21.1用提公因式法分解因式（第2课时）（教学课件）数学新教材人教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦用提公因式法分解稍复杂因式，通过知识回顾（提公因式步骤、公因式确定）和练一练巩固基础，再以含多项式公因式的例题导入新课，搭建从简单到复杂的知识支架，帮助学生衔接前后知识点。 其亮点在于采用“议一议”引导分步探究公因式确定，结合整体思想和符号变换，培养推理意识与抽象能力。典例含错误分析和代数推理，通过问题驱动和分层练习，小结系统归纳步骤。助力学生提升逻辑推理能力，为教师提供丰富教学资源，提高教学效率。

21.1 用提公因式法分解因式 第21章 因式分解 第2课时　用提公因式法分解稍复杂的因式 学 习 目 标 1 2 进一步探究用提公因式法分解稍复杂的因式,能找准公因式，熟练掌握用提公因式法分解因式,； 能运用整体思想进行因式分解，强化对于提公因式法的理解 ； 3 了解代数推理,熟悉与提公因式法进行因式分解相关的代数推理题,培养综合性思维与逻辑推理能力 ． 知识回顾 写成乘积的形式 确定公因式 用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个公因式 提取公因式 先确定系数，再确定字母和字母的次数 提公因式法的一般步骤： 确定另一个公因式 3 知识回顾 取各项系数的最大公约数 三步确定公因式 ③定次数 ②定字母 ①定系数 取各项中的相同字母 取相同字母的最低次数 当各项都是整数时 公因式的确定： 1.请尝试指出下列多项式的公因式： 知识回顾 练一练 公因式： 公因式： 公因式： 解：原式 =x(3x-6y). 把3x2 - 6xy+x分解因式. 2.小亮的解法有误吗？ 错误 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1. 正确解： 原式=3x·x-6y·x+1·x =x(3x-6y+1) 注意：某项是公因式提出莫漏项. 导入新课 (１ ); (２ ) ４ ＋２＋２c ; (３ ) ( x ＋１)( x －1) －３ ( x －１) ． 请尝试指出下列多项式的公因式 它们有公因式吗? 如果有,它们的公因式各自是什么样的呢? 又该如何进行因式分解呢? 新知探究 探究点1 提公因式为稍复杂的单项式的因式分解 议一议 把 ８ ＋１２c 分解因式 ． （1）一看系数， ８ 与12c系数８与12的最大公因数是多少？ （2）二看字母: 和 c 的相同字母有哪些？ （3）三看指数: a 的最低指数是 　　，b 的最低指数是 　 １ ２ （4） ８ 与12c公因式是什么？ 　 ——最大公因数是4 ——相同字母有 ——公因式是4ab2 新知探究 探究点1 提公因式为稍复杂的单项式的因式分解 议一议 （5）如果提出公因式 4ab ,另一个因式是否还有公因式? 把 ８ ＋１２c 分解因式 ． 8 ＋ 1c 4ab• 2b 4ab• 3c 8 ＋ 1c =4ab• 2b +4ab• 3c =4ab•（2b +3c ） 还有公因式 b 分解因式不彻底 例1. 把8a3b2+12ab3c分解因式. 解：8a3b2+12ab3c =4ab2·2a2+4ab2·3bc =4ab2(2a2+3bc). 按照整式乘法把得到的因式相乘 将得到的结果与原式对比 相等 不相等 因式分解是正确的 因式分解是错误的 如何检查因式分解是否正确？ 探究点1 提公因式为稍复杂的单项式的因式分解 新知探究 例2．下列多项式分解因式，正确的是( ) A．8abx－12a2x2＝2ax(4b－6ax) B．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y) C．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2) D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2) C 一、公因式要提尽； 二、某项提出莫漏项； 三首项有负常提负. 探究点1 提公因式为稍复杂的单项式的因式分解 典例分析 知识点拨 10 新知探究 探究点2 提公因式为多项式的因式分解 （1）提公因式时，公因式可以是多项式吗？找出下列各式的公因式. 议一议 ② 2a(y－z)－3b(z－y) 注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. ① p(a2+b2)－q(a2+b2) 看成整体，公因式（a2+b2） 公因式（z－y） 2a(y－z)－3b[－(z－y)] 相反数 2a(y－z)＋3b(z－y) 典例分析 探究点2 提公因式为多项式的因式分解 例 3.分解因式: (１ ) (２ ) ＝４ • (a － b ) ＋４ •２ ＝４ (a － b ＋２ ) ( ２ ) 分析: 将（）看成整体， －)的公因式是（）， 可以用提公因式法分解因式; 解:(１ ) 分析: 将（）看成整体 ∵ ∴ 与 有公因式４ 新知探究 探究点2 提公因式为多项式的因式分解 议一议 请在下列各式等号右边填入“＋”或“－”号,使等式成立. (1) 2-a=____(a-2) (2) y-x=_____(x-y) (3) b+a=_____(a+b) － (6)-m-n= _____(m+n) (5) –s2+t2=_____(s2-t2) (4) (b-a)2=_____(a-b)2 － ＋ ＋ － － （2）两个只有符号不同的多项式有怎样的关系？ 新知探究 探究点2 提公因式为多项式的因式分解 归一归 （3）两个只有符号不同的多项式变号规律 (1)a-b 与 -a+b 互为相反数（当相同字母前的符号均相反时）. (a-b)n = (b-a)n (n是偶数） (a-b)n = -(b-a)n (n是奇数） (2) a+b与b+a 相等（当相同字母前的符号相同时） (a+b)n = (b+a)n (n是整数） a+b 与 -a-b 互为相反数. (-a-b)n = (a+b)n (n是偶数） (-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数） “偶”等“奇”反 (1)a(x－y)＋b(y－x) ＝a(x－y)－b(x－y) ＝(x－y)(a－b)； 解： 例4.把下列各式因式分解： (1)a(x－y)＋b(y－x)； (2)6(m－n)3－12(n－m)2. (2)6(m－n)3－12(n－m)2 ＝6(m－n)3－12[－(m－n)]2 ＝6(m－n)3－12(m－n)2 ＝ 6(m－n)2(m－n－2). 典例分析 探究点2 提公因式为多项式的因式分解 －(x－y) (m－n)2 典例分析 探究点2 提公因式为多项式的因式分解 例5．将x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2进行因式分解，并求当x＋y＝1，xy＝－ 时此式的值． 解：x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2 ＝x(x＋y)[(x－y)－(x＋y)] ＝－2xy(x＋y)． 当x＋y＝1，xy＝－时， 原式＝－2×(－ )×1＝1. 把6x2y+18xy2分解因式. 解：原式 =3xy(2x + 6y). 公因式没有提尽，还可以提出公因式2 注意：公因式要提尽. 例6.小明的解法有误吗？ 典例分析 错误 解：6x2y+18xy2 =6xy•x+6xy•3y =6xy(x+3y) 2．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是(　　) A．3 B．2 C．1 D．－1 拓展提升 1. ( １ )多项式 6c －３bc ＋ 的公因式是 　 　 ; (２ )多项式 的公因式是 　． A ３ ab ) (m－n)2－2m＋2n ＝ (m－n)2－2（m－n） ＝ （m－n）（ m－n－2 ） 解： ∵m－n＝－1 ∴原式＝ （m－n）（ m－n－2 ） ＝（－1）×（－1 －2 ） ＝3 －2m＋2n=－2（ m－n ） 局部先提公因式进行变形，再与其他项形成公因式 拓展提升 3．若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于(　　) A．y－x B．x－y C．3a(x－y)2 D．－3a(x－y) C 9a2(x－y)2－3a(y－x)3 解： =3a(x－y)2 •3a＋ 3a(x－y)2 •(x－y) =9a2(x－y)2＋3a(x－y)3 =3a(x－y)2 （3a＋ x－y) 4.观察下列多项式的因式分解过程： 按此规律，把多项式 因式分解的结果是 拓展提升 解： 拓展提升 5.分解因式: (１ ) (2 ) 　　　　　　　　 ( 3 ) 解:( １ ) （2） ( 3 ) 提公因式后要化简 1. 分解因式： （1）8m2n + 2mn； （2）4a2b + 10ab – ab2； （3）p(a2 + b2) – q(a2 + b2)； （4）2a(y – z)3 – 4b(z – y)3. 解：(1) 原式 = 2mn·4m + 2mn·1 (2) 原式 = ab·4a + ab·10 – ab·b = ab(4a + 10 – b) = 2mn(4m + 1) (3) 原式 = (p – q)(a2 + b2) (4) 原式 = 2a(y – z)3 + 4b(y – z)3 = (2a + 4b)(y – z)3 新知巩固 新知巩固 2. 先分解因式，再求值：4a2(x + 7) – 3(x + 7)，其中 a = – 5，x = 3 . 解：原式 = (4a2 – 3)(x + 7) 当 a = – 5，x = 3 时， 原式=(4a2 – 3)(x + 7) = [4×(–5)2]×(3 + 7) = 4×25×10 = 1000 真题感知 1.（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若 可以分解为 （）（），那么a－b 的值为（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 解： 一个多项式 几个整式积的形式 一个多项式 B 真题感知 2.（24-25八年级上·天津滨海新·期中）已知， 则 的值是 ． 解：∵， ∴ 本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子中括号内的式子提出公因式 -得到，据此代值计算即可 【分析】 提公因式法 （多项式） 确定公因式的方法 注意 定系数，定字母（或多项式），定指数 一找； 二提； 三分解. 提公因式法的步骤 提公因式法与多项式乘多项式是互逆的恒等变形 1、因式分解要彻底； 2、不要漏项； 3、底数相反时，提取“-”号要变号. 课堂小结 提公因式法 分解简单的多项式 分解稍复杂的多项式 公因式为数字或单个字母的单项式 公因式为稍微复杂的单项式或多项式 课后练习 1. 分解因式： （1）2mn2 + mn； （2）6xy2 – 8x2y3； （3）6a2b + 9ab2 – 15ab； （4）3m2n – 3mn + 6n； （5）4x2y3 + 8x3y2 + 12x4y； （6）2m(x – y) – 3n(x – y)； （7）2a(a – b)2 – (a – b)3； （8）x2(3y – 6) + x(6 – 3y). 解： (1) 原式 = mn(2n + 1) (2) 原式 = 2xy2(3 – 4xy) (3) 原式 = 3ab(2a + 3b – 5) (4) 原式 = 3n(m2 – m + 2) (5) 原式 = 4x2y(y2 + 2xy + 3x2) (6) 原式 = (x – y)(2m – 3n) (7) 原式 = (a – b)2[2a – (a – b)] = (a – b)2(a + b) (8) 原式 = x2(3y – 6) – x(3y – 6) = 3x(y – 2)·x – 3x(y – 2)·1 = 3x(y – 2)(x – 1) 课后练习 2. 先分解因式，再求值： （1）(a – 2)2 – 6(2 – a)，其中 a = – 2； （2）4x(y + 4) – x(y + 4)2，其中 x = 2，y = 5 . 当 a = – 2 时， 原式= (– 2 – 2)×(– 2 + 4) = (– 4)×2 = – 8 解：（1）原式 = (a – 2)2 + 6(a – 2) = (a – 2)(a – 2 + 6) = (a – 2)(a + 4) 当 x = 2，y = 5 时， 原式= – 2×5×(5 + 4) = – 90 解：（2）原式 = x(y + 4)·4 – x(y + 4)·(y + 4) = x(y + 4)(4 – y – 4) = –xy (y + 4) 课后练习 3. 已知 ab = 2，a – 4b = – 5，求 a2b – 4ab2 + ab 的值. 解： a2b – 4ab2 + ab = ab(a – 4b + 1) = 2×(– 5 + 1) = 2×(– 4) = – 8 课后练习 4. 设 n 为奇数，求证：n2 除以 8 的余数为 1. 证明：∵ n 为奇数，所以可设 n = 2a + 1. ∴ n2 = (2a + 1)2 = 4a2 + 4a + 1 = 4a(a + 1) + 1 ∵ a 与 a + 1 一定是一奇一偶， ∴ 4a(a + 1) 是 8 的倍数. ∴ 4a(a + 1) + 1 除以 8 的余数为 1. ∴ n2 除以 8 的余数为 1. 课后练习 5. 已知一个三角形的三边长分别为 a，b，c，且 ab – ac = b2 – bc，证明这个三角形是等腰三角形. 证明：∵ ab – ac = b2 – bc， ∴ a(b – c) = b(b – c). ∴ a = b 或 b – c = 0. ∴ a = b 或 b = c. ∴这个三角形是等腰三角形. 感谢聆听! $