专题02 有理数运算技巧的专项训练（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数运算11类核心技巧，以题型为载体系统提炼凑整、裂项等方法，构建从基础到进阶的解题逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |11类题型|每题型含1典例+多变式（浙江各地试题）|各类技巧步骤化呈现（如凑整法“乘除小整数凑整”，裂项相消法“拆项抵消”）|从数的转化（分数与小数）到运算律应用（分配律逆用），再到高阶技巧（错位相减），形成递进式知识网络|

专题02 有理数运算技巧的专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 凑整法 题型02 同号/同分母归类法 题型03 相互转化法 题型04 拆项法 题型05 乘法分配律及其逆用 题型06 倒数法 题型07 裂项相消法 题型08 k进制与十进制的相互转化 题型09 数形结合法 题型10 倒叙相加法 题型11 错位相减法 ▌题型01 凑整法 “凑整法”是一种常见的运算技巧，通过乘以或除以一个较小的正整数，利用乘法结合律，将其凑成整十、整百、整千……的数，从而把复杂的计算题变得简单. 【典例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）用简便方法计算下面两题： (1)； (2) 【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·阶段检测）如图是老师写在黑板上的一道例题． 计算： ……步骤① ……步骤② (1)步骤①的运算依据是________，步骤②的运算依据是________；（以上两空均填“加法交换律”或“加法结合律”） (2)请仿照例题的计算方法，将算式“”进行简便计算． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）速等式计算（能简便的可简便计算） (1)； (2)． ▌题型02 同号/同分母归类法 ① 先把有理数加减混合运算统一改写为省略加号的代数和； ② 观察式子，优先分组：正数一组、负数一组；同分母 / 易通分分数一组； ③ 各组分别求和，最后合并各组结果； ⚠️ 易错提醒：移动项时必须连带数字前面的符号一起搬迁。 【典例2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 【变式1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式3】（25-26七年级上·浙江衢州 期末）计算： (1)； (2)． 【变式4】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） (第三步) (第四步) 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用了加法的______律、______律； (2)请指出她从第______步开始出现错误； (3)请你写出正确的解题过程． ▌题型03 相互转化法 根据算式特点，将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算。 【典例3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) ▌题型04 拆项法 把式子中的某一项拆成两个数（式）的和或差，使得相邻项能够相互抵消，简化运算。 【典例4】（24-25七年级上·浙江金华 测试）阅读材料． 对于可以按如下方式计算： 原式 ________ ________ ________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)仿照上面的方法计算：． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． ▌题型05 乘法分配律及其逆用 1）应用分配律简化运算：把算式中接近某个整数的乘数拆成两个数的和或差，再用分配律进行计算 2）逆用分配律简化运算：. 【典例5】（22-23七年级上·浙江台州·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． ▌题型06 倒数法 【典例6】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）阅读下列材料： 在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1：用分别除以，，，再把所得结果相加． 思路2：先求出，，的和，再用除以这个和． 思路3：先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路_____． (2)请选择一种正确的思路计算：． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）阅读下列解题过程： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：因为， 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）阅读以下题目解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得到原式的值． 解：先求原式的倒数． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算： ▌题型07 裂项相消法 【典例7】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）观察下列等式． (1)猜想并写出______； (2)直接写出结果______； (3)探究并计算：； (4)计算：． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数学活动课上，老师列出了如下式子： (1)第5个式子为_____，第n个式子为______． (2)利用（1）中规律计算． (3)拓展：计算． (4)延伸：计算． 【变式2】（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 【变式3】（21-22七年级上·浙江金华·期中）我们知道：；；；…，反过来，可得：；；；…，各式相加，可得：． 根据上面的规律，解答下列问题： (1)___________； (2)计算：； (3)计算：． ▌题型08 k进制与十进制的相互转化 【典例8】（24-25七年级上·浙江金华·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 如十进制数3512可以表示成式子： ． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以把二进制数转化为十进制数．根据上述材料，解答下列问题： 【理解】 （1）填空：____________． （2）一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【迁移】把十进制数25转化为二进制数． 【创新】把二进制数转化为八进制数． 【变式1】（22-23七年级上·浙江温州·期中）远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如：，左边的表示，中间的表示，右边的表示1个单位，用十进制写出来是7381．若楔形文字记数，表示十进制的数为（    ） A．4203 B．3603 C．3723 D．4403 【变式2】（24-25七年级上·吉林·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统． 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说∶“ 逢几进一” 就是几进制，几进制的基数为几． 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，十进制是用这十个数来表示数，满十进一， 例∶， 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进． 例∶二进制转换为十进制数， 古代人在研究历法时，也曾经采用七进制、十二进制计数法，至今，我们仍然使用一星期7天，一年个月的方法． 例∶七进制是用 两个数来表示数，满七进一，七进制转换为十进制数． 其他进制也有类似的算法…，根据以上信息，解答下列问题． (1)求二进制转换为十进制数． (2)八进制转换为十进制数是 ． (3)若，则 ． (4)远古美索不达米亚人创造了一套进制为主的楔形文记数系统，对于大于的数，美索不达米亚人采用六十进制的位置记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如∶“ ”左边的Y表示；中间的YY表示；右边的表示3个单位，用十进制写出来是，则楔形文记数“ ”表示十进制的数为多少？（直接写出答案） 【变式3】（2026·浙江·一模）综合与实践： 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）：． 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法， 例如，将十进制数转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得． 此方法可推广为把十进制数转换为进制数的算法（除取余法）． 根据上述材料解答下列问题： (1)二进制数对应的十进制数是______，十进制数对应的二进制数为______． (2)中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用，，，，，，，，，，，来计数．其中代表，代表．请结合以上材料计算十进制数对应的十二进制数为______． (3)有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数后，再按以下规则获得密码：当为奇数时，破解公式为，当为偶数时，破解公式为．则破解二进制明码表示的密码为______． ▌题型09 数形结合法 【典例9】（2023七年级上·浙江·专题练习）找规律，完成下列各题：    (1)如图①，把正方形看作，　　． (2)如图②，把正方形看作，　　． (3)如图③，把正方形看作，　　　　． (4)计算：　　． (5)计算：　　． 【变式1】（20-21七年级上·浙江金华·期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36． 用此方法，可求得1+2+3+…+20=　 　（直接写结果）． （2）观查下面的点阵图（如图3），解答问题： 填空：①1+3+5+…+49=　 　； ②1+3+5…+（2n+1）=　 　． （3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）． ▌题型10 倒叙相加法 【典例10】（22-23七年级上·浙江衢州·期中）【材料阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程： 解：设，① 则．② ①＋②，得（即左右两边分别相加）： ． 所以，． 所以，． 后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： (1)计算：_________； (2)猜想：__________并利用“倒序相加法”说明理由． (3)利用（2）中的结论，计开：． 【变式1】（26-27七年级上·浙江台州 期中）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； ▌题型11 错位相减法 【典例11】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， 得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)； (3)求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数运算技巧的专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 凑整法 题型02 同号/同分母归类法 题型03 相互转化法 题型04 拆项法 题型05 乘法分配律及其逆用 题型06 倒数法 题型07 裂项相消法 题型08 k进制与十进制的相互转化 题型09 数形结合法 题型10 倒叙相加法 题型11 错位相减法 ▌题型01 凑整法 “凑整法”是一种常见的运算技巧，通过乘以或除以一个较小的正整数，利用乘法结合律，将其凑成整十、整百、整千……的数，从而把复杂的计算题变得简单. 【典例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）用简便方法计算下面两题： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法运算律，乘法分配律，熟练掌握有理数加法运算律，乘法分配律是解题关键． （1）利用有理数乘法分配律计算即可； （2）利用有理数加法运算律计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·阶段检测）如图是老师写在黑板上的一道例题． 计算： ……步骤① ……步骤② (1)步骤①的运算依据是________，步骤②的运算依据是________；（以上两空均填“加法交换律”或“加法结合律”） (2)请仿照例题的计算方法，将算式“”进行简便计算． 【答案】(1)加法的交换律；加法结合律 (2) 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，熟练的使用运算律是解本题的关键； （1）根据加法的交换律与结合律可得答案； （2）先使用交换律把原式化为：，再利用结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：     利用的是加法的交换律，   利用加法结合律； （2）解： ； 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）速等式计算（能简便的可简便计算） (1)； (2)． 【答案】(1) (2)91 【分析】本题主要考查了有理数的简便运算，灵活运用有理数的运算律成为解题的关键． （1）先取括号，然后再运用加法交换律即可解答； （2）先把小数化成分数、然后再化除为乘，然后再运用乘法结合律即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ▌题型02 同号/同分母归类法 ① 先把有理数加减混合运算统一改写为省略加号的代数和； ② 观察式子，优先分组：正数一组、负数一组；同分母 / 易通分分数一组； ③ 各组分别求和，最后合并各组结果； ⚠️ 易错提醒：移动项时必须连带数字前面的符号一起搬迁。 【典例2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先将减法转化为加法，再利用有理数的加法法则计算即可； （2）先将小数化为带分数，再所有的带分数进行拆分，紧接着将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级上·浙江衢州 期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． 【变式4】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） (第三步) (第四步) 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用了加法的______律、______律； (2)请指出她从第______步开始出现错误； (3)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)交换；结合 (2)三 (3) 原式 ． 【分析】本题主要查了有理数的加减混合运算： （1）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解； （2）根据有理数加法法则解答，即可求解； （3）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解． 【详解】（1）解：小敏在进行第二步计算时，运用了加法的交换律、结合律； 故答案为：交换；结合． （2）解：她从第三步开始出现错误； 故答案为：三． （3）略 ▌题型03 相互转化法 根据算式特点，将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算。 【典例3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)80 (2)112 (3)45 (4)750 (5)75 (6)0.4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则运算顺序． （1）先计算乘除，再计算加法； （2）将除法化为乘法，并利用结合律求解； （3）利用交换律和结合律进行简便计算； （4）先将原式变形，再利用结合律进行乘法计算； （5）先将百分数和分数化为小数，再逆用乘法分配律计算； （6）先计算小括号内加法，再计算中括号内除法，最后计算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： （6）解： 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)580； (2)2000； (3)； (4)； (5)57； (6)． 【分析】本题考查有理数四则混合运算，关键是运用运算定律（乘法交换律、结合律、分配律，减法性质等）和运算顺序简算． （1）按有理数的四则混合运算顺序，先除法后加减运算即可求解； （2）用乘法交换律、结合律，拆分后计算； （3）用减法性质，利用加法结合律进行计算； （4）除法转化为乘法，用乘法分配律逆运算计算； （5）用乘法分配律计算； （6）百分数化小数，按有括号的运算顺序，小括号内用乘法交换律计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)19 (6)73 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将除法转化为乘法，再算括号里的，最后计算乘法即可； （2）先将小数化为分数，再计算乘法即可； （3）先将除法化为乘法，再根据乘法计算，最后计算减法即可； （4）先将小数化为分数，再将除法化为乘法，根据乘法结合律计算即可； （5）先计算括号里的，再计算除法即可； （6）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． ▌题型04 拆项法 把式子中的某一项拆成两个数（式）的和或差，使得相邻项能够相互抵消，简化运算。 【典例4】（24-25七年级上·浙江金华 测试）阅读材料． 对于可以按如下方式计算： 原式 ________ ________ ________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)仿照上面的方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）原式 ． （2） ． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用题目提供的方法计算即可，正确理解题干提供的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确理解题意、掌握解答的方法是关键； （1）根据有理数的加法作答即可； （2）按照题干中的拆项法结合有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：可将拆为，拆为； 故答案为：，； （2）解： ． ▌题型05 乘法分配律及其逆用 1）应用分配律简化运算：把算式中接近某个整数的乘数拆成两个数的和或差，再用分配律进行计算 2）逆用分配律简化运算：. 【典例5】（22-23七年级上·浙江台州·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，熟练的利用乘法分配律进行简便运算是解本题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查有理数的乘法运算律： （1）仿照第一位同学的解法解答； （2）仿照第二位同学的解法解答． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． ▌题型06 倒数法 【典例6】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）阅读下列材料： 在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1：用分别除以，，，再把所得结果相加． 思路2：先求出，，的和，再用除以这个和． 思路3：先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路_____． (2)请选择一种正确的思路计算：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的除法法则、分配律的适用范围及倒数的应用，解题的关键是明确“除法不满足分配律（即）”，并能利用“除以一个数等于乘它的倒数”结合分配律简化计算． （1）判断思路正误：根据除法法则，分配律仅适用于乘法（），除法不满足此规律，故思路1错误；思路2（先算括号内和再除）、思路3（先算倒数的除法再求倒数）均符合法则，正确；   （2）计算时选择思路3更简便：先计算括号内的式子除以（即乘，利用分配律简化分数运算），再求结果的倒数，避免直接通分的复杂计算． 【详解】（1）解：∵有理数除法不满足分配律，即；   思路1将拆分为，违背除法法则；   思路2先算括号内和再相除、思路3先算倒数的除法再求倒数，均符合除法法则，正确．   思路3：先算，再求所得结果的倒数，正确．   故答案为：1． （2）解：选择思路2计算： . 选择思路3计算: ∵原算式是上述结果的倒数，   ∴ 答：结果为． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）阅读下列解题过程： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：因为， 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，乘法分配律，仿照例题计算原式的倒数，即可得到答案． 【详解】解： ， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）阅读以下题目解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得到原式的值． 解：先求原式的倒数． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，理解材料所给的方法是解题的关键． 仿照材料中的方法，利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得到原式的值． 【详解】解：先求原式的倒数， ， 所以原式． ▌题型07 裂项相消法 【典例7】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）观察下列等式． (1)猜想并写出______； (2)直接写出结果______； (3)探究并计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查探究数字规律．抽象概括出数字规律，利用规律进行计算，是解题的关键． （1）观察题目给出的等式：可得分子为1，分母为两个相邻整数的乘积的分数可化为这两个整数的倒数之差，即可得解； （2）根据规律把各分数转化，再进行分数的加减运算即可； （3）先提取，然后按照前面的运算方法计算即可； （4）先提取，然后按照前面的方法计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数学活动课上，老师列出了如下式子： (1)第5个式子为_____，第n个式子为______． (2)利用（1）中规律计算． (3)拓展：计算． (4)延伸：计算． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧． （1）根据题意写出答案即可； （2）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可； （3）把各个算式写成乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数，进行简便计算即可； （4）把各个加数的分母计算后都乘以，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算即可． 【详解】（1）解：第5个式子为，第n个式子为． 故答案为：， （2）∵，，，， ∴ ； （3）解： ； （4）解：∵，； ，； ，； …… ， ． 【变式2】（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）利用裂项法解答即可求解； （）把算式转化为，再利用裂项法解答即可求解； （）用裂项的方法变形为，进而计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （） ； （） ． 【变式3】（21-22七年级上·浙江金华·期中）我们知道：；；；…，反过来，可得：；；；…，各式相加，可得：． 根据上面的规律，解答下列问题： (1)___________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据规律，裂项相减即可求解； （2）每项提出，然后根据规律，裂项相减即可求解； （3）每项提出，然后根据规律，裂项相减即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，有理数的乘法运算，根据题意，找到规律是解题的关键． ▌题型08 k进制与十进制的相互转化 【典例8】（24-25七年级上·浙江金华·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 如十进制数3512可以表示成式子： ． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以把二进制数转化为十进制数．根据上述材料，解答下列问题： 【理解】 （1）填空：____________． （2）一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【迁移】把十进制数25转化为二进制数． 【创新】把二进制数转化为八进制数． 【答案】[理解]（1）2，1，11；（2）D；[迁移] ；[创新] 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制、八进制、十进制数的定义以及核算方法是正确解答的关键． [理解]（1）根据二进制与十进制的核算方法进行计算即可； （2）根据二进制的定义以及与十进制的核算方法进行计算即可； [迁移]将25写成即可得出答案； [创新]先将二进制数转化为十进制数为89，再将十进制数89写出即可． 【详解】[理解]（1）解：， 故答案为：2，1，11； （2）解：一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数最小为，最大为， ∴一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是， 故选：D； [迁移]解：， ∴十进制数25转化为二进制数为； [创新]解：二进制数转化为十进制数为， 而， ∴十进制89写成8进制为， 即二进制数转化为八进制数为． 【变式1】（22-23七年级上·浙江温州·期中）远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如：，左边的表示，中间的表示，右边的表示1个单位，用十进制写出来是7381．若楔形文字记数，表示十进制的数为（    ） A．4203 B．3603 C．3723 D．4403 【答案】A 【分析】 根据题意，可以将楔形文字记数，表示十进制的数，然后列出算式，再计算出结果即可． 【详解】解：由题意可得， 楔形文字记数，表示十进制的数为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法以及六十进制的位值记法． 【变式2】（24-25七年级上·吉林·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统． 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说∶“ 逢几进一” 就是几进制，几进制的基数为几． 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，十进制是用这十个数来表示数，满十进一， 例∶， 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进． 例∶二进制转换为十进制数， 古代人在研究历法时，也曾经采用七进制、十二进制计数法，至今，我们仍然使用一星期7天，一年个月的方法． 例∶七进制是用 两个数来表示数，满七进一，七进制转换为十进制数． 其他进制也有类似的算法…，根据以上信息，解答下列问题． (1)求二进制转换为十进制数． (2)八进制转换为十进制数是 ． (3)若，则 ． (4)远古美索不达米亚人创造了一套进制为主的楔形文记数系统，对于大于的数，美索不达米亚人采用六十进制的位置记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如∶“ ”左边的Y表示；中间的YY表示；右边的表示3个单位，用十进制写出来是，则楔形文记数“ ”表示十进制的数为多少？（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4)； 【分析】本题考查新运算及有理数的混合运算， （1）根据二进制新定义直接列式计算即可得到答案； （2）根据八进制新定义直接列式计算即可得到答案； （3）根据二进制新定义满2进1计算即可得到答案； （4）根据新定义直接列式计算即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ， 故答案为：； （3）解：由题意可得， ， ∵， ∴， 故答案为：； （4）解：由题意可得， ． 【变式3】（2026·浙江·一模）综合与实践： 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）：． 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法， 例如，将十进制数转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得． 此方法可推广为把十进制数转换为进制数的算法（除取余法）． 根据上述材料解答下列问题： (1)二进制数对应的十进制数是______，十进制数对应的二进制数为______． (2)中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用，，，，，，，，，，，来计数．其中代表，代表．请结合以上材料计算十进制数对应的十二进制数为______． (3)有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数后，再按以下规则获得密码：当为奇数时，破解公式为，当为偶数时，破解公式为．则破解二进制明码表示的密码为______． 【答案】(1)5，； (2)； (3)． 【分析】（1）结合题中所给转换方法进行计算即可； （2）根据题中所给计算方法进行计算即可； （3）先将二进制数转化为十进制数，再按获得密码的规则进行计算即可 【详解】（1）解：． 由题可得 十进制数对应的二进制数为． （2）解：由题可得 十进制数982对应的十二进制数为． （3）解：由题可得 为奇数时， 破解公式为． ▌题型09 数形结合法 【典例9】（2023七年级上·浙江·专题练习）找规律，完成下列各题：    (1)如图①，把正方形看作，　　． (2)如图②，把正方形看作，　　． (3)如图③，把正方形看作，　　　　． (4)计算：　　． (5)计算：　　． 【答案】(1) (2) (3)， (4) (5) 【分析】（1）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解； （3）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解； （4）根据（1），（2），（3）的运算规律，有理数的加减混合运算法则即可求解； （5）根据（1），（2），（3）的运算规律，有理数的加减混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：如图①，把正方形看作把正方形看作，， 故答案为：． （2）解：如图②，把正方形看作把正方形看作，， 故答案为：． （3）解：如图③，把正方形看把正方形看作，， 故答案为：，． （4）解：， 故答案为：． （5）解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形规律，有理数的混合运算的综合，理解图示规律，掌握有理数的混合方法是解题的关键． 【变式1】（20-21七年级上·浙江金华·期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36． 用此方法，可求得1+2+3+…+20=　 　（直接写结果）． （2）观查下面的点阵图（如图3），解答问题： 填空：①1+3+5+…+49=　 　； ②1+3+5…+（2n+1）=　 　． （3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）． 【答案】（1）210；（2）①625；②(n+1)2；（3）图见解析， 【分析】（1）利用题干中所给方法解答即可； （2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，3个数时和为9=32，•••n个数时和为n2，由此可得①为25个数，和为252=625；②为（n+1）个数，和为(n+1)2； （3）按要求画出示意图，依据图形写出计算结果． 【详解】解：（1）1+2+3+•••+20=（1+20）×20=21×10=210； 故答案为：210； （2）由点阵图可知：一个数时和为1=12， 2个数时和为4=22， 3个数时和为9=32， •••， n个数时和为n2． ①∵1+3+5+…+49中有25个数， ∴1+3+5+…+49=252=625． ②∵1+3+5…+（2n+1）中有(n+1)个数， ∴1+3+5…+（2n+1）=(n+1)2． 故答案为：625；(n+1)2； （3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1， 第一次将正方形分割为和两部分， 第二次将正方形的分割为和两部分， •••，以此类推， 第2020次分割后，剩余的面积为， 那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是： ， ∴， 左右两边同除以2得： ． ∴原式． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，有理数的混合运算，数形结合的思想方法．前两小题考查学生数与形相结合，难度不大，仔细观查规律，即可求解，第三小题对学生构建数与形的要求较高，考查学生的发散性思维． ▌题型10 倒叙相加法 【典例10】（22-23七年级上·浙江衢州·期中）【材料阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程： 解：设，① 则．② ①＋②，得（即左右两边分别相加）： ． 所以，． 所以，． 后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： (1)计算：_________； (2)猜想：__________并利用“倒序相加法”说明理由． (3)利用（2）中的结论，计开：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的例子，可以写出猜想的结果； （3）根据（2）中结论即可得到结果． 【详解】（1）解：设① 则② ①+②，． 所以，， 所以，， 故答案为：； （2）解：解：设① 则② ①+②，． 猜想：， 故答案为：； （3）解：． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． 【变式1】（26-27七年级上·浙江台州 期中）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． ▌题型11 错位相减法 【典例11】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给的错位相减法进行求解即可． 【详解】解：设①， 将等式两边同时乘以6得：②， 再将得：， 即． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． （1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以a，再错位相减求解 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）设， 则②， 得：， 所以， 即． （3）解：设①， 则②， ②−①得：， 所以， 即． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘方的应用，掌握“错位相减法”是解题关键． （1）仿造例题，设，则，作差求解即可； （2）仿造例题，设，则，作差求解即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② 得，则． （2）解：设，① 则，② 得， 则． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， 得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以，再错位相减求解； （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）解：设， 则， 得：， 所以； 即； （3）设， 则3S=3+32+33+34+35+…+32023②， 得：， 所以， 即． 【点睛】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 有理数运算技巧的专项训练 (题型突破举一反三) 题型01凑整法 典例精析 【典例1】 【答案】(1)-8 (2)-0.5 举一反三 【变式1】 【答案】(1加法的交换律：加法结合律 (2)-20 【变式2】 【答案】19 (2)91 题型02同号/同分母归类法 三典例精析 【典例2】 > 【答案】(14 (2)-44 (3)-1 举一反三 【变式11 【答案】(1)0 (2)-20 1/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)-42 (4)-1.4 【变式2】 【答案】(1)1 (2)-4 【变式3】 【答案】(1)-7 5 21 【变式4】 【答案】(1)交换；结合 (2 (3) 4 42 =-6+6 =0 题型03相互转化法 E 典例精析 【典例3】 【答案】(1)80 (2)112 (3)45 (4)750 (5)75 (6)0.4 举一反三 【变式1】 【答案】(1580： 2/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)2000: (3)11.2: 1 4)7: (5)57: (6)0.3 【变式2】 【答案】(115 1 210 号 44 (5)19 (6)73 题型04拆项法 典例精析 【典例4】 【答案】(1) 28 举一反三 【变式1】 7 【答案】12 【变式2】 3/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2-173 4 题型05乘法分配律及基逆用 E 典例精析 【典例5】 【答案】(1)-588 (2)-2023 举一反三 【变式1】 【答案】(1)-1470 (2)2025 题型06倒数法 E 典例精析 【典例6】 【答案】(1)1 25 举一反三 【变式2】 1 (答案】16 【变式3】 【答案】37 题型07裂项相消法 E 典例精析 【典例7】 4/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1) 1-1 nn+1 99 (2100 505 312022 9 420 举一反三 【变式1】 111 【答案】(1)1=1_1， 5x6=56'n(n+1)nn+1 2024 (2)2025 1012 (312025 1012 (4)1013 【变式2】 3 3 50 【答案】(1)4：（2) 20:(3） 101 【变式3】 6 【答案】(1 25 2101 101 312425 题型08k进制与土进制的相互转化 典例精析 【典例8】 【答案】[理解1(4)2,1,11；(2)D:[迁移1(1001)2：[创新1(131) 5/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反三 【变式1】A 【变式2】 【答案】(1)109 (2)89 (3)11001 (4)7381: 【变式3】 【答案】(15，(1101)2： (2(69X)2: (3)53 题型09数形结合法 三典例精析 【典例9】 【答案】(14 7 2)8 115 316’16 31 4132 511 (51512 举一反目 【变式1】 32020-1 【答案】(1)210；(2)①625：②+12：(3)图见解析， 2×32020 题型10倒叙相加法 6/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 典例精析 【典例10】 【答案】(1)210 n(n+1) (2 2 (3)15050 E 举一反三 【变式1】 【答案】(1)1275 2)2n(n+l) 题型11错位相减法 典例精析 【典例11】 62024-1 【答案】 5 举一反目 【变式1】 【答案】(1)22001-1 230-1 2 倒1 a-1 【变式2】 326-1 【答案】(1)2 2 22025 【变式3】 【答案】(1)2201-1 7/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32023-1 3) 2 8/8