第13章 三角形 分层练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级上册第13章三角形分层练习，含基础巩固与拔高训练，适配单元复习，通过几何直观、推理能力与应用意识考查核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|三角形三边关系（第1题）、内角和与外角（第3、7题）、多边形内角和（第5、8题）|基础题聚焦概念辨析，如第5题多边形割角分类讨论，培养分类思想| |填空题|6题|角平分线性质（第13题）、平面镶嵌（第14题）、折叠问题（第6题）|结合生活情境，如第14题地砖镶嵌，体现应用意识| |解答题|6题|动态几何（第20题动点）、探究性问题（第21题角平分线拓展）、综合证明（第22题旋转综合）|拔高题注重逻辑推理，如第22题旋转运动与角度计算，发展创新意识|

第13章三角形分层练习-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 基础巩固 1．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．琪琪将剪掉后得到四边形，则变成四边形后内角和（     ） A．增加 B．增加 C．不变 D．减少 4．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 5．把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为，请问这个多边形原来的边数为（     ） A．14 B．15 C．16 D．以上都有可能 6．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．、与有什么样的关系（     ） A． B． C． D． 8．如图，某物质的化学分子式含有两个正六边形，其中一个正六边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，是的角平分线且，相交于点O，，求的度数（    ） A． B． C． D． 10．如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 11．一个多边形的内角和等于其外角和的四倍，则这个多边形是______边形． 12．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为，则这个内角是 _____________． 13．如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 14．用边长相等的正三角形，正方形，正十二边形三种地砖进行平面镶嵌，在某个拼接点处，三种地砖都要使用，正三角形的块数为，正方形块数为，正十二边形块数为，则__________． 15．如图，在中，，，是的平分线，于点E，交于，则的度数是______． 16．如图，是的一个外角，平分，为延长线上的一点，，交于点，若，则的度数是__________． 17．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 18．在中，，，． (1)求的度数； (2)在求的度数时，嘉琪说：“因为点位置不确定，可能在内，也可能在外，所以最后的结果是两个不同的数值．”通过计算判断嘉琪的说法是否正确． 19．在中，与的平分线相交于点． (1)如图①，若，则______________；（用的代数式表示，请直接写出结论） (2)如图②，作外角、的角平分线交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 拔高训练 20．如图，已知直线，点为直线上一定点，点为直线上的一个动点，连接．在直线、之间找点使，，设，． (1)当时，求的度数． (2)与有怎样的数量关系？并给出证明． (3)设的角平分线与交于点，当时，求． 21．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 22．数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下： (1)【论证】如图1，延长至D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为，请完成上述说理过程； (2)【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作，M在射线上，且，的延长线与的延长线交于点D． ①______； ②设，请用的代数式表示； (3)【拓展】如图3，中，，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点P，．绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点P以原速度逆时针方向旋转，当旋转一周时，运动全部停止，设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求t的值：若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A D C B B D D 1．B 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； B、，满足三角形三边关系，故能组成三角形，符合题意； C、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； D、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意． 2．B 【详解】解：∵三角形的三边长分别是x，3，4， ∴x的取值范围是， 即． 3．B 【分析】根据多边形内角和公式，求出三角形和四边形的内角和，求出它们的差，进行判断即可． 【详解】解：的内角和为， 四边形的内角和为， 变成四边形后内角和增加了． 4．A 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：∵的面积为，的面积为， ∴， ∵、分别是的两条中线， ∴，， ∴，， ∴． 5．D 【分析】先根据多边形内角和公式求出割去一个角后新多边形的边数，再根据割去一个角后边数的三种变化情况，讨论得到原多边形的可能边数． 【详解】设割去一个角后得到的新多边形的边数为n， 根据多边形内角和公式可得：， ∴， ∵多边形割去一个角时，新多边形的边数存在三种情况：比原多边形边数增加1，与原多边形边数相等，比原多边形边数减少1， ∴原多边形的边数可以为，或15，或，三种结果都有可能． 6．C 【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得，进而可得原三角形的的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知，则， ，，, 即， 解得． 7．B 【分析】先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形外角的性质，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， 即． 8．B 【分析】利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：∵多边形的内角和公式为， ∴正六边形的内角和为． 9．D 【分析】根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算． 【详解】解：∵，是的角平分线， ， ． ， ． 10．D 【分析】根据三角形的三边关系定理，确定第三边的取值范围，进而判断选项即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据三角形的三边关系可得： ， 即 ，选项中只有符合该范围． 11．十 【分析】任意多边形的外角和为，结合多边形内角和公式，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 解得：， 因此这个多边形是十边形． 12．/160度 【分析】设多边形边数为，这个内角的度数为，则，根据可得，据此求出n的取值范围，进而确定n的值即可得到答案． 【详解】解：设多边形边数为，这个内角的度数为， 由题意得， ∵， ∴ ∴，即 ∵是正整数 ∴， ∴， ∴ ． 13． 【分析】由直角三角形两个锐角互余得出，，得到，由角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 14． 【分析】平面镶嵌要求拼接点处内角和为，先计算各正多边形内角度数，列出方程，结合为正整数求解即可． 【详解】解：正三角形每个内角为，正方形每个内角为，正十二边形每个内角为， ∵拼接点处内角和为， ∴，即， ∵三种地砖都要使用， ∴都是不小于的正整数， 若，则，剩余，不满足，因此， 将代入方程得， 若，则，剩余，不满足，因此； 将代入得，解得； 因此． 15．/65度 【分析】直接利用三角形内角和定理得出的度数，再利用角平分线的性质结合垂直的定义以及平行线的性质得出答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．/40度 【分析】根据角平分线的定义，求出，的度数，平行线的性质，求出的度数，再根据三角形的外角的性质求出的度数，最后再利用三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 18．(1)； (2)解：嘉琪的说法不正确，理由如下： 设，， 由（1）得． ①当点在内部时，如图， ∵，，在中，， ∴， 将代入得； ②当点在外部时，如图， 此时、与点分别在的两侧，仍满足，， 在中，， ∴； 综上所述，无论点在内部还是外部，的度数均为，故嘉琪的说法不正确． 【分析】（1）利用三角形内角和为，结合已知的度数直接计算两角和； （2）分点在内部和外部两种情况，分别用三角形内角和计算的度数，验证结果是否一致． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）略． 19．(1) (2)，理由如下， ∵外角，的角平分线交于点， ， ， 由（1）可知，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可得出答案． （2）根据角平分线的定义，平角的定义，结合三角形内角和定理即可得出，继而得到，继而结合（1）中结论得到． 【详解】（1）解：∵与的平分线相交于点， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略． 20．(1) (2) 证明：过点作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）根据平行线性质和三角形内角和定理计算即可． （2）根据平行线性质计算即可． （3）根据平行线性质和角平分线性质计算即可． 【详解】（1）解：过点作，如图， ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）略 （3）解：∵，， ∴， 如图， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴． 21．(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理计算即可； （3）根据角平分线的定义求出，可知只能是或，根据三角形外角的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和定理求出，则，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分外角，， ∴，即， 因此只能是或． 根据三角形外角的性质得到， ∵平分外角，平分外角， ∴， ∴，即， ∴， 分情况讨论： 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述，的度数为或． 22．(1)证明：延长至D，过点A作， ∴， ∵， ∴， 即三角形的内角和为； (2)①；② (3)t的值为15秒或秒． 【分析】（1）利用平行线的性质以及平角的性质即可证明； （2）①利用平行线的性质以及角平分线的定义求得，再推出，再利用平角的性质即可求解； ②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论即可求解． （3）当旋转一周时，运动全部停止，求得总时间为30秒，与重合时间为15秒，分情况讨论，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵当旋转一周运动停止， ∴总时间（秒）， 当与重合时，重合时间为秒， 当秒时，旋转了， 此时，即； 当与重合后，绕着点P逆时针方向旋转过程中，时，如图，， ∵， ∴， 整理得， 解得， 综上，t的值为15秒或秒． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $