18.5.1分式方程及其解法-课件-人教版2026-2027学年数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程的定义及解法，通过轮船航行情境问题导入，对比整式方程引出分式方程，构建从已知到未知的学习支架，梳理转化思想、去分母步骤及验根关键。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过分步解法和验根强调数学思维中的推理能力，结合节水等应用题训练数学语言表达。典例精析与分层练习结合，小结结构化，助力学生系统掌握，教师可高效开展教学。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 18.5.1分式方程及其解法 第十八章 分式 人教版八年级上册18.5.1分式方程及其解法同步练习题 ### 知识点梳理 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的核心解法：转化思想，将分式方程化为整式方程求解。标准解题步骤：1. 找最简公分母；2. 方程两边同乘最简公分母，去分母化为整式方程；3. 解整式方程；4. 必须验根：将解代入最简公分母，若公分母不为0，是原方程的解；若公分母为0，是增根，原方程无解。易错点：忘记验根、去分母漏乘常数项、符号出错、无法区分增根与无解。 ### 一、基础选择题+判断题（每题4分，共20分） 1. 下列方程中，属于分式方程的是（ ） A. $$\frac{x}{2}+1=0$$    B. $$\frac{2}{x+1}=3$$    C. $$2x+3=5$$    D.$$\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=1$$ 2. 解方程$$\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x}$$ A. $$x=3(x-2)$$    B. $$x=3x-2$$    C. $$x-2=3x$$    D. $$x=3(x+2)$$ 3. 判断：分式方程解出的根只要使整式方程成立，就是原分式方程的解。（ ） 4. 判断：$$x=2$$是方程$$\frac{1}{x-2}+3=4$$的增根。（ ） 5. 分式方程$$\frac{2}{x}=\frac{3}{x+1}$$的解为（ ） A. $$x=1$$    B. $$x=2$$    C. $$x=3$$    D. 无解 ### 二、基础解方程题（每题8分，共32分） 1. $$\frac{3}{x}=\frac{2}{x-1}$$ 2. $$\frac{1}{x-3}+2=\frac{x-4}{x-3}$$ 3. $$\frac{2}{x+1}=\frac{4}{x^2-1}$$ 4. $$\frac{x}{x-1}-1=\frac{3}{(x-1)(x+2)}$$ ### 三、能力提升题（每题12分，共24分） 1. 已知分式方程$$\frac{x}{x-2}-2=\frac{k}{x-2}$$有增根，求$$k$$的值。 2. 解方程$$\frac{x+1}{x-1}-\frac{4}{x^2-1}=1$$，并判断方程解的情况。 ### 四、简单应用题（24分） 为响应校园节水号召，某班级更换节水水龙头。已知更换后，同样用水量，现在用水时间比原来延长$$10$$分钟。原来每分钟用水$$\frac{1}{x}$$吨，现在每分钟用水$$\frac{1}{2x}$$吨。根据总水量相等列分式方程，求出$$x$$的值。 ### 参考答案与详细解析 #### 一、基础选择题+判断题 1. 答案：B 解析：分式方程定义为分母含未知数，只有B选项符合。 2. 答案：A 解析：最简公分母为$$x(x-2)$$，两边同乘公分母得$$x=3(x-2)$$。 3. 答案：× 解析：整式方程的解必须代入最简公分母检验，避免增根。 4. 答案：√ 解析：$$x=2$$使分母为0，是该分式方程的增根。 5. 答案：C 解析：交叉相乘得$$2(x+1)=3x$$，解得$$x=2$$，检验成立。 #### 二、基础解方程题 1. 解析：最简公分母$$x(x-1)$$，去分母得$$3(x-1)=2x$$，解得$$x=3$$。检验：$$x=3$$时分母不为0，方程解为$$x=3$$。 2. 解析：两边同乘$$x-3$$得$$1+2(x-3)=x-4$$，解得$$x=1$$。检验成立，解为$$x=1$$。 3. 解析：分母因式分解$$x^2-1=(x+1)(x-1)$$，去分母得$$2(x-1)=4$$，解得$$x=3$$，检验成立。 4. 解析：去分母化简得$$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$$，解得$$x=1$$。检验：$$x=1$$使分母为0，是增根，方程无解。 #### 三、能力提升题 1. 解析：分式方程增根为$$x=2$$，去分母得$$x-2(x-2)=k$$，将$$x=2$$代入得$$k=2$$。 2. 解析：最简公分母$$(x+1)(x-1)$$，去分母整理得$$(x+1)^2-4=x^2-1$$，化简得$$2x-2=0$$，$$x=1$$。检验：$$x=1$$为增根，原方程无解。 #### 四、简单应用题 解析：设总水量为定值，根据题意列方程：$$\frac{W}{\frac{1}{2x}}-\frac{W}{\frac{1}{x}}=10$$，约去总水量得$$2x-x=10$$，解得$$x=10$$。检验：$$x=10$$使分式有意义，符合题意。答：$$x$$的值为10。 情境引入 QING JING YIN RU 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它以最大航速逆流航行60千米所用的时间，与以最大航速顺流航行90千米所用时间相等，江水的流速为多少？若江水的流速为v千米/时，根据题意可列方程为 . 这个方程是我们以前学过的方程吗？ 它与一元一次方程有什么区别？ 思考 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 你能再写出几个分式方程吗？　　 　　 　　我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中． 注 意 三角形应满足以下两个条件 此方程的分母中含有未知数 v， 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 观察分母中是否含未知数 判断下列方程是不是分式方程： (1) (2) (3) (4) 解： (1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数． (2)是分式方程，因为分母中含有未知数． (3)是分式方程，因为分母中含有未知数． (4)是分式方程，因为分母中含有未知数． 分式方程 整式方程 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 特点分析 ①方程中含有分母；②分母中含有未知数． 1 根本区别 分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，是区分分式方程和整式方程的依据． 2 有理方程 整式方程和分式方程统称为有理方程． 3 易错警示 分式方程中的分母含有未知数，而不是一般的字母参数，如π． 4 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 你能试着解这个分式方程吗？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ （5）解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 提示 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 方程的公分母是 解：方程两边同乘 ，得 解得 检验：将 代入原分式方程中， 左边 = 20 = 右边， 因此 是原分式方程的解. 是原分式方程的解吗？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 是原分式方程的解吗？ 解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 所以，原分式方程无解. 因此x=1不是原分式方程的解. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得 整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 当x=0.4时，1.2x≠0，分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的解与原分式方程无关），但其解使原分式方程中的分母为 0，故这个整式方程的解就不是原分式方程的解. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 分式方程要检验 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 1. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后 比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造 前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为 ( ) B A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 返回 中考考法 13 2. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的 投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有 三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工； ②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ， 剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.某同学设规定的 工期为天，根据题意列出了方程： ，则方案③ 中被墨水污染的部分应该是( ) 中考考法 14 A. 甲、乙两队合作了4天 B. 甲队先做了4天 C. 甲队先做了工程的 D. 甲、乙两队合作了工程的 √ 返回 中考考法 15 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 4. 写出原方程的解. 2. 解这个整式方程； 1. 在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； 3. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； 解分式方程的步骤 检 解 化 答 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 公分母是 解：方程两边同乘，得 解得 检验：当时，≠0 所以，原分式方程的解为. 解方程:(1) 公分母是2 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 解方程:(2) 解：方程两边同乘，得 解得 检验：当时，≠0 所以，原分式方程的解为. 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 解方程: 解：(1)方程两边同乘，得 解得 检验：当时，≠0 所以，原分式方程的解为. 解：(2)方程两边同乘，得 解得 检验：当时，≠0 所以，原分式方程的解为. 解分式方程的步骤 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x =m 检验 x = m 是分式 方程的解 x = m 不是 分式方程的解 当 x = m 时 最简公分母是 否为零？ 否 是 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 把a,b当成常数 解关于x 的方程 （ b ≠ 1）. 　　解：方程两边同乘x-a，得 a+b（x-a）= （x-a） 去括号，得 a+bx-ab =x-a 移项、合并同类项，得 （b-1）x = ab-2a 　∴　 检验：当 时，∵ b ≠ 1，∴b-1 ≠0， x-a ≠ 0，所以 是原分式方程的解． 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 先解出分式方程的根 已知关于x 的方程 的根是负数，求a的取值范围. 解：(1)方程两边同乘，得 解得 ∵原方程的根是负数， ∴ ∴ 为什么 ？ 求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 分式方程有增根，即对应整式方程有解但其解使最简公分母为 0 ． 已知关于x的方程 有增根，求该方程的增根和k的值. 解：去分母，得3x+3-(x-1)=x2+kx， 整理，得x2+(k-2)x-4=0. 因为有增根，所以增根为x=0或x=1. 当x=0时，代入方程得-4=0， 所以x=0不是方程的增根； 当x=1时，代入方程，得k=5， 所以k=5时方程有增根x=1. 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 分式方程无解，不但包括分式方程化为整式方程后，所得整式方程无解的情况，还包括整式方程有解但其解使最简公分母为 0 的情况． 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值． 解：方程两边同乘 (x＋2)(x－2) 得 2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10. ① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1； ② 整式方程的解使分式方程的最简公分母为零， 即x＝2 或 x＝－2. 当 x＝2 时，(m－1)×2＝－10，解得 m＝－4； 当 x＝－2 时，(m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6. ∴ m 的值是 1，－4 或 6. 3. 教材P169习题 某物流仓储公司用， 两种型号 的机器人搬运物品，已知型机器人比 型机器人每小时多搬 运，型机器人搬运所用时间与 型机器人搬运 所用时间相等，则型机器人每小时搬运物品____ . 80 返回 中考考法 25 4.［2024自贡］为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某 校组织了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学平均每小时比 乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包 120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各 包多少个粽子. 中考考法 26 【解】设乙组同学平均每小时包 个粽子，则甲组同学平均 每小时包个粽子，根据题意,得 ，解得 .经检验，是原方程的解， .; 答： 甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包 80个粽子. 返回 中考考法 27 5. 已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组 单独工作半天后，乙组加人，两组合作2天后，甲组又单独 工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的 天数比甲组( ) B A. 少6天 B. 少8天 C. 多3天 D. 多6天 中考考法 28 6.［2025沧州月考］为落实“美丽乡村”的工作部署，市政府 计划对乡村道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成.已 知甲队修路与乙队修路 所用时间相等，乙队每 天比甲队多修 .求甲队每天修路的长度. 中考考法 29 （1）填表（在表格中横线处填写相应的代数式）： 方法一：设甲队每天修路的长度为 ，完成表格： 工作效率/天 工作总量 工作时间（天） 甲队 400 _____________________ 乙队 _______ 600 _ ____ 中考考法 30 方法二：设甲队修路需要用 天，完成表格： 工作效率/天 工作总量 工作时间（天） 甲队 _ ___ 400 乙队 _ ___ 600 ______________________ 中考考法 31 （2）请选择一种方法，写出完整的解答过程. 【解】方法一：，解得 . 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意. 故甲队每天修路的长度为 . 中考考法 32 方法二：，解得 . 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意. . 故甲队每天修路的长度为 . （两种方法任选一种即可） 返回 中考考法 33 课堂小结 QING JING YIN RU 定义 (1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘 (2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用) (3) 忘记检验 分式方程 误区 分母中含未知数的方程叫做分式方程 步骤 (去分母法) 一化 (分式方程转化为整式方程)； 二解 (整式方程)； 三检验 (把解代入到最简公分母中，看是否为零) $