22.4整数指数幂（第1课时）（教学课件）数学新教材人教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦负整数指数幂概念及整数指数幂运算性质，通过复习正整数指数幂运算性质，类比数的推广引出负整数指数幂，搭建前后知识学习支架。 其亮点在于结合幂符号历史演变与实例推导，培养抽象能力和推理意识，典例分析与巩固练习结合，课堂小结系统整理运算性质，助力学生掌握运算方法，教师可提升教学效率。

22.4　整数指数幂 第22章分式 第１课时　 负 整 数 指 数 幂 学 习 目 标 1 2 知道负整数指数幂a-n＝（a≠0，n是正整数）. 了解整数指数幂的意义和基本性质，会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算. 3 通过探索负整数指数幂的运算性质，让学生体会到从特殊到一般是研究数学的一个重要方法，培养学生抽象、归纳的能力. 1.同底数幂运算法则： 2.同底数幂除法法则： 3.幂的乘方： 4.积的乘方： 5.分式的乘方： 6.零指数幂运算 am·an ＝am+n (m,n都是正整数) am÷an＝ am-n (a ≠ 0，m,n都是正整数，且m>n) (am)n＝amn (m,n都是正整数) (ab)n＝anbn (n是正整数) ( a0 =1 我们在前面学习了与幂有关的运算性质，这些运算都有哪些? 知识回顾 知识回顾 练一练 已知：am=3,an=5. 求：（1）am－n的值 (2)a3m－2n的值 解: (1) am－n= am ÷ an= 3 ÷5 = 0.6 (2) a3m－2n= a 3m ÷ a 2n = (am)3 ÷(an)2 =33 ÷52=27 ÷25 = 4 导入新课 随着我们认识的数的范围不断扩大,数的运算也在不断推广 ． 有理数范围加法 非负有理数加法 非负整数加法 加法运算中数的推广 对于幂的运算,是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢? 类似的推广 有什么数学意义？ 表示3个a乘 下面,我们从追溯幂的符号的演变开始 新知探究 幂的符号的演变经历了漫长的时间， 如图所示表示演变过程 3 世纪 丢番图 Δγ，Kγ， ΔγΔ Aq，Acu，Aqq 韦达(Vietè) 16 世纪 17 世纪 哈里奥特(Harriot) aa，aaa，aaaa a2，a3，a4 笛卡尔 1637年 an 探究点1 负整数指数幂 议一议 从幂的符号的演变过程中发现幂的表示（an）有什么优点？ 这种幂的符号不仅简明、利于运算而且有助于幂的运算的推广 新知探究 探究点1 负整数指数幂 议一议 你认为牛顿的这个设想合理吗? 1676年，牛顿( Newton ,1643-1727)提出了一个设想: “因为数学家将 aa , aaa , aaaa ,写成, 所以我将 ,… 写成 , , ,…．” 如果 中的 m 可以是负整数， 那么负整数指数幂 表示什么? 新知探究 探究点1 负整数指数幂 做一做 请用分式约分方法计算下列各题，结果有什么特征？ （2）p3 ÷ p5 （3）am÷an（ m＜n ） （1） （1） ∵m＜n 与互为倒数 与互为倒数 与互为倒数 新知探究 探究点1 负整数指数幂 做一做 请用同底数幂除法法则方法计算下列各题，结果有什么特征？你有什么发现？ （2）p3 ÷ p5 （3）am÷an（ m＜n ） （1） （1）53÷55＝53－5＝5－2 （2）p3÷p5＝p3－5＝p－2 （3） am÷an ＝am－n＝a－(n-m) 幂的指数是负整数 同一个算式，结果有两种形式 新知探究 探究点1 负整数指数幂 议一议 在am÷an中，当m＝n时，产生0次幂，那么当m＜n时，会出现怎样的情况呢？ am÷an ＝a－(n-m) a－n＝ 负整数指数幂可以转化为正指数幂的倒数 新知探究 探究点1 负整数指数幂 议一议 为使同底数幂的除法运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定： 一般地，当n是正整数时， a－n＝（a≠0） a－n（a≠0）是an的倒数. 一个非零数的负整数指数幂等于这个数正指数幂的倒数 注意：规定负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数 新知探究 探究点1 负整数指数幂 议一议 一般地，a－n＝（a≠0） 你现在能说出当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什么意思吗？ 对于am，设a≠0 (a ≠ 0) ( ) ( ) ( ) m＞0 m=0 m＜0 如无特别说明，本套书中涉及的负整数指数幂的底数均不为0. 典例分析 探究点1 负整数指数幂 例1.计算： 6－2 = ； －2－2 = ； = ； = ； = ； b－4＝ （b≠0）. 解: 6－2＝ = ； －2－2 = =－ ； ＝ = －； 27 = =27； = =； b－4＝ （b≠0）. 负整数指数幂可以转化为正指数幂的倒数 例 2.若有意义,则 x 的取值范围是什么? 解：根据题意,若有意义, 则 x －３≠０ ,即 x ≠３． 若有意义, 则 ３x －６≠０ ,即 x ≠２． ∴x ≠３ 且 x ≠２． 典例分析 探究点1 负整数指数幂 思路分析: 零指数幂与负整数指数幂的底数均不为0. 新知探究 探究点2 整数指数幂及其计算 议一议 引入负整数指数和0指数后，am·an＝am＋n（m，n都是正整数）这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？ am·an＝am＋n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用. a3·a–5 = = a–3·a–5 = = a0·a–5 = = a–2 = a3+(–5) = a–8 = a(–3) +(–5) = a–5 = a0 +(–5) 例如： am·an = am+n (1)当m，n分别为正整数和负整数时， (2)当m，n均为负整数时， (3)当m，n分别为零和负整数时， = 新知探究 探究点2 整数指数幂及其计算 议一议 正整数指数幂的其他四个运算性质也都限定了指数的范围为正整数,现在我们希望把指数的范围扩大到全体整数,原来适用于正整数指数幂的其他运算性质,是否适用于全体整数指数幂? 大家试着验证看看! (a-3)2 ==== 即 归纳: (am)n = amn 这条性质,对于 m ，n 是任意整数的情形仍 适用 ． = = • = 即 = 归纳: (ab)n = anbn这条性质,对于 n 是任意整数的情形仍 适用． 验证幂的乘方 验证积的乘方 新知探究 探究点2 整数指数幂及其计算 议一议 =÷ = •== 即 = 归纳: am÷an = am–n这条性质,对于 m ，n 是任意整数的情形仍适用 ． = = = • = • = . 即 = 归纳: 这条性质,对于 n 是任意整数的情形仍适用． 正整数指数幂的其他四个运算性质也都限定了指数的范围为正整数,现在我们希望把指数的范围扩大到全体整数,原来适用于正整数指数幂的其他运算性质,是否适用于全体整数指数幂? 大家试着验证看看! 验证同底数幂的除法 验证分式的乘方 新知探究 探究点2 整数指数幂及其计算 归一归 指数的范围扩大到全体整数后,正整数指数幂的另外四个运算性质仍适用 ． 名称 式子表示 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 分数的乘方 幂的零次方 ① am·an = am+n (m，n是整数) ② (am)n = amn (m，n是整数) ③ (ab)n = anbn (n是整数) ④ am÷an = am–n (a ≠ 0，m，n是整数) ⑤ (n是整数) ⑥当a ≠ 0时，a0=1 典例分析 探究点2 整数指数幂及其计算 例 3. 计算： （1）a－2÷a5； （2）（）－2； （3）（a－1b2）3； （4）a－2b2·（a2b－2）－3. 解：(1) a–2÷a5 = a–2 – 5 = a–7 ＝； （2）原式　 （3）原式 = a–3b6 ＝；　 （4）原式 = a–2b2·a–6b6 = a–8b8 ＝. 当m，n为整数时： am÷an＝ am-n am·a-n ＝am-n 转化为 新知探究 探究点2 整数指数幂及其计算 议一议 根据指数整数幂运算性质，同底数幂的除法与同底数幂的乘法能互相转化吗？ am÷an ＝ am • a-n 除号转化为乘号 除数的指数转化它的相反数 即同底数幂的除法：am÷an 同底数幂的乘法：am·a-n 新知探究 探究点2 整数指数幂及其计算 议一议 根据指数整数幂运算性质，商的乘方与积的乘方能互相转化吗？ 可得 ∴ ( ＝ (a·b-1)n =an·b-n 商的乘方：( 积的乘方：(a·b-1)n 转化为 b-1 am÷an = am • = am–n ． 新知探究 探究点2 整数指数幂及其计算 归一归 ⑴ am·an = am+n (m，n是整数) ⑵ (am)n = amn (m，n是整数) ⑶ (ab)n = anbn (n是整数) 整数指数幂的前五个运算性质,实际上可以合并为三个 典例分析 解：（1）原式＝ ·（）2 = ·＝. a－n＝ （1）原式＝ ·（）2 . 统一为幂的乘法 例4.计算： （1）（）－2·（）2； （2）a－2b3·（a2b－2）－3； （3）（3×10－5）3÷（3×10－6）2. 分式乘方 例4.计算： （1）（）－2·（）2； （2）a－2b3·（a2b－2）－3； （3）（3×10－5）3÷（3×10－6）2. 典例分析 解： a－n＝ （2）原式＝a－2b3·a－6b6 ＝a－8b9＝. （3）原式＝（27×10－15）÷（9×10－12） ＝3×10－3 ＝. 典例分析 例5. 计算（1）－ ＋－－ |－| . 解:(1) 原式=－ ＋－－ |－| = －4 ＋4 －1 －3 = －4. (2)原式 = 1 – 4 + 1 – 25 = – 27 典例分析 解：原式= 例6. 解 析： 先转化为分式，再利用平方差公式因式分解后约分 方法一： 典例分析 解：原式= 例6. 解 析： 先转化为分式，再利用平方差公式因式分解后约分 方法二： 1.已知 a = 2–55，b = 3–44，c = 4–33，d = 5–22， 则这四个数从小到大排列的顺序是___________. b<c<a<d 解析：由题意得： a = 2–55 = (2–5)11 b = 3–44 = (3–4)11 c = 4–33 = (4–3)11 d = 5–22 = (5–2)11 ∵ 拓展提升 ∴ < < < 拓展提升 解：∵ ∴ (2– 1)2x – 1 2x + 2 = 32. ∴ 2–2x + 1 ·2x + 2 = 32 ∴ 2–2x + 1 + x + 2 = 32. 即 2–x + 3 = 25. ∴ –x + 3 = 5，即 x = – 2. ∴3–2x = 3–2×(– 2) = 34 = 81 2. 已知 ，求 3–2x 的值. 拓展提升 3.已知 =8，求 的值 ． 解: ∵ = = , ∴m=－4. ∵ =8===( ∴n= － 3 . ∴= = = . 将 变形为底数是 3的幂,将8变形为底数是 的幂,确定m , n 的值,最后代入求 的值 ． 分 析: = =( 底数互为倒数 指数互为相反数 新知巩固 1.填空： （1）30 = ____，3–2 = ____； （2）(– 3)0 = ____， (– 3)–2 = ____； （3）b0 = ____，b–2 = ____ . 1 1 1 巩固练习 2. 计算： (1) x2y–3·(x–1y)3； (2) (2ab2c–3)÷(a–2b)3. 解：(1)原式 = x2y–3·x–3y3 = x–1y0 (2)原式 = (2ab2c–3)·(a–2b)–3 = 2ab2c–3·a6b–3 = 2a7b–1c–3 真题感知 1.（2021·开封模拟）计算： (1) (2) ； (3) ； (4) · . 解： (1) 原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式· 整数指数幂 规定： 一般地，当n是正整数时， a – n= (a≠0). 这就是说，a – n是an的倒数. (1) am·an=am+n (2) (am)n=amn (3) (ab) n =a n b n (4) am÷an=am – n （a≠0 ） (5) 整数指数幂的运算性质(m，n是整数) (6) a0=1 （a≠0） 课堂小结 课后练习 1. 填空： （1）若(a – 3)– 2 有意义，则 a 的取值范围为_______； （2）1÷a– 1 = ________； a2·a– 2 = ________； (–ab– 1) – 2 = ________. a ≠ 3 a 1 课后练习 2. 计算： 解：（1）原式= 解：（2）原式= 课后练习 3. 计算： 解：（1）原式= （2）原式= （3）原= （4）原式= 课后练习 4.计算： 解：（1）原式＝ （2）原式＝ ＝ 拓展提升 5.已知 x + x–1 = 3，求 x2 + x–2 ，x4 + x–4 的值. 解：∵ x + x–1 = 3， ∴ (x + x–1)2 = x2 + 2 + x– 2 = 9， ∴ x2 + x– 2 = 7. ∴ (x2 + x– 2)2 = x4 + 2 + x– 4 = 49， ∴ x4 + x– 4 = 47. x + x–1即为之前我们探究过的 x + 形式的式子,同理 x2 + x–2 = x2 + ,将x4 + x–4 = x4 + ,将x +＝３ 两边都进行平运算,变形求值即可 ．注意在求x4 + x–4 的值时,原理同 x2 + x–2 的值,但要把 x2看成一个整体 ． 分析: 感谢聆听! $