2.1.1 等式的性质与方程的解集教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦等式性质、恒等式与方程解集、十字相乘法因式分解及含参方程ax=b的分类讨论。通过天平平衡动画（左盘x+2g物体与右盘8g砝码）引导学生从操作中提炼等式性质，搭建从生活经验到数学抽象的学习支架。 此资料特色在于融合数学抽象、逻辑推理与数学语言表达素养。以天平动画直观引入等式性质培养数学眼光，含参方程ax=b分类讨论训练逻辑思维，十字相乘法例题规范解集的集合表示强化数学语言。助力学生养成严谨习惯，为教师提供直观教学资源提升课堂效率。

人教B版 必修第一册 高一 2.1.1 等式的性质与方程的解集 教学设计-2026-2027学年 数学 一、教学目标 语言维度 （1）能准确复述等式的两条基本性质，理解恒等式的概念，并能区分恒等式与条件等式。 （2）能用规范的数学语言描述方程的解和解集的定义。 能力维度 （1）能运用等式的性质进行简单的代数变形，熟练掌握十字相乘法因式分解求解一元二次方程。 （2）能利用“若ab=0，则a=0或b=0”的性质求解方程，并会用集合语言表示方程的解集。 （3）会对含字母参数的方程ax=b进行分类讨论，培养逻辑思维能力。 情感维度 （1）在探究等式性质的过程中，体会从具体到抽象的数学思维方法。 （2）通过分类讨论含参方程，养成严谨细致的数学学习习惯。 素养维度 （1）提升数学抽象素养，理解等式与方程的本质联系。 （2）提升逻辑推理素养，掌握分类讨论的思想方法。 二、教学重难点 教学重点：等式的性质及其应用；恒等式的概念与代数变形；十字相乘法因式分解；方程的解集及其表示。 教学难点：恒等式与一般等式的区分；含字母参数方程ax=b解集的分类讨论；利用因式分解法求解方程的逻辑依据。 三、教学准备 多媒体课件（包含天平演示动画、例题展示）、黑板、粉笔、学生练习单。 四、教学流程设计 （一）创设情境，引入新课 教师活动：展示天平平衡的动画。左盘放一个标有x的物体和2g砝码，右盘放8g砝码。提问：如何求出x的质量？ 学生活动：观察动画，思考并回答。两边同时拿走2g砝码，天平仍平衡，得出x=6。 教师活动：将上述过程抽象为数学式子：x+2=8。追问：这一操作体现了等式的什么性质？ 学生活动：尝试用语言描述：等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立。 设计意图：通过物理天平的直观演示，引导学生从生活经验中提炼数学规律，自然引出等式的性质。 （二）探究新知，构建概念 1. 等式的性质 教师活动：引导学生回顾并严格表述等式的性质（教材原文口径）：（1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。 学生活动：记录并记忆，思考为什么要强调“不为零”。 教师追问：如果等式两边同时乘以0，结果会怎样？ 学生回答：等式变为0=0，虽然成立，但无法求出原未知数的值，可能导致失真。 2. 恒等式与方程的解集 教师活动：板书两个式子：(1) (x+1)² = x²+2x+1；(2) x+1=3。提问：这两个式子有什么区别？ 学生活动：观察、讨论。式子(1)无论x取何值都成立；式子(2)只有x=2时才成立。 教师活动：总结定义。一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。恒等式是进行代数变形的依据之一。而方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值。把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。 3. 因式分解法与零积性质 教师活动：讲解从小学开始就知道的事实：任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零。因此：如果ab=0，则a=0或b=0。 教师活动：展示例题，利用十字相乘法求解方程 x²-3x-10=0。 师生互动：共同完成。 解：将方程左边因式分解，得 (x-5)(x+2)=0。 所以 x-5=0 或 x+2=0。 解得 x₁=5，x₂=-2。 故方程的解集为 {5, -2}。 教师活动：强调书写规范，解集要用集合表示。 （三）变式思考，解决问题 1. 含参方程的分类讨论 教师活动：出示例题：求关于x的方程 ax=b 的解集。 学生活动：尝试求解，发现直接除以a有风险。 教师活动：引导学生分类讨论参数a。 （1）当 a≠0 时，方程两边同除以a，得 x=，解集为 ； （2）当 a=0 时，方程变为 0·x=b。 若 b=0，方程恒成立，解集为 R（实数集）； 若 b≠0，方程无解，解集为 ∅。 学生活动：整理笔记，理解分类标准的依据。 2. 课堂练习 练习1：利用因式分解法解方程 x²-4x+3=0。 学生活动：独立完成。 解：(x-1)(x-3)=0， 所以 x-1=0 或 x-3=0， 解得 x₁=1，x₂=3。 解集为 {1, 3}。 教师活动：巡视指导，强调因式分解的准确性。 练习2：判断下列等式哪些是恒等式？ (1) (x+2)(x-2)=x²-4 (2) 3x+1=7 (3) =x 学生活动：思考并回答。 答案：(1)是恒等式；(2)不是，是条件等式；(3)不是，当x<0时，=-x≠x。 教师点评：特别注意(3)的陷阱，恒等式要求对任意实数成立。 （四）课堂小结 教师活动：引导学生总结本节课知识点。 1. 等式的两条性质（注意限制条件）； 2. 恒等式的定义及其与方程的区别； 3. 零积性质(ab=0 ⇒ a=0或b=0)的应用； 4. 含参方程ax=b的分类讨论思想。 学生活动：回顾本节课内容，查漏补缺。 （五）布置作业 1. 教材 练习题 2.1.1 第1、2题。 2. 思考题：若关于x的方程 (k-1)x²-4x+1=0 是一元二次方程，求k的取值范围。 作业答案： 1. (略，依据教材答案) 2. 解：因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即 k-1≠0，解得 k≠1。故k的取值范围是 {k|k≠1}。 学科网（北京）股份有限公司 $