21.1用提公因式法分解因式（第1课时）（教学课件）数学新教材人教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦“用提公因式法分解因式”，通过跳水比赛得分问题导入，联系整式乘法与因式分解的互逆关系，结合整数因式分解类比，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过整式乘法与因式分解的互逆对比发展推理意识，结合计算应用强化数学语言表达。采用问题驱动、小组讨论等方法，典例与练习结合，小结系统，帮助学生理解知识本质，教师可直接用于课堂教学提升效率。

21.1 用提公因式法分解因式 第21章 因式分解 第１课时　用提公因式法分解简单的因式 学 习 目 标 1 2 3 了解因式分解与整式乘法之间的关系 ． 了解因式分解的概念和提公因式法,并能用提公因式法分解简单的因式 ． 在探索因式分解的概念和提公因式法分解因式的过程中体会逆向思维,并启发学生用类比的思想方法思 考现实世界 ． 知识回顾 在求最小公倍数或最大公因数时需要将整数进行因式分解 33=___________. 6 =___________. 8 =___________. 42 =___________. 2×3 2×2×2 3×11 2×3×7 类似地，有时也需要将整式分解成几个因式乘积的形式. 导入新课 跳水比赛打分规则 pa + pb + pc ① p(a + b + c) ② 一个多项式 两个整式的乘积 在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出 某单人跳水选手完成了一个难度系数为 p 的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数 a，b，c，选手的得分可以怎样计算？ 两式相等 pa + pb + pc = p(a + b + c) 整式乘法 完成下列填空 (a ＋ b )( a － b ) ＝ ; ＝ ; ＝ ； x ( x ＋１ ) ＝ ; (x ＋１ )( x －１ ) ＝ ; ＝ ；　 新知探究 探究点1 因式分解的概念 做一做 － ; ＋ x －１ 　 ＋２x ＋１ － ＝ 　 ; ＋２ab ＋ ＝ 　 ; －２ab ＋ ＝ 　 ; ＋ x ＝ 　 ; －１＝ 　 ; ＋２x ＋１＝ 　． 你能将下列多项式写成整式的乘积的形式吗？ (a ＋ b )( a － b ) x (x ＋１ ) (x ＋１ )( x －１ ) 式子反过来将多项式变形整式乘积形式 新知探究 探究点1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式 ． 议一议 （1）什么是因式分解 定义 （2）因式分解与整式乘法有什么联系与区别? 因式分解与整式乘法是方向相反的变形 p(a + b + c) pa + pb + pc 整式乘法 因式分解 因式分解与整式乘法是互逆过程. （多项式） “和” （整式乘积） “积” 整式乘法 因式分解 区别 化“积”为“和” 化“和”为 “积” 典例分析 探究点1 因式分解的概念 例1. 下列各式从左到右的变形是否为因式分解? ① ( x ＋１ )( x －１ ) ＝－１ ; ②７ x －７＝７ ( x －１ ); ③ －４＝ (x ＋２ y )( x －２ y ); ④２x ( x －3 y ) ＝２ －６xy; ⑤ ＋ －４＝＋ (x －２ )( x ＋２ ) ． 解: ①④⑤ 不是因式分解, ②③ 是因式分解 ． 是否是因式分解看结果 －－乘积形式 整式乘法 因式分解 因式分解 整式乘法 不是因式分解也不是整式乘法 新知探究 探究点2 用提公因式法分解简单的因式 （1） 观察下列多项式有何共同特点? 各项都有公共的因式 。 各项都有公共的因式 　。 多项式各项都含有的公共的因式,叫作这个多项式各项的公因式 m＋n＋ pa + pb + pc 3x ＋３ 各项都有公共的因式 　. 公共特点： 各式中的各项都含有一个相同的因数或因式 议一议 ３ p （2） 什么是公因式 新知探究 探究点2 用提公因式法分解简单的因式 （4）请大家从系数、字母、指数三个方面以小组讨论的方式说一说公因式确定的方法 一看系数 二看字母 三看指数 最大公因数 相同字母 最低指数 议一议 （3）你能找出下面多项式的公因式吗？ 3•x 2 – 6 • x3 • y 看系数 3 看字母 x 单项式包括系数、字母、字母指数三个方面 看指数 2 新知探究 探究点2 用提公因式法分解简单的因式 一般地,如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因法 ． 归一归 说一说下面变形的原理是什么？ pa＋pb＋pc＝ p ( a ＋ b ＋ c ) 乘法对加法分配律 将公因式p提出来 提公因法 步骤 ① 步骤 ② pa＋pb＋pc除以p的商 典例分析 探究点2 用提公因式法分解简单的因式 (１) ＋; (２) ３ －４＋ x ． (２ ) ３ －４ ＋ x ＝ x ·３x － x· ４ ２ ＋ x ·１ ＝ x (３ x －４ ２ ＋１ )． 公因式：m 例2.分解因式 解: (１ ) ＋ = ＋ ＝ m ( ＋ ) 各项系数最大公因数是1，相同字母x，公因式：x 将x提出后第三项剩下1，不要漏写 多项式 公因式 因式分解结果 应提取的公因式是：各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。 例3.填一填 典例分析 探究点2 用提公因式法分解简单的因式 新知探究 探究点2 用提公因式法分解简单的因式 提取公因式法的一般步骤： （1）确定应提取的公因式； （2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式； （3）把多项式写成这两个因式的积的形式. 议一议 （5）如何检查因式分解是否正确? 在分解因式完成后,按照整式乘法把因式再乘回去,看结果是否与原式相同,如果相同就说明因式分解正确 ． 总结 典例分析 例 4.利用因式分解计算: 解:２１×３.１４＋６２×３.１４＋１７×３.１４ ＝３.１４× ( ２１＋６２＋１７ ) ＝３.１４×１００ ＝３１４． ２１×３.１４＋６２×３.1４＋１.７×３1.４． 各项都乘了3.14，可以将3.14看成公因式提出 拓展提升 1.分解因式: (１ ) －７ x ＋９ x３ ; (２ ) －２ab － a ; (３ ) －４ ＋１６ －２６． 解:(１ ) －７ x ＋９ x３ ＝－ x (７－９ x２ ); (２ ) －２b － a ＝ a ( －２b －１ ); (３ ) －４ ＋１６ －２６ ＝－２ (２ －８m＋１３ )． 拓展提升 例 ２　 利用因式分解计算: (１ ) ３９×27－１３×8１ (２ ) ＋3.９９×０.０１． 解： （1）３９×2７－１３×8１ ＝３×１３×2７－１３×8１ ＝１３× ( ３×2７－8１ ) ＝１３×０ ＝０ (２ ) 　 ＋ 3.９９ × ０.０１ ＝ １.９９ × (3.９９ ＋０.０１ ) ＝ １.９９ ×4 ＝３.９８． 如果直接计算太复杂,可以尝试着将某些数字拆分变形,使其有公因式可以提取,简化运算 3.试说明81７－27９－９13能被15整除 证明：８１７－２７９－９１３ ＝(３４)７－(３３)９－(３２)１３ ＝３２８－３２７－３２６ ＝３２６×３２－３２６×３－３２６×１ ＝３２６×(３２－３－１) ＝３２６×(９－３－１) ＝３２６×５ ＝３２５×３×５ ＝３２５×１５, 拓展提升 分析： 81７= (３４)７ 27９= (３３)９ ９13= (３２)１３ 化为同底数幂 新知巩固 1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ （1）4a(a + 2b) = 4a2 + 8ab； （2）a2 – 4 = (a + 2)(a – 2)； （3）x2 – 3x + 2 = x(x – 3) + 2 . 解：（1）4a(a + 2b) = 4a2 + 8ab不是因式分解， 是整式的乘法。 （2）a2 – 4 = (a + 2)(a – 2) 是因式分解 （3）x2 – 3x + 2 = x(x – 3) + 2 不是因式分解， 仍为多项式的和的形式，没有分解成两个因数的积。 新知巩固 2. 分解因式： （1）ax – ay； （2）a2 – 2a； 解：(1) ax – ay = a(x – y) (2) a2 – 2a = a·a – a·2 = a(a – 2) （3）a2 + ab； （4）xy – y2 + yz. (3) a2 + ab = a·a + a·b = a(a + b) (4) xy – y2 + yz = y·x – y·y + y·z = y(x – y + z) 新知巩固 3. 利用分解因式计算： （1）1.992 + 1.99×0.01； （2）49×20.22 + 52×20.22 – 20.22； （3）5×34 + 4×34 + 9×32. 解：(1) 1.992 + 1.99×0.01 = 1.99×1.99 + 1.99×0.01 = 1.99×(1.99 + 0.01) = 1.99×2 = 3.98 (2) 49×20.22 + 52×20.22 – 20.22 = 20.22×(49 + 52 – 1) = 20.22×100 = 2022 新知巩固 3. 利用分解因式计算： （1）1.992 + 1.99×0.01； （2）49×20.22 + 52×20.22 – 20.22； （3）5×34 + 4×34 + 9×32. (3) 5×34 + 4×34 + 9×32 = 5×34 + 4×34 + 32×32 = 5×34 + 4×34 + 34 = 34×(5 + 4 + 1) = 81×10 = 810 真题感知 1.（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 解： A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、 属于因式分解，符合题意． D 真题感知 2.（ 25-26八年级上·全国·课后作业 ）下列各式从左到右的变形是因式分解且正确的是（ ） B． D． A． C． A、 是整式的乘法，不符合题意； B、 没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不符合题意； C、提公因式 , 符合题意； D、利用整式乘法验证 ，不符合题意． C 解： 3.（ 2025·山东泰安·一模）分解因式3mn3-9m2n的结果是 ． 真题感知 解：3mn3-9m2n ＝3mn•n2-3mn•3m ＝3mn（n2-3m） 3mn（n2-3m） 课堂小结 2. 公因式： 一个多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式项的公因式． 3. 提公因式法： 把一个多项式中的公因式提出来， 从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法 一个多项式各项的公因式确定 (1) 各项整数系数的最大公约数； (2) 各项相同的字母； (3) 相同因式的指数取最低． 1.因式分解 ( a+b+c ) p pa+ pb +pc = 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解 公因式 提公因式法 课后练习 1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ （1）6ax – 3ax2 = 3ax(2 – x)； （2）a2 – b2 + 1 = (a + b)(a – b) + 1； （3）x(x – y) – y(x – y) = (x – y)2； （4）a2b – 3ab2 + ab = ab(a – 3b + 1). 解：（1）6ax – 3ax2 = 3ax(2 – x)； 是 （2）a2 – b2 + 1 = (a + b)(a – b) + 1， 不是，等号右边不是积的形式。 （3）x(x – y) – y(x – y) = (x – y)2 是 （4）a2b – 3ab2 + ab = ab(a – 3b + 1)，是 课后练习 2. 分解因式： （1）x + xy； （2）–2x + 3x2； （3）a2b + 5ab – b； （4）2mn – n2 + 8n. 解： (1) 原式 = x(1 + y) (2) 原式 = x(3x – 2) (3) 原式 = b(a2 + 5a – 1) (4) 原式 = n(2m – n + 8) 课后练习 3. 利用因式分解计算： （1）9992 + 999 解：(1) 原式 = 999×(999 + 1) = 999000 = 999×1000 (2) 原式 = 0.11×(17 + 37 – 46) = 0.11×8 = 0.88 （2）17×0.11 + 37×0.11 – 46×0.11 感谢聆听! $