课时作业(3) 等差数列的概念及简单表示（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(三) [基础达标练] 1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为(　　 ) A．2　　　　　　　　　　 B．3 C．－2 D．－3 解析：选C　∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)， ∴d＝－2，故选C． 2．若等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝(　　 ) A．50 B．51 C．52 D．53 解析：选D　依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝．所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，令an＝35，解得n＝53． 3．《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是(　　) A．斤　　　　　　　　　 B．斤 C．斤 D．3斤 解析：选B　依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－，所以a2＝4－＝． 4．在△ABC中，B是A和C的等差中项，则cos B＝______． 解析：∵B是A和C的等差中项， ∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π， ∴B＝，cos B＝． 答案： 5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________． 解析：设等差数列{an}的公差为d， 由题意，得 解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1． ∴a6＝2×6＋1＝13． 答案：13 6．若2，a，b，c，9成等差数列，则c－a＝________． 解析：由题意得该等差数列的公差d＝＝， 所以c－a＝2d＝． 答案： 7．已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式： (1)a3＝5，a7＝13； (2)前三项为a，2a－1，3－a． 解：(1)设首项为a1，公差为d， 则解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1． (2)由等差中项公式得2×(2a－1)＝a＋(3－a)，解得a＝，所以等差数列首项为，公差为2a－1－a＝a－1＝－1＝，所以an＝＋(n－1)×＝＋1． 8．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且∈N*)． (1)求a2，a3； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列{an}的通项公式an． 解：(1)a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20． (2)证明：∵an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*)， ∴＝＋1(n≥2，且n∈N*)， 即－＝1(n≥2，且n∈N*)， ∴数列是首项为＝，公差d＝1的等差数列． (3)由(2)，得＝＋(n－1)×1＝n－， ∴an＝·2n． [能力提升练] 9．(多选)若一个等差数列的首项a1＝1，末项an＝41(n≥3)，且公差为整数，则项数n的取值可以是(　　 ) A．6　　　　　　　　 B．7 C．8 D．9 解析：选AD　由an＝a1＋(n－1)d，得41＝1＋(n－1)d，解得d＝．又d为整数，n≥3，则n＝3，5，6，9，11，21，41．故选A、D． 10．数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a4为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D　法一：a1＝2，a2＝＝， a3＝＝，a4＝＝． 法二：取倒数得＝＋3， ∴－＝3， ∴是以为首项，3为公差的等差数列． ∴＝＋(n－1)·3＝3n－＝， ∴an＝，∴a4＝． 11．△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且A－C＝40°，则A＝________． 解析：∵A，B，C成等差数列， ∴2B＝A＋C． 又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，A＋C＝120°． 又A－C＝40°，∴A＝80°． 答案：80° 12．若数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________． 解析：∵{an}是等差数列， ∴an＋1－an＝常数． ∴[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常数．∴2a＝0，∴a＝0． 答案：0 13．已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn＋r(p，q，r∈R，且p，q，r为常数)． (1)当p，q，r满足什么条件时，数列{an}是等差数列？ (2)设bn＝an＋1－an，求证：数列{bn}是等差数列． 解：(1)欲使{an}是等差数列，则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)＋r]－(pn2＋qn＋r)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0时，数列{an}是等差数列．此时q，r∈R． (2)证明：因为bn＝an＋1－an＝2pn＋p＋q， 所以bn＋1－bn＝2p(n＋1)＋p＋q－2pn－p－q＝2p为常数， 所以{bn}是等差数列． [素养拓展练] 14．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列 {an}的通项公式；若不存在，请说明理由． 解：(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)， 且a1＝1． 所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3． 从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3． (2)数列 {an}不可能为等差数列， 理由如下： 由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an， 得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)， a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)． 若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1， 即(5－λ)(2－λ)＝1－λ， 解得λ＝3．于是a2－a1＝1－λ＝－2， a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24． 这与{an}为等差数列矛盾．所以不存在λ使{an}是等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$