第13讲 反比例函数的应用问题 培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦反比例函数的应用，系统涵盖与一次函数、二次函数的图象综合判断，交点问题，综合应用及实际问题。从基础图象特征分析，到代数方程求解，再到实际情境建模，构建递进式学习支架。 资料题型分类清晰，方法技巧总结到位，例题与变式结合。通过图象判断培养几何直观（数学眼光），联立方程提升推理能力（数学思维），实际问题建模强化模型意识（数学语言）。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，巩固知识应用。

第13讲 反比例函数的应用问题 典 型 例 题 题型 一次函数与反比例函数图象综合判断 1 解题方法总结（3点） 1.定系数符号：根据图象位置判断k值正负（一次函数y=kx+b看直线升降、截距；反比例函数y=k/x看象限），快速排除矛盾选项。 2.找关键交点：利用函数交点横纵坐标相等列等式，或结合坐标轴交点（一次函数与x/y轴交点）验证数值合理性。 3.用特殊值验证：取x=1、x=-1等简单值，代入函数解析式判断对应y值是否与图象趋势一致，排除错误选项。 解题技巧总结（3点） 1.先看趋势再看细节：优先通过k值符号判断函数整体走向，再核对截距、象限等细节，避免陷入局部误区。 2.数形结合互推导：图象特征（如直线过原点、双曲线分布）转化为代数条件（b=0、k正负），反向验证是否匹配。 3.排除法高效解题：根据一个明显矛盾点（如k值符号冲突）快速排除错误选项，缩小范围后精准判断。 1 例 在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：若，则反比函数图象在第一、三象限，一次函数过第一、三、四象限； 若，则反比函数图象在第二、四象限，一次函数过第二、三、四象限，B选项符合；故选：B． 1-1 变式变式 函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交轴于负半轴，随着的增大而增大，A选项错误，C选项符合； 当时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交轴于正半轴，随着的增大而减小，B、D均错误； 故选：C． 1-2 变式变式 如图，在同一个平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C．D． 【答案】B 【详解】解：A.由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； B. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，故正确； C. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； D. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； 1-3 变式变式 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项B符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合．故选：B． 题型 二次函数与反比例函数图象综合判断 2 解题方法总结（3点） 1.抓系数符号关联：二次函数y=ax²+bx+c由开口方向定a，反比例函数y=k/x由象限定k，先锁定a、k正负，排除符号矛盾选项。 2.用特殊点验证：取x=±1等简单值，或二次函数顶点、与坐标轴交点，核对两函数对应y值是否与图象一致。 3.析图象趋势匹配：二次函数看对称轴、最值，反比例函数看增减性，确保同一区间内两函数变化趋势不冲突。 解题技巧总结（3点） 1.先定符号再辨细节：优先通过a、k符号快速筛除明显错误项，再聚焦截距、顶点位置等细节验证。 2.数形互译找关联：将图象特征（如二次函数开口向上、双曲线在二四象限）转化为代数条件（a>0、k<0）反向核对。 3.矛盾点快速破题：若某选项中a、k符号导致函数分布冲突，直接排除，无需逐一分析所有特征。 2 例 二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项A，B，C，D都不符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴， 反比例函数的图象在第二、四象限，故选项C符合题意．故选：C． 2-1 变式变式 反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向上，且与轴交于负半轴，故此选项错误； B、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项正确； C、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项错误； D、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误；故选：B． 2-2 变式变式 已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴，故选：A． 2-3 变式变式 一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴， ∵反比例函数的图象分布在第一、三象限，∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，∵对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴右侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意，故选：C． 题型 一次函数与反比例函数的交点问题 3 解题方法总结（3点） 1. 联立方程求解：将一次函数y=kx+b与反比例函数y=m/x联立，消去y得kx+b=m/x，整理为一元二次方程kx²+bx−m=0，解出x值再代回求y，得交点坐标。 2. 判别式定交点个数：通过联立后一元二次方程的判别式Δ=b²+4km判断，Δ>0有两个交点，Δ=0有一个交点，Δ<0无交点。 3. 利用图象辅助判断：结合两函数k值符号确定图象分布象限，初步判断交点可能所在象限，辅助验证计算结果。 解题技巧总结（3点） 1. 先判符号再计算：先由k、m符号确定两函数是否可能有交点，避免无效计算。 2. 整体代入简化运算：联立后方程可提取公因式或整体代入已知条件，减少复杂计算。 3. 借助对称性快速校验：反比例函数图象关于原点对称，若一个交点为(x,y)，则另一个为(−x,−y)，可快速校验结果。 3 例 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由图象可知，满足不等式的的取值范围是或，故选：． 3-1 变式变式 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入中，得：， 将代入中，得：，故选：C． 3-2 变式变式 已知直线与双曲线只有一个交点，将直线向上平移个单位后与双曲线相交于，两点，如图，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解方程，化为整式方程， 直线与双曲线只有一个交点，，解得：，， 直线向上平移个单位后解析式为，解方程组， 解得：，，，，故选：A． 3-3 变式变式 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，下列说法正确的有(    ) ①A和点B关于原点对称；②当时，；③； ④当时，都随x的增大而增大． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①联立，解得或，∴， ∴A、B不关于原点对称，故①错误； ②由图象可知，当或时， ，故②错误； ③∵， ，∴，故③正确； ④当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，故④错误； 故选：A． 题型 一次函数与反比例函数的其他综合应用 4 解题方法总结（3点） 1.建模转化问题：根据实际场景（如行程、利润）列出一次函数与反比例函数解析式，明确变量含义与取值范围。 2.结合图象分析：画出两函数图象，通过图象位置、区间增减性，解决取值范围、最值等问题。 3.联立方程求临界：关键节点（如相等、最值）通过联立方程求解，结合定义域验证结果合理性。 解题技巧总结（3点） 1.先定函数表达式：利用题干条件（如过定点、数量关系）快速求出解析式，减少后续计算误差。 2.抓区间边界与交点：重点关注两函数交点、自变量取值边界，以此为突破口分析问题。 3.数形结合避陷阱：通过图象直观判断函数增减趋势，避免仅靠代数计算忽略定义域等陷阱。 4 例 如图，直线与轴交于，与双曲线交于．将直线平移，与轴交于，与双曲线交于． (1)求双曲线的解析式． (2)当时，求点C，D的坐标． 【答案】(1)双曲线的解析式为(2)， 【详解】（1）解：将代入直线的解析式中，得．解得． 将代入双曲线的解析式中，得．双曲线的解析式为． （2）解：作轴于轴于． 则．． ，，．． 由题意，，．由，得．； 设直线为，则．，直线为． 由，得．． 4-1 变式变式 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求直线的表达式； (2)将直线沿轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点，若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，，． 点．把点代入， 得：，． 直线的表达式为：． （2） 记平移后的直线与轴的交点为，则， （3） 连接，．． 即：．． 4-2 变式变式 已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)①；②不等式的解集为或． 【详解】（1）解：直线过点，， 将代入中，得，反比例函数的解析式为； （2）解：①由（1）知，反比例函数的解析式为，点，在的图象上， ，，，由平移得，平移后直线的解析式为， 将代入中，得，；直线的解析式为， 令，得，， ； ②∵，，∴不等式的解集为或． 4-3 变式变式 直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12，若点在点的左侧，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)12 (3) 【详解】（1）解：∵直线过点，∴，∴， ∴一次函数表达式为．∵反比例函数过点，∴，∴， ∴反比例函数表达式为． （2）解：在一次函数中，时，，∴，即， 解方程组得，经检验均是方程组的解， ∴，∴． （3）解：设，连接并延长交y轴于点N， ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， ∵直线过点，∴，解得：， ∴直线表达式为，∴当， ∴，即，∵， ∴，整理得：， 解得：或（不合题意，舍去），经检验，是原方程的解，∴． 题型 一次函数与反比例函数的实际应用 5 解题方法总结（3点） 1.审题建模：提取实际场景中变量关系（如路程-速度、工作量-效率），判断函数类型，列出一次函数y=kx+b或反比例函数y=k/x解析式。 2.求解析式：利用题干数据（如已知点、数量关系）代入函数，求解k、b值，明确自变量取值范围（需符合实际意义）。 3.代入求解：根据问题需求（如求特定值、比较大小），将条件代入解析式计算，或结合图象分析区间内的结果。 解题技巧总结（3点） 1.抓关键词定函数：“匀速”“线性增长”对应一次函数，“乘积为定值”（如路程固定）对应反比例函数，快速锁定模型。 2.优先求参数：先通过已知条件求出k、b，再解决后续问题，避免逻辑混乱。 3.验证实际意义：计算结果需结合定义域（如时间、数量为正）检验，排除不符合实际的解。 5 例 某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)3 (2)深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式 (3)消毒有效 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【详解】（1）解：根据图象知，当10分钟时，效力为3，故答案为：3． （2） 解：当时，设直线的函数关系式为，结合和， 利用根据题意，得，解得，所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时，设反比例函数的解析式为，故，解得，故． （3）解：根据解析式为，，当时，； 当时，；持续时长为．故本次消毒有效． 5-1 变式变式 为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【详解】（1）解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：，燃烧时的函数关系式为； （2）解：设燃烧后函数解析式为，由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3）解：由题意得： 解得：，（分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 5-2 变式变式 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为，故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上，，解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，，解得：， 在降温过程中，水温为时，，解得：，， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 5-3 变式变式 某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】(1)20摄氏度 (2) (3) 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得，解得，直线，当时，， 恒定温度为：； （2）由（1）可知：一次函数解析式为，根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：，根据题意，可得方程：，， 函数解析式为：，小时函数解析式为：； （3）解：当时，，，，故最多关闭． 题型 实际问题与反比例函数 6 解题方法总结（3点） 1. 审题定关系：识别实际场景中“乘积为定值”的量（如路程=速度×时间、总价=单价×数量），确定反比例函数模型y=k/x（k≠0）。 2. 求函数解析式：利用题干已知数据（如一组对应量）代入，求出比例系数k，明确自变量的实际取值范围（正数为主）。 3. 代入解问题：根据所求目标，将已知量代入解析式计算，或结合实际需求分析函数增减性，得出结果。 解题技巧总结（3点） 1. 抓“定值”快速建模：看到“不变”“固定”等关键词，直接锁定反比例函数，避免混淆函数类型。 2. 验证k的意义：求出k后，结合实际场景确认其含义（如k为路程、总价），确保解析式正确。 3. 结合实际验解：结果需符合实际（如人数、长度为正），同时注意自变量取值边界，排除无效解。 6 例 光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为的室内生长，那么智能玻璃的透明度应控制在什么范围内？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 把代入得，．与之间的函数表达式为； （2）解：智能玻璃的透明度应控制在范围内， 理由如下：把和别代入得， 且在第一象限随的增大而减小，智能玻璃的透明度应控制在范围内． 6-1 变式变式 “杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体重量的简易衡器、由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成，人们可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤盘中物体的重量．小华仿照古人制作秤的方法制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值； (3)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 【答案】(1) (2)弹簧秤的示数的最小值为 (3) 【详解】（1）解：∵弹簧秤的示数是的反比例函数，∴设关于的函数表达式为， ∵当时，，∴，解得：，∴关于的函数表达式为． （2）解：∵关于的函数表达式为，， ∴随的增大而减小，∵当弹簧秤位于木杆最右端时，的值最大，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为．∴弹簧秤的示数的最小值为． （3）解：把代入得：，解得：，∴，∵， ∴的取值范围为． 6-2 变式变式 小明用定值电阻探究电压不变时电路中的电流强度I（单位：A）和电阻R（单位：）的数量关系．通过滑动电阻保持电阻R两端电压恒定，把不同阻值的电阻R接入电路，观察电流表中的数据，得到如表的数据： 20 30 40 50 60 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)请写出适当的函数表达式表示变量I与变量R的数量关系． (2)当电阻的阻值为时，电路中的电流强度为，若要使得该电路中的电流强度增大为原来的3倍，接入电路的电阻阻值应该怎样变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)电阻阻值缩小为原来的，理由见解析 【详解】（1）根据表格数据的关系，可得R与I的乘积不变，始终等于12． 设，∴，∴． （2）电阻阻值缩小为原来的，理由如下：当时，；∵，∴ 6-3 变式变式 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： … 10 16 20 25 40 50 … … 8 5 4 3.2 2 1.6 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)满足条件的点的坐标为或 【详解】（1）解：如图， （2）解：将代入得，，函数的解析式为； （3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点， 设，如图，连接， ， ，，解得， 经检验是原方程的根，当时，， ，当时，，， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 课 后 练 习 1 练 关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴当时，直线过一，三，四象限，双曲线过一，三象限；当时，直线过一，二，四象限，双曲线过二，四象限， A.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故符合题意； B.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； C.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； D.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意；故符号题意的只有选项A；故选A． 2 练 反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的交点关于原点中心对称， ∴反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为， ∴当或时，．故选：． 3 练 已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，，∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴，∴，∴反比例函数的图象经过一、三象限，∴选项A符合题意， 故选：A． 4 练 某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意．故选：D． 5 练 已知函数的图象如图所示．给出下列结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时，； ③； ④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小． 其中，正确的是（   ）． A．①② B．② C．①④ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：由题意可得，，解得，，将代入，得， ∴两函数图象的交点A的坐标为，故①正确；由图象可知，当时，，故②错误； 将代入得，，将代入得，，∴，故③正确； 由图象可知，当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小，故④正确；故选：D． 6 练 兰州牛肉拉面是兰州的特色美食，已知当拉面的体积一定时，拉面的横截面积与拉面的长度成反比例关系，且当时，．则与()的函数关系式为 ． 【答案】 【详解】解：因为与成反比例关系，所以有 ，即 ， 解得．故 ．故答案为： 7 练 为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    【答案】12 【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；，∴，∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；，∴，∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：，把代入，得：，∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟，故答案为：12． 8 练 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【详解】解：由图象可知，不等式的解集为：或．故答案为：或． 9 练 某公园“水上滑梯”的侧面示意图如图所示，其中段可看成一段双曲线，表示水面．其中，入口，且，出口点距水面的距离为1m，则之间的水平距离的长度为 m． 【答案】8 【详解】解：由题意得：四边形是矩形，∵四边形是矩形，∴，， ∴点坐标为，设双曲线的解析式为，∴，∴， ∵∴当时，，∴，∴，故答案为：． 10 练 如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为 ． 【答案】5 【详解】解：直线分别交轴、轴于点、，则， 设点坐标为，∵点分别是直线与的交点，当时，， ，当时，，，，，， 则，解得，，，，故答案为：5． 11 练 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，与 轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2)4 【详解】（1）解：将，代入，得 ，解得 ：， ∴一次函数的表达式为：；将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为 ：； （2）解：∵，∴， 联立 ，得 ：，，，， ∴或，当时，；当时，；∴点 的坐标为， ∴． 12 练 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)20 【详解】（1）解：将代入得，∴，∴， ∵点与关于原点对称，∴；故答案为：； （2）解：将代入得，即反比例函数解析式为：， 由图象知，当或时，，故答案为：或； （3）解：作于， ∵，∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形，∴， ∴菱形的面积为． 13 练 如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点B，过点B作轴于点C，且C点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，时，求x的范围． (3)点是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点P的坐标为． 【详解】（1）解：∵轴于点C，且C点的坐标为， ∴把代入中，，∴点B的坐标为， 又∵点在反比例函数上，∴，∴反比例函数的解析式为：； （2）解：由图象知，当时，时，x的范围为； （3）解：作点D关于x的轴的对称点，连接，直线与x轴的交点即为所求点P， ∴，∴， ∴最小值为的长， 将点代入，得：，∴点， 则点关于x轴的对称点为， 设过、的直线解析式为：， 可得，解得，∴直线的解析式为：， 令，则，解得：，故点P的坐标为． 14 练 某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得，∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得，“危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 15 练 如图，反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数交于另一点C，若y轴上有一点M，使的面积为12，求点M的坐标； (3)请结合图像回答，x为___________时，； (4)在x轴上有一点N， 若满足最大， 则点N的坐标为：___________． 若满足最小， 则点N的坐标为___________； 若满足最小，则点N的坐标为___________． 【答案】(1)， (2)M点坐标或 (3) 或 (4)，， 反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点，，则反比例函数解析式为，，即B， 将A和B代入中，得：，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：直线与反比例函数交于另一点C，且A， C， 点M在 y轴上，设点M坐标为，的面积为12，， 解得或， M点坐标为或； （3）解：反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点，结合函数图象可知，x为 或 时，； 故答案为： 或 ； （4）解：，当三点共线时，最大， ，当时，，若满足最大， 则点N的坐标为； 设点N坐标为， A，B，，， 要满足最小，且，即， ，，，解得， 若满足最小， 则点N的坐标为； 作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， ，， 当三点共线时，最小，即满足最小， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为，当时，， 即若满足最小，则N的坐标为． 故答案为：，，． 16 练 【跨学科】某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为． 根据I与R之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 q 6 … … 4 p 2.4 2 1.5 … (1)填空： ____________，____________； (2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质； (3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 【答案】(1)3，4； (2)作图见详解，电流随可变电阻R的增大而减小； (3)电子体重秤可称的最大质量为101千克． 【详解】（1）解：已知电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为， 当时，，即， 当时，，，即， 故答案为：3，4； （2）根据题意： … 1 2 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 1.5 … 根据表格数据在平面直角坐标系描点作图如下： 由图可知：电流随可变电阻R的增大而减小； （3）解：根据题意，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，且该直线过，，解得：， 可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为：， 可变电阻R随人的质量m增大而减小，当时，，； 当时，，，，m不能超过； 当时，，解得：，，解得：， 电子体重秤可称的最大质量为101千克． 1 学科网（北京）股份有限公司 $