22.2分式的乘法与除法（第1课时分式的乘除）（教学课件）数学新教材人教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦分式的乘除运算，通过分数乘除法则类比导入，结合约分、最简分式等知识回顾，搭建“分数运算→分式法则→约分与因式分解应用”的学习支架，帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于渗透类比转化思想，如例3小麦试验田问题培养模型意识，典例分析中多项式分解因式发展推理能力，分层练习提升运算能力。学生能增强数学应用与抽象能力，教师可依托系统资源高效开展教学。

22.2　分式的乘法与除法 第22章分式 第１课时　分式的乘除 学 习 目 标 1 2 经历探索分式的乘除运算法则的过程，渗透类比转化的思想. 理解并掌握分式的乘除法法则，能运用法则对分式进行乘、除运算. 3 能解决一些与分式乘除有关的实际问题. 知识回顾 一、什么叫约分？它的步骤是什么？ 步骤： 1、把分式的分子、分母分解因式。 2、约去分子与分母的公因式。 二、什么叫最简分式？ 答：分子与分母没有公因式的式子，叫最简分式。 答：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。 知识回顾 练一练 化简 （1） 约 分 4 导入新课 你还记得分数的乘除法如何计算吗? 完成下面练习 类比分数的运算法则,来学习分式的运算法则 分式与分数具有类似的形式 类比方法 1.根据分数的乘除法的法则计算： 法则 分子分母能约分的要约分，结果为最简分数 a、b、c、d代表实数 若a、b、c、d代表整式，法则依然成立 新知探究 探究点1 分式的乘法与除法 议一议 解： 新知探究 探究点1 分式的乘法与除法 归一归 两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘 分式的乘法法则 分式的除法法则 分式的乘法法则 分式的除法法则 用字母表示 （b，c，d≠0） （b，d≠0） 典例分析 探究点1 分式的乘法与除法 例1. 计算： （1）·；　　（2）÷. 运算结果应化为最简分式. 解： （1）原式 ＝ ＝ 分子乘以分子，分母乘以分母 约分 典例分析 探究点1 分式的乘法与除法 例1. 计算： （1）·；　　（2）÷. （2）÷ 解： 分子、分母颠倒位置 除法转化为乘法 ＝• ＝－＝－. 运算结果应化为最简分式. 典例分析 探究点1 分式的乘法与除法 例2. 计算： （1）·； （2）÷. 解：（1）· 分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分. ＝· ＝ ＝； 典例分析 探究点1 分式的乘法与除法 例2. 计算： （1）·； （2）÷. 解：（2）÷ ＝－·（m2－7m） ＝－ ＝－. 分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分. 整式与分式进行乘除运算时，整式可以看作分母是1的“分式”. 新知探究 探究点2 分式的乘除的实际应用 例3.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为 a m (a＞1)的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 (a – 1) m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 kg 小麦. （1）哪种小麦的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 议一议 你能说出小麦的“单位产量”的含义吗 单位产量=总产量÷面积 新知探究 探究点2 分式的乘除的实际应用 例3.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为 a m (a＞1)的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 (a – 1) m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 kg 小麦. 议一议 如何表示这两块试验田的面积？ S“丰收1号”= (a2 – 1) m2 S“丰收2号”= (a – 1) ² m2 a m 1m (a – 1) m 新知探究 探究点2 分式的乘除的实际应用 例3.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为 a m (a＞1)的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 (a – 1) m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 kg 小麦. 议一议 如何表示这两块试验田的单位产量 试验田 总产量（kg） 面积（m²） 单位面积产（kg） 丰收1号 丰收2号 500 500 (a – 1) ² (a2 – 1) 新知探究 探究点2 分式的乘除的实际应用 例3.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为 a m (a＞1)的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 (a – 1) m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 kg 小麦. 议一议 怎样确定哪种小麦的单位产量高？ 分子相同看分母，分母越大分数的值越小 比较大小 新知探究 例3.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为 a m (a＞1)的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 (a – 1) m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 kg 小麦. 议一议 如何比较与大小 a m 1m 探究点2 分式的乘除的实际应用 如图所示： 构图法 新知探究 例3.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为 a m (a＞1)的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 (a – 1) m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 kg 小麦. 议一议 如何比较与大小 a m 1m 探究点2 分式的乘除的实际应用 作差法 新知探究 探究点2 分式的乘除的实际应用 例3.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为 a m (a＞1)的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 (a – 1) m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 kg 小麦. （1）哪种小麦的单位面积产量高？ ∵ a > 1， ∴ (a – 1)2 ＞ 0，a2 – 1＞ 0， ∴　 ＜ . ∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.　　 由图可得 (a – 1)2 ＜a2 – 1， 解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2 – 1) m2， 单位面积产量是 kg/m2； “丰收2号”小麦的试验田面积是 (a – 1)2 m2， 单位面积产量是 kg/m2． 新知探究 探究点2 分式的乘除的实际应用 例3.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为 a m (a＞1)的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 (a – 1) m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 kg 小麦. （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 答：“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍. 解：（2） 典例分析 探究点2 分式的乘除的实际应用 例4.计算： （1）·； （2）（xy－x2）·. （3）÷. 解：⑴原式＝· ⑵原式＝ 典例分析 探究点2 分式的乘除的实际应用 例4.计算： （1）·； （2）（xy－x2）·. （3）÷. 解： ⑶原式＝· ＝ 拓展延伸 1.已知A＝÷，先化简A，再求当a＝17时A的值. 解：A＝　　·　　＝　　 当a＝17时，A＝8　. ∵ 2m2 + 4m + 1 = 3，∴ m2 + 2m = 1. ∴原式 = 1. 2. 已知 2m2 + 4m + 1 = 3，求的值. 解：原式= 3.课堂上，老师给大家出了这样一道题：当a=2025时，计算÷ 的值.小明同学把“ a=2025”错抄成“x=2026”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？ 拓展延伸 原式÷ 解： ∵结果与a的取值无关， ∴小明同学的计算结果也正确. 拓展提升 4. 若 ÷有意义,求 x 的取值范围是（ ） ． 解:由题意可得 即 x 的取值范围是 x ≠１ 且 x ≠０． A．x≠-2且x≠1 B．x≠1且x≠0 C．x≠-2且x≠-0 D．x≠-2且x≠0且x≠1 B 拓展提升 5.先化简分式 ,然后请你选取一个合适的 a 的值代入,求分式值 ． 解:原式 = ==． ∵ a 取 0,1, －1时,原式无意义, ∴ 当 a =3时,原式 ＝ 13 (答案不唯一)． 拓展提升 6.甲、乙两个工程队合修一条公路,已知甲工程队每天修(9)m ,乙工程队每天修m (其中 a ＞3 ),甲工程队修900m 所用时间是乙工程队修 600m 所用时间的多少倍? 解:甲工程队修 900m所用时间为天, 乙工程队修 600m 所用时间为天,由题意可得 ÷ ＝＝, ∴甲工程队修 900m 所用时间是乙工程队修 600m 所用时间的倍 ． 新知巩固 1. 计算： 解： ⑴ 原式= ； ⑵原式= ； ⑶原式= ； ⑷原式= =﹣1； 新知巩固 2.计算： ⑴ ； ⑵ ； 解：⑴原式= 新知巩固 2.计算： ⑴ ； ⑵ ； 解：⑵原式= 新知巩固 3. 一个水平放置的长方体容器，其容积为 V，底面的长为 a，宽为 b，当容器内的水占容积的 时，水面的高度为多少？ V水=V• 水的容积： 容器底面积： 水面的高度 h=V水÷ =V• 解： 新知巩固 4. 大拖拉机 m 天耕地 a hm2，小拖拉机 n 天耕地 b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？ 解：大拖拉机的工作效率是 hm2/天， 小拖拉机的工作效率是 hm2/天， 大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍数： ÷ 真题感知 1．（24-25八年级上·山东淄博·期中）计算 (1) 解： 真题感知 2.（24-25九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式 的值也是整数，则满足条件的的个数是（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 解： 若要 的值为整数，只需 为整数即可， 可以是±1， ±3， ±5， ±,5 解得满足条件的 的个数共有8个 D 课堂小结 １． 分式乘法的法则是什么? 用式子如何表示? ２． 分式除法的法则是什么? 用式子如何表示? ３． 分式乘除法的运算结果应化成什么? 分式的乘除 乘法的法则 除法的法则 转化 运算结果应化成最简分式或整式 分式的乘除法法则应用 ①若分子、分母都是单项式，把分子、分母分别相乘，约去公因式，最后化为最简分式或整式； ②若分子、分母有多项式，先把多项式分解因式，看能约分的先约分，然后相乘； ③分式与分式相除时，按照法则先转化为乘法，再运算. 注意事项 课堂小结 课后练习 计算： ⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ ; 解： ⑴ ⑵ = ⑶ =• = ⑷ =• = 课后练习 2. 计算： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ； 解： ⑴原式== ⑵原式== ⑶原式== ⑷原式 课后练习 3. 如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种 m 颗花种，哪一个花坛的撒播密度大？ (撒播密度=) 解：甲花坛的撒播密度为 乙花坛的撒播密度为 所以甲花坛的撒播密度大. 因为 a a b b 课后练习 4. 一艘船顺流航行 n km 用了 m h，如果逆流航速是顺流航速的 ，那么这艘船逆流航行 t h 走了多少路程？ 解：由题意得，船顺流航行速度为 : km/h， 所以船逆流航行速度为: · = km/h. 所以这艘船逆流航行 t h 走的路程为 km). 答：这艘船逆流航行 t h 走的路程为 km. 课后练习 5. 在一块 a hm2 的稻田上插秧，如果 10 个人插秧，要用 m 天完成；如果一台插秧机工作，要比 10 个人插秧提前 3 天完成. 一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？ 解：由题意得，一个人的工作效率为 , 一台插秧机的工作效率为 , 答：一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍. 课后练习 6. 在调配饮料时，需要考虑不同原料的质量配比.如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品是 1 kg，甲、乙两种原料的配比是 x : y，那么需要甲原料多少千克？ 解：需要甲原料 感谢聆听! $