29.2.1 垂直于弦的直径 同步练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦“垂直于弦的直径”，以选择、填空、解答分层，覆盖从基础应用到综合证明，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|垂径定理基本性质|直接应用概念（如判断弦与直径关系）| |提升层|动态与实际情境|结合大摆锤、铅球小坑等生活场景| |综合层|几何证明与计算|外接圆半径、拱桥问题等综合应用|

2026-2027学年九年级上册数学课时自测（人教版专用） 第二十九章29.2.1垂直于弦的直径 建议用时：40分钟，满分：100分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，⊙O的半径是3，P是弦AB延长线上的一点，连接OP.若OP=4,∠AP0=30°，则弦AB 的长是() A.2V5 B.5 C.2V13 D.V13 2.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,∠BOF=65°，则∠AOD为() C B 0 D A.70° B.65° C.50 D.45° 3.游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一如图，大摆锤OB以O为圆心前后摆动，大摆锤前后 1/8 摆动1次底端的运动轨迹可以看作AC,连接AC,交OB于点D,已知OB⊥AC,且点B为AC的中点， AC=16m,BD=4m,则大摆锤的长度为() A2------ D A.8m B.12m C.10m D.9m 4.如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为10cm,瓶内液体的最大深度CD=4cm,则截面圆中弦AB 的长为() 0 C B D A.82cm B.12cm C.16cm D.16.8cm 5.如图，AB是OO的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E,则下列结论中不一定成立的是() 2/8 A 0 D B A. AC=AD B. BC=BD C.OE=BE D.CE=DE 6.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是() 0 B A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5 C.3<OM<5 D.4<OM<5 7.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB=8,OC=5,则OD的长是() B A.3 B.2 C.6 D 8.已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上.若A=4,PB=6,则OP=() A.V14 B.4 C.V23 D.5 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB,垂足为C,连接AO并延长交⊙O于点E,连接EC,若AB=4, CD=1,则CE的长为 318 E 0 A B D 10河南铅球项目正处于竞技成绩稳步提升与青训体系持续完善并行的发展阶段，展现出较强的后备力量和 近期突破能力.体育课上，某同学掷出的铅球在平整的沙地上砸出一个小坑，纵截面如图所示，OC⊥AB, 垂足为D,交⊙O于点C,AB=8cm,小坑深CD为2cm,则该铅球的直径是 cm. 0 →铅球 D B沙地 小坑 11.如图，△ABC中，AB=4,AC=5,BC=2,以A为圆心，AC长为半径作圆A,延长CB交圆A于点 D,则BD的长为 12.如图，点A,B,C在半径为2的⊙O上，∠ACB=60°，OD⊥AB,垂足为E,交⊙O于点D,连接 OA,则OE的长度为 4/8 C 0 E D 三、解答题：本题共6小题，共64分。 13.本小题10分) 如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=16 B (1)尺规作图：作△ABC的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）. (2)求(1)中所作外接圆的半径. 14本小题10分) 如图，一艘货船想要通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度为16m,拱顶高出水面4m,货船宽 12m,船舱顶部为矩形并高出水面3m. 5/8 C D B 0】 (1)求此圆弧形拱桥的半径 (2)此货船能顺利通过这座拱桥吗，请说明理由参考数据： V19≈4.36 15.(本小题10分 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB,垂足为D,且AB=8,OC=5,求DC的长. 6/8 16(本小题10分) 如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且F为AD的中点. （1)求证： AD=CD; (2若AB=6,求CD的长. 17本小题12分 如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心，延长AI与△ABC的外接圆交于点D,连接BD,DC. D 718 (1)求证：ID=BD; (2)若∠BAC=60°，BC=2V3,求ID的长. 18本小题12分) 如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E,连接AC,OC,BC. B (1求证：∠DCB=∠CAB; (2)若EB=2,CD=8,求⊙O的直径. 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学课时自测(人教版专用) 第二十九章 29.2.1 垂直于弦的直径 建议用时：40分钟，满分：100分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，的半径是，是弦延长线上的一点，连接若，，则弦的长是(    ) A. B. C. D. 2.如图，为的直径，弦于点，于点，，则为(    ) A. B. C. D. 3.游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤前后摆动次底端的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为(    ) A. B. C. D. 4.如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，是的直径，为弦，于点，则下列结论中不一定成立的是(    )    A. B. C. D. 6.如图，的直径为，弦的长为，是弦上的一动点，则线段的长的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.如图，是的弦，半径于点若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 8.已知的半径为，是的弦，点在弦上．若，，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，的半径弦，垂足为，连接并延长交于点，连接，若，，则的长为          ． 10.河南铅球项目正处于竞技成绩稳步提升与青训体系持续完善并行的发展阶段，展现出较强的后备力量和近期突破能力体育课上，某同学掷出的铅球在平整的沙地上砸出一个小坑，纵截面如图所示，，垂足为，交于点，，小坑深为，则该铅球的直径是          ． 11.如图，中，，，，以为圆心，长为半径作圆，延长交圆于点，则的长为          ． 12.如图，点，，在半径为的上，，，垂足为，交于点，连接，则的长度为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。 13.本小题分 如图，在中，，． 尺规作图：作的外接圆不写作法，保留作图痕迹． 求中所作外接圆的半径． 14.本小题分 如图，一艘货船想要通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度为，拱顶高出水面，货船宽，船舱顶部为矩形并高出水面． 求此圆弧形拱桥的半径． 此货船能顺利通过这座拱桥吗请说明理由参考数据： 15.本小题10分 如图，是的弦，半径，垂足为，且，，求的长． 16.本小题分 如图，已知圆的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且为的中点． 求证： 若，求的长． 17.本小题12分 如图，在中，点是的内心，延长与的外接圆交于点，连接，． 求证： 若，，求的长． 18.本小题分 如图，为的直径，是弦，且于点，连接，，． 求证：； 若，，求的直径． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学课时自测(人教版专用) 第二十九章 29.2.1 垂直于弦的直径 建议用时：40分钟，满分：100分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，的半径是，是弦延长线上的一点，连接若，，则弦的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  2.如图，为的直径，弦于点，于点，，则为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了垂径定理和圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧是解此题的关键． 求出的度数，求出的度数，根据垂径定理求出，再求出答案即可． 【分析】 解：， ． ， ， 的度数是， 弦，为的直径， ， 的度数是， ． 故选C． 3.游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤前后摆动次底端的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】，且点为的中点， ，， 设， 则， 在中，由勾股定理得， ，解得， 大摆锤的长度为故选C． 4.如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  5.如图，是的直径，为弦，于点，则下列结论中不一定成立的是(    )    A. B. C. D. 【答案】C  6.如图，的直径为，弦的长为，是弦上的一动点，则线段的长的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】当点与点或点重合时，最长，此时为半径． 的直径为，半径为，的最大值为． 如图， 当时，最短，连接． ，．，． 在中，． 综上，的长的取值范围是故选B． 7.如图，是的弦，半径于点若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】，， ． 又， 在中，，故选A． 8.已知的半径为，是的弦，点在弦上．若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】如图，过点作于点，连接， 则， ，， ， ，， ， 在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，故选 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，的半径弦，垂足为，连接并延长交于点，连接，若，，则的长为          ． 【答案】  10.河南铅球项目正处于竞技成绩稳步提升与青训体系持续完善并行的发展阶段，展现出较强的后备力量和近期突破能力体育课上，某同学掷出的铅球在平整的沙地上砸出一个小坑，纵截面如图所示，，垂足为，交于点，，小坑深为，则该铅球的直径是          ． 【答案】  11.如图，中，，，，以为圆心，长为半径作圆，延长交圆于点，则的长为          ． 【答案】  【解析】 如图，过点作，垂足为，则， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 在中，由勾股定理得，即， ， 解得，即， ， ， ． 12.如图，点，，在半径为的上，，，垂足为，交于点，连接，则的长度为          ． 【答案】  【解析】如图，连接，，，，，，，，． 3、 解答题：本题共6小题，共64分。 13.本小题分 如图，在中，，． 尺规作图：作的外接圆不写作法，保留作图痕迹． 求中所作外接圆的半径． 【答案】(1)如图,O即为所求.  (2)如图,连接OC,由作图可知ADBC, AB=AC, CD=BC=8, AD===6, 设OA=OC=r,则OD=r-6, 在RtOCD中,由勾股定理得C+O=O, +=, 解得r=. 14.本小题分 如图，一艘货船想要通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度为，拱顶高出水面，货船宽，船舱顶部为矩形并高出水面． 求此圆弧形拱桥的半径． 此货船能顺利通过这座拱桥吗请说明理由参考数据： 【答案】(1)解:如图,连接OB. OCAB,D为AB的中点. AB=16m,BD=AB=8m. 由题意,得CD=4m.设OB=OC=rm, 则OD=(r-4)m.在RtBOD中, 根据勾股定理,得=+, 解得r=. 此圆弧形拱桥的半径为10m. (2)此货船不能顺利通过这座拱桥.理由如下: 如图,DE=3m,MN为经过点E的弦,且MNOC,连接ON, 则CE=4-3=1(m),OE=10-1=9(m). 在RtOEN中,由勾股定理, 得EN===(m), MN=2EN=2mm, 又m<12m. 此货船不能顺利通过这座拱桥. 15.本小题10分 如图，是的弦，半径，垂足为，且，，求的长． 【答案】解：如图，连接． ，，． 在中，，， ， ． 16.本小题分 如图，已知圆的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且为的中点． 求证： 若，求的长． 【答案】(1)解:证明:直径AB垂直于弦CD, CE=DE=CD,AEC=. F为弦AD的中点, OFAD,AF=DF=AD, AFO=CEO=. 又FOA=COE,OA=OC, OFAOEC(AAS), AF=CE,AD=CD, =. (2)如图,连接AC. CFAD,F为弦AD的中点, AC=CD. 又CD=AD, ACD为等边三角形, ACD=,OCE=. OC=AB=3, OE=OC=. 由勾股定理,得CE==, CD=2CE=3. 17.本小题分 如图，在中，点是的内心，延长与的外接圆交于点，连接，． 求证： 若，，求的长． 【答案】(1)证明:如图,连接BI. 点I是ABC的内心, AD平分BAC,BI平分ABC, BAD=CAD,ABI=CBI. BID=BAI+ABI,IBD=CBI+CBD=CBI+CAD, BID=IBD, ID=BD. (2)如图,过点D作DEBC,垂足为E. 由(1)得BAD=CAD, =, BD=CD. DEBC, BE=CE=BC=. BAC=, BAD=CAD=, DBC=BCD=, DE=BD. 由勾股定理,得B=+, 解得BD=2(负值舍去), ID=BD=. ​​​​​​​   18.本小题12分 如图，为的直径，是弦，且于点，连接，，． 求证：； 若，，求的直径． 【答案】(1)证明： ∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E， ∴， ∴∠BCD＝∠BAC. (2)解：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，CD＝8， ∴，  设⊙O的半径为r， ∵BE＝2， ∴OE＝r-2，  在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2， ∴r2＝(r-2)2+42，  解得r＝5， ∴⊙O的直径为10．  学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $