22.1.1从分数到分式（教学课件）数学新教材人教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦分式概念及有意义、值为零的条件，从轮船顺逆流航行问题导入，先回顾整式概念，通过类比分数抽象出分式定义，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以实际问题为背景发展数学眼光，通过议一议、表格对比培养推理意识，用典例分析强化模型意识。采用类比与实例结合的教学方法，课堂小结系统梳理知识，助力学生提升抽象能力，也为教师提供结构化教学资源。

22.1 分式及其基本性质 第22章分式 第１课时　从分数到分式 学 习 目 标 1 2 1.以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并了解分式的概念. 能够通过分式的概念理解和掌握分式有意义的条件. 3 通过分数与分式的类比，使学生亲身经历探究整式扩充到分式的过程，初步学会运用类比、转化的思想方法研究数学问题. 知识回顾 名 称 含 义 共同点 单项式 多项式 整 式 １．同学们还记得什么是单项式? 什么是多项式? 什么是整式吗？ 数与字母乘积形式的代数式 几个单项式的和 单项式与多项式统称为整式 分母里不含字母 2.下列各式哪些是整式？ 导入新课 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等.江水速度是多少？ 新知探究 探究点1 认 识 分 式 议一议 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等.江水速度是多少？ （1）如果设江水速度为 v km/h，轮船顺流航行 90 km 所用时间是多少？逆流60km所用时间是多少？你能用代数式表示吗? 路程（km） 速度（km/h） 时间（h） 顺 流 逆 流 90 km 60 km 代数式书写除号用分数线代替 路程÷ 速度=时间 问题1.（1）若长方形的面积为10cm2，长为7cm，则宽应为　 ；若长方形的面积为10cm2 ，长为a，则宽应为　 . 问题2.（1）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中， 则水面高度为　 　； 把体积为v的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，则水面高度为 　. 问题3.在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行 a km 用时 b h，则他的平均速度为_____km/h；若他在上坡滑行 a km 比在平地滑行同样多的距离多用 c h，则他的平均速度为 km/h. 新知探究 探究点1 认 识 分 式 议一议 （2）思考下列问题并填空： 　 cm 　 cm 　 分母里有字母 分数 分数 S a ? V S 新知探究 探究点1 认 识 分 式 议一议 （3）小学时候我们学习过分数，上述问题中的式子 ，， ，有什么共同点？是整式吗？ 它们与分数一样都是 （即A÷B）的形式 分子、分母都是整式，并且分母中都含有字母. ٭它们与分数有什么相同点？ ٭它们是整式吗？ 都不是整式.因为不是数与字母相乘形式 ٭它们与分数有什么不同点？ 分数分子、分母都是整数 整数 整数 整式 整式 分母中都含有字母 新知探究 探究点1 认 识 分 式 归一归 分式和分数的异同点   分数 分式 相同点 不同点 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式.在分式中，A叫作分子，B叫作分母. 分式概念 都是形如的式子 A与B都是整数，即都不含字母 A与B都是整式，并且B中一定含有字母，分式比分数更具有一般性 仅表示2÷3的商，而分式 既可以表示2÷3，又可表示(– 5)÷2，8÷(– 9)等. 整数 整数 整式 整式(含字母) 分数 分式 实质： 分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具有一般性. 具体化 一般化 令S = 100，a = 7 新知探究 议一议 分数与分式的关系 探究点1 认 识 分 式 典例分析 例1.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 3x2－1，，，－5，，，. 探究点1 认 识 分 式 整式 分式 3x2－1 －5 注意：含有π的式子，π是常数 分子 分母 分式 新知探究 探究点2 分式有意义、无意义的条件 议一议 从下列4个整式中任选两个分别作为分子和分母，你能构造多少个分式？ 8，x，x2－1，x－1 （1） 4个整式中哪一个不能做分母？ 8 8 8 8 x x x2－1 x2－1 （2） 试一试，完成下列表格 x－1 x－1 x x x2－1 x2－1 x－1 x－1 x x－1 x2－1 ， （3）给x选几个适当的值，并求出各分式的值.有什么发现？ x的值 … －2 －1 0 1 2 … … … … … … … 新知探究 探究点2 分式有意义、无意义的条件 议一议 从下列4个整式中任选两个分别作为分子和分母，你能构造多少个分式？ 8，x，x2－1，x－1 －4 －8 无意义 8 4 － 无意义 0 无意义 －1 0 1 无意义 3 x取值由限制，有的数使分母为0 ，除法无意义 新知探究 探究点2 分式有意义、无意义的条件 议一议 当B≠0时，分式才有意义；当B＝0时，分式无意义. （4）我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？ 整式 整式 分式 A ÷ B = 　 被除式÷除式 = 商 当B≠0时，分式 有意义 当B=0时，分式 无意义 分式的分母表示除数，除数不能为0，分式的分母不能为0. 典例分析 探究点2 分式有意义、无意义的条件 例2.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ （1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1）要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0； （2）要使分式有意义，则分母x－1≠0，即x≠1； （3）要使分式有意义，则分母5－3b≠0，即b≠； （4）要使分式有意义，则分母x－y≠0，即x≠y. 典例分析 探究点3 分式的值等于0的条件 例3 当 x 为何值时，分式 的值为零? 解： ∴当 x = 1 时分式的值为零 得 ： x≠-1. x + 1≠0， 得： x = ±1. x2 - 1 = 0， 由除法法则可知，0除以任何不为0的数，商是0。 若=0，则分子等于零而分母不等于零 分 析 ∵ = 0 ∴ 由 x2 - 1 = 0， 由 x + 1≠0， 分式 的值为零应满足什么条件？ 当 A = 0 而 B≠0 时，分式 的值为零. 注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况. 新知探究 探究点3 分式的值等于0的条件 议一议 典例分析 探究点3 分式的值等于0的条件 例4.已知分式 ，解答下列各题 (2) 当x为何值时，分式有意义? (1) 当x为何值时，分式无意义? (3) 当x为何值时，分式的值为零? 解： 分式无意义，即分母 x－2=0，得 x = 2. 若 =0，则分母 x－2 ≠0 且分子x2–4=0， 由x－2≠0，可知 x≠2， ∴当x= 2时，分式 无意义. 由x2–4=0，得 x=±2， ∴x = 2. ∴当x =2时，分式的值为零. 解： 分式无意义，即分母 x－2≠0，得 x≠2. ∴当x≠ 2时，分式 无意义. 解： 1.下列各式：①；② ；③ 2x－1；④ . 其中　 　是整式，　 　是分式.（填序号） 拓展延伸 2.若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A.x＞－1 B.x≠－1 C.x≥－1 D.x≤－1 3.当x＝2时，下列分式中无意义的是（　　） A. B. C. D. B B ① ③ ② ④ 注意：式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式 拓展延伸 4.在分式 中，如果x= – a,则下列结论中正确的是( ) 不论a为何值，分式都无意义. 不论a为何值，分式的值均为零. 若a≠ ，则分式的值是零. 若a≠－ ，则分式的值是零. D ∴当 a ≠－ ，分式的值是零. 当-时，分式有意义 当x = – a时 解： 拓展提升 5. x 满足什么条件时下列分式无有意义? ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3) ． 解: ( １)当 | x |－１=０ ,即 x =±１ 时,分式无意义 ． ( ２ )∵不论 x 取什么值,都有 ＋３＞０ , ∴x取任何实数,分式 都意义 ． ∴的值让分式 无意义 ( ３ ) 当( x －２ )( x ＋４ ) =０ 时分式无意义 即 ( x －２ )=0 或 ( x ＋４ ) =０ ∴x =２或 x =－４ ∴当x =２或 x =－４分式无意义 ． 拓展提升 6. 当 x 取什么值时,下列分式的值为 ０ ? ( １ ) ; 　 ( ２ ) ． 解:( １)由 得 x ＝４ , ∴当 x ＝４ 时,分式的值为 ０． ( ２ )无解, ∴没有使分式 的值为 ０ 的 x 的值 ． 新知巩固 1. 列式表示下列各量： （1）某村有 n 个人，耕地 40 hm2，则人均耕地面积为____hm2. （2）△ABC的面积为 S，边 BC 的长为 a，则高 AD 为____. 2. 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？ 解：分式： 整式： 两类式子的区别在于整式的分母中不含字母，而分式的分母中含有字母. 3. 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ ⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ； ⑸ ； ⑹ ； 解：⑴ a ≠ 0； ⑵由≠0得：x ≠ 1； ⑶由≠0得： m≠－； ⑷由≠0得： x ≠ y； ⑸由≠0得： a≠； ⑹由≠0得： x ≠ – 2. 新知巩固 4.分式可以表示现实生活中的某些数量关系. 请你构造一个问题情境，使其中的数量关系可以用分式 表示. 解：大公鸡 a 元 1 只，100元可以买多少只? 100元可以买 只鸡 新知巩固 1. [2024泉州多校联考二模] 若分式有意义，则实 数 的取值范围是 . 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）根据下列表格中的信息， y代表的分式可能是（ ） x … -2 -1 0 1 2 … y … 0 无意义 * 无意义 * … A． B． C． D． 真题感知 解：由表格可知，当时分式无意义， ∴A不合题意； ∵当时，分式无意义， ∴B不合题意； ∵时分式的值为 ，∴C不符合题意，符合题意， D 从分数到分式 分式 中， 当分母B=0时， 分式 无意义. 当分母B≠0时，分式 有意义. (与分子A无关) 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．A叫做分子，B叫做分母. 当A=0且B≠0时，分式 的值为零. 课堂小结 课后练习 1. 填空并判断所填式子是不是分式. （1）一位作家先用 m 天写完了一部小说的上集，又用 n 天写完下集，这部小说(上、下集)共120万字，这位作家平均每天的写作量为 万字； 是分式 （2）走一段长 10 km的路，步行用 2x h，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少 0.2 h，骑自行车的平均速度为 km/h； （3）甲完成一项工作需 t h，乙完成同样工作比甲少用 1 h，乙的工作效率为_______. 是分式 是分式 课后练习 2. 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ ，x－1， ， ， ， ， (x+y) ， . 分式： , , , , 整式： x－1, , (x+y) , , 课后练习 3. x 满足什么条件时下列分式有意义？ ⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ ; 解（1）由≠0得：x ≠ 3； （2）由≠0得： m≠－； （3）由得： x 为任意实数 （4）由 得： x ≠ ±4 ； 4.某村种植了 m hm2 玉米，总产量为 n kg；水稻种植面积比玉米的种植面积多 p hm2，水稻的总产量比玉米总产量的 2 倍多 q kg. 写出表示玉米和水稻的单位面积产量(单位：kg/hm2)的式子. 解：玉米的单位面积产量为kg/h. 水稻的单位面积产量为 kg/h 课后练习 5.在什么条件下，下列分式的值为 0？ ⑴ ; ⑵ . 解：(1)要使分式的值为 0，必须有 = 0，且 ≠ 0， ∴ x = 2. 即当 x = 2 时，分式 的值为 0. (2)要使分式的值为 0，必须有 5a – b = 0，且 a + b ≠ 0， 所以 b = 5a，且 a ≠ – b. 即当 b = 5a，且 a ≠ – b 时，分式 的值为 0. 课后练习 感谢聆听! $