCE=∠B+∠E， ∴∠ACE=∠B+∠E， ∵∠BAC=∠ACE+∠E， ∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E． （2）80° （1）利用三角形的外角的性质即可解决问题． （2）设∠CAF=α，则∠ACE=∠DCE=2α、∠ACF=90°-α，由∠ACF+∠ACE+∠DCE=180°可得α=30°，据此知∠ACE=60°=∠B+∠E，根据∠B=2∠E求得∠B、∠E，继而可得答案． 解：（1）略 （2）设∠CAF=α，则∠ACE=∠DCE=2α， ∵AF⊥BC， ∴∠AFC=90°， ∴∠ACF=90°-α， ∵∠ACF+∠ACE+∠DCE=180°， ∴90°-α+2α+2α=180°， 解得：α=30°， ∴∠ACE=60°=∠B+∠E， 又∵∠B=2∠E， ∴∠B=40°、∠E=20°， ∴∠BAC=∠B+2∠E=80°． 21．(1) (2)，理由见解析 (3)或 （1）根据，，四边形的内角和为，即可表示出∠1，∠2和∠3之间的关系； （2）根据三角形外角的性质，，求出，，之间的关系； （3）画出符合条件的图形，根据图形和（2）的结论解答即可． （1）解：∵，， ∴， 即； 故答案为：． （2）结论：，理由如下： 如图（2）所示： 根据三角形外角的性质可知， ，， ∵， ∴． （3）如图①， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴． 如图②， 由外角的性质得： ，， ∵∠5＝∠4， ∴， 即． 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $