22.5分式方程（第1课时分式方程及其解法）（教学课件）数学新教材人教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程的概念及解法，通过轮船顺逆流航行的实际问题导入，先回顾整式方程等知识，再对比引出分式方程特征，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以实际问题培养模型意识，类比整式方程解法发展推理意识，强调验根步骤提升抽象能力。通过典例、分层练习及真题感知，学生能扎实掌握知识，教师可高效开展教学。

22.5　分式方程 第22章分式 第１课时　 分式方程及其解法 学 习 目 标 1 2 理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤. 理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法. 3 在将分式方程转化为整式方程，找解分式方程的方法中培养学生乐于探究、合作学习的习惯. 知识回顾 方程的概念： 指含有未知数的等式. 一元一次方程： 只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式. 二元一次方程： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 整式方程的概念： 方程里面所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数. 知识回顾 练一练 下列不是整式方程的有哪些？ (1) 2x+5=7； (2) 9x-5； (3) 6y+1>2y； (4) 7-2=5； (5) 4x+3y=3； (6) ； (7) ； (8) x=4. 不是整式方程的有：(2)(3)(4)(7). 4 导入新课 现在回到本章引言中的问题。 一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它沿江以最大航速顺流航行90km所用时间与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？ 问 题 为解决提出的问题，设江水的流速为v km/h 速度(km/h) 路程(km) 时间(h) 等量关系式 顺流 逆流 30 + v 30 – v 90 60 根据题意可列方程为 新知探究 探究点1 分式方程的概念 观察所列方程 ＝ 有什么特征？和一元一次方程比较有什么区别？ 议一议 分母中含有未知数 v ＝ 一元一次方程如果有分母，分母只是常数而没有未知数 3x －＝3 像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程 ． 分式方程 我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中. 典例分析 探究点1 分式方程的概念 例1.判断下列方程是不是关于 x 的分式方程 （1）1－＝2－；（ ）　　（2）＝7；（ ） （3）＋ax＝b；（ ） （4）＝＋6. （ ）􀪎 是 不 是 不 是 是 判断依据： 分母中含未知数 分母中π是常数 分母中含有字母b、n，但字母b、n不是未知数，该方程不是分式方程方程，是整式方程. 注意：分母中含有字母的方程不一定是分式方程，分式方程分母一定含未知数 例2. 下列方程中a , b 为已知数，x 为未知数: ①＋＝ ; ②＋＝4 ; ③＋＝x; ④＋2＝ ; ⑤ ＝0; 其中关于 x 的分式方程有是（ ） 典例分析 探究点1 分式方程的概念 （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 判断依据： 分母中含未知数x 三者缺一不可. 分式方程必须满足的条件： ② ④ ⑤ 新知探究 探究点2 分式方程的解法 议一议 我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法,但是分式方程的分母中含未知数,因此解分式方程是一个新的问题 ． （ 1）还记得解一元一次方程式遇到分数系数时怎么办吗？试一试解下面方程 去分母，化为整数系数方程 －2＝ 方程两边同时乘公分母６，方程化为 解方程得： 分式方程我们可以先去分母转化为整式方程 新知探究 探究点2 分式方程的解法 做一做 类比一元一次方程解法，通过“去分母”将 分式方程转化为整式方程，尝试着解一解方程：＝. 解： 第一步：去分母， ∵最简公分母为　 　 (30＋v)(30 － v) ∴方程两边同时乘最简公分母乘 •(30＋v)(30 － v)＝ •(30＋v)(30 － v) 得：　 　. 90（30－v）＝60（30＋v） 得： ；　 得： 第二步：化简为整式方程 （此方程是整式方程）. 第三步：解整式方程 v＝6 2700－90v＝1800＋60v 新知探究 探究点2 分式方程的解法 议一议 类比一元一次方程解法，通过“去分母”将 分式方程转化为整式方程，尝试着解一解方程：＝. （1）将分式方程化成整式方程的关键步骤是什么？ 解分式方程的关键是去分母，在去分母时，分式方程两边的每一项都要乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项. （2）如何验证所得的解是原分式方程的解呢? 检验：将v=6代入方程＝中， ∵左边= =右边， ∴v= 6是分式方程＝的解. 检验 答：江水的流速为6 km/h. 新知探究 探究点2 分式方程的解法 议一议 解分式方程的基本思路 去分母 分式方程 整式方程 转化 (1) 整式方程的解是不是一定都满足原来的分式方程呢？ 整式方程的解 解整式方程 （3）解分式方程去分母时方程两边乘以的最简公分母的值会不会等于0？ （2）分式有意义的条件式什么？ 例3.解分式方程：＝. 探究点2 分式方程的解法 解： 方程两边乘最简公分母(x－5)(x＋5，去分母得： x＋5＝10 解得：x＝5 x＝5是原分式方程的解吗? 新知探究 将x＝5代入原分式方程， ∵x－5=0，x2－25=0， ∴相应的分式，无意义. 因此，x＝5虽是整式方程x＋5＝10的解， 但不是原分式方程＝的解. ∴这个分式方程无解. 检验： 新知探究 探究点2 分式方程的解法 议一议 （1）上面两个分式方程中，为什么＝①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而＝②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？   ＝① ＝② 两边同乘最简公分母 解 　 最简公分母的值 结论 (30＋v)(30－v) （x－5)(x＋5） v＝6　 回代结果≠0 x＝5 回代结果＝0 两边乘了同一个不为0的式子 两边乘了同一个为0的式子 所得整式方程的解与①相同 所得整式方程的解不是②的解 新知探究 探究点2 分式方程的解法 议一议 将整式方程的解代入最简公分母， 如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解； （3）解分式方程时得到整式方程的解还要做什么？ 检验方法： 分式方程本身就隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程时，未知数的取值范围扩大了，解得的未知数一定适合分式方程转化后的整式方程，但不适合原分式方程，可能会使原分式方程的分母为0. 产生的原因 （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，产生的原因是什么？ 解分式方程一定要检验 典例分析 解：方程两边乘 x(x – 3)，得 2x = 3x – 9 解得 x = 9 检验： 当 x = 9时， x(x – 3) ≠ 0， ∴原分式方程的解为 x = 9. 例3. 解方程 . 一去，二解，三检验 一去分母 二解整式方程 三检验方程的解 典例分析 例4. 解方程 解：方程两边乘 (x – 1)(x + 2)，得 x(x + 2) – (x – 1)(x + 2) = 3 解得 x = 1 检验： 当x = 1时，(x – 1)(x + 2) = 0 ∴原分式方程无解. ∴x = 1不是原分式方程的解. 一去，二解，三检验 解分式方程的一般步骤如下： 分式方程 整式方程 a是分式方程的解 a是分式方程的解 x = a 最简公分母不为0 最简公分母为0 去分母 目 标 探究点2 分式方程的解法 新知探究 归一归 一去， 二解， 三检验 典例分析 例5.解关于 x 的方程： (a ≠ b，ab ≠ 0). 解：方程两边乘 x(x – 1)，得 ax – b(x – 1) = 0 检验：当 x = 时， ∴原分式方程的解为： x = 解得 x = ∵a ≠ b，ab ≠ 0 ∴ 一去， 二解， 三检验 拓展提升 1.定义一种新的运算，对于任意的非零实数 x，y， 若 x@(x – 1) = 1，则 x = ____. 解： 检验： 当 时，x(x – 1) ≠ 0. ∴ 解得： 是分式程的解 ∴ x@(x – 1) ∵x@(x – 1) = 1 拓展提升 2. 已知关于 x 的方程 的解为负数，则 a 的取值范围是_____________. 解：方程两边乘 x(x + 1)，得 x + 1 + x = x + a 解得 x = a – 1 a < 1 且 a ≠ 0 检验：把x = a – 1代入x(x + 1)得 x(x + 1) =a(a – 1) ∵x(x + 1) ≠ 0 ∴a(a – 1) ≠ 0 ∴ a ≠ 0且a ≠ 1 ∵x = a – 1 < 0 ∴a < 1 ∴a 的取值范围： a < 1 且 a ≠ 0 拓展提升 3.若关于 x 的分式方程＋ ＝无解,求 m 的值 ． 分式方程无解包含两种情况： ①包括使最简公分母为 ０的数 ②分式方程化为整式方后，使整式方程无解的数 ∴先把分式方程化为整式方程,再分两种情况讨论求解 解:方程两边乘)，得 2 ＋ mx ＝3 ), 即 ( m －1 ) x ＝－10． ① 当 m －1＝0 时,整式方程无解，此时 m ＝1． ② 分式方程无解,则 x ＝2 或 x ＝－2． 当 x ＝2 时,代入( m －1 ) x ＝－10 , 得( m －1 ) ×2＝－10 ,解得m ＝－4 ; 当 x ＝－2 时,代入( m －1 ) x ＝－10 , 得( m －1 ) ×(－2) ＝－10 ,解得 m ＝6． 综上所述, m 的值是 1或 －4 或 6． 分 析 巩固练习 解：（1）最简公分母：x(x – 2) 去分母，得 解得 x = – 5 检验：将 x = – 5 代入原方程中， 左边 = – 1 = 右边， 因此 x = – 5 是原方程的解. 5(x – 2) = 7x 1.解方程： （2）最简公分母：(x + 3)(x – 1) 去分母，得 解得 x = 5 检验：将 x = 5 代入原方程中， 左边 = 0.25 = 右边， 因此 x = 5 是原方程的解. 2(x – 1) = x + 3 巩固练习 1.解方程： (3) 方程两边乘 2x(x + 3)，得 x + 3 = 4x 解得 x = 1 检验： 当 x = 1 时， 2x(x + 3) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = 1. (4) 方程两边乘 3(x + 1)，得 3x = 2x + 3x + 3 解得 x = 检验： 当 x = 时， 3(x + 1) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = . 巩固练习 1.解方程： （5）方程两边乘 (x – 1)(x + 1)，得 2(x + 1) = 4 解得 x = 1 检验： 当 x = 1 时， (x – 1)(x + 1) = 0， 所以，原分式方程无解. (6) 方程两边乘 x(x – 1)(x + 1) ，得 5(x – 1) – (x + 1)= 0 解得 x = 检验： 当 x = 时， x(x – 1)(x + 1) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = . 真题感知 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 1.（2024·陕西·中考真题）解方程：． 去分母变分式方程为整式方程 因式分解（x+1）（x-1） 确定最简公分母（x+1）（x-1） 最后对方程的解要进行检验 2.（2024·陕西渭南·一模） 以下是小明同学解方程的过程． 【解析】方程两边同时乘，得 …第一步 …第二步 检验：当时， … 第三步 所以，原分式方程的解为 … 第四步 ①小明的解法从第______步开始出现错误； 出错的原因是 ； ②解分式方程的思想是利用______的数学思想， 把分式方程化为整式方程． A．数形结合　B．特殊到一般　 C．转化　 D．类比 ③写出解方程的正确过程． 一 去分母时数字2没有乘以 C 解：方程两边同时乘，得 ， 去括号得： ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 真题感知 2.分式方程和整式方程的区别与联系 分式方程 整式方程 区别 分母中含有未知数 分母中不含未知数 联系 分式方程可以转化为整式方程 课堂小结 １． 分式方程的概念是什么? 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 3.解分式方程的基本步骤及需要注意的问题 1 在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程 2 解这个整式方程 3 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原式方程的解，否则必须舍去 4 写出原方程的解 一去， 二解， 三检验 注意：结果一定要检验 课后练习 1. 解下列方程： 解：(1)方程两边乘 x(x + 3)，得 x + 3 = 5x 解得 x = 检验： 当 x = 时， x(x + 3) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = . 解：(2)方程两边乘 2(x – 1)，得 2x = 3 – 4(x – 1) 解得 x = 检验： 当 x = 时， 2(x – 1) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = . 课后练习 1. 解下列方程： 解：(3)方程两边乘 (2x + 1)(2x – 1) ，得 2(2x + 1) = 4 解得 x = 检验： 当 x = 时， (2x + 1)(2x – 1) = 0， 所以，原分式方程无解. 解：(4)方程两边乘 x(x + 2)(x – 2) ，得 3(x – 2) – (x + 2) = 0 解得 x = 4 检验： 当 x = 4 时， x(x + 3) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = 4. 课后练习 1. 解下列方程： 解：(5)方程两边乘 (x – 1)(x – 3)，得 x(x – 1) = (x + 1)(x – 3) 解得 x = – 3 检验： 当 x = – 3 时， (x – 1)(x – 3) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = – 3. 解：(6)方程两边乘 (x – 2)，得 x – 3 + x – 2 = – 3 解得 x = 1 检验： 当 x = 1 时， x – 2 ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = 1. 课后练习 1. 解下列方程： 解：(7)方程两边乘 6x(x + 1)，得 6(2x + 1) = 5x 解得 x =－ 检验： 当 x = － 时， 6x(x + 1) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = － . 解：(8)方程两边乘 2(3x – 1)，得 3(3x – 1) – 2 = 5 解得 x = 检验： 当 x = 时， 2(3x – 1) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = . 课后练习 2.解下列关于 x 的方程： 解：(1)方程两边乘 x – 1，得 1 + a(x – 1) = x – 1， ∵ a ≠ 1，∴a – 1 ≠ 0. 即 (a – 1)x = a – 2. ∴ x = 检验：当 x = 时， 所以，原分式方程的解为 x = 且 课后练习 2.解下列关于 x 的方程： 且 m(x + 1) – x = 0， 因为 m ≠ 1，所以 1 – m ≠ 0. 即 (1 – m)x = m. 因为m ≠ 0 且 m ≠ 1，所以 x(x + 1) ≠ 0. 所以 x = 检验：当 x = 时， 所以，原分式方程的解为 x = 解：(2)方程两边乘 x(x + 1)，得 习题18.5 教材P169 感谢聆听! $