18.5 第1课时 分式方程及其解法（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（人教版2024）

该初中数学课件聚焦分式方程的解法，通过具体方程问题链导入，引导学生从去分母转化整式方程入手，逐步探究解的检验、增根与无解情况，构建“定义-解法-应用”的学习支架。 其亮点在于问题驱动探究培养创新意识，正反例对比（有解与无解方程）深化推理意识，例题覆盖基础与参数问题，框图总结步骤体现模型意识。助力学生理解严谨性，教师可高效实施分层教学。

第十八章 分式 八年级数学人教版·上册 18.5 第1课时 分式方程及其解法 授课人：XXXX 1 教学目标 1.掌握解分式方程的基本思路和解法.（重点） 2.理解分式方程时可能无解的原因.（难点） 新课导入 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速为x千米/时，根据题意可列方程 . 这个方程是我们以前学过的吗？它与一元一次方程有什么区别？ 定义： 此方程的分母中含有未知数x，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程. 知识要点 新知探究 一、分式方程的概念 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)． 新知探究 你能试着解这个分式方程吗？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ “去分母” 新知探究 二、分式方程的解法 新知探究 方程各分母最简公分母是：(30+x)(30-x) 解：方程两边同乘(30+x)(30-x)，得 检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边， 因此x=6是原分式方程的解. 90(30-x)=60(30+x)， 解得 x=6. x=6是原分式方程的解吗？ 新知探究 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”， 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 归纳 新知探究 下面我们再讨论一个分式方程： 解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得 x+5=10， 解得 x=5. x=5是原分式方程的解吗？ 新知探究 检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解. 新知探究 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 新知探究 真相揭秘： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程: 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0 新知探究 真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x+5=10 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0 新知探究 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 怎样检验？ 这个整式方程的解是不是原分式的解呢？ 分式方程解的检验------必不可少的步骤 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解. 新知探究 1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去. 4.写出原方程的解. 简记为：“一化二解三检验”. “去分母法”解分式方程的步骤 新知探究 例1 解方程 解： 方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9. 解得 x=9. 检验：当x=9时，x(x-3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 新知探究 例2 解方程 解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 新知探究 用框图的方式总结为： 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x =a 检验 x =a是分式 方程的解 x =a不是分式 方程的解 x =a， 最简公分母是 否为零？ 否 是 新知探究 例3 关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是________________． 解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1.∵关于x的方程 的解 是正数，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2， ∴a 的取值范围是a＜－1且a≠－2. 方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于 未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. a＜－1且a≠－2 新知探究 若关于x的分式方程 无解，求m的值． 例4 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求 解：一元一次方程无解与分式方程有增根． 新知探究 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)， 即(m－1)x＝－10. ①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②方程有增根，则x＝2或x＝－2， 当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得 (m－1)×2＝－10，m＝－4； 当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得 (m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6， ∴m的值是1，－4或6. 方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的． 分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最 简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的 数． 新知探究 课堂小结 分式 方程 定义 分母中含有未知数的方程叫作分式方程 注意 (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘 步骤 一化（分式方程转化为整式方程） 二解（整式方程） 三检验（代入最简公分母看是否为零） (2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号 (因分数线有括号的作用） (3)忘记检验 课堂小测 D 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘以（ ） A. 3y-6 B. 3y C. 3 (3y-6) D. 3y (y-2) 1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　) A. B. C. D. D 课堂小测 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ） A.2(x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8 C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8 A 4．若关于x的分式方程 无解，则m的值为 ( ) A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5 D 课堂小测 5. 解方程： 解：去分母，得 解得 检验：把 代入 所以原方程的解为 $