22.5分式方程（第2课时列分式方程解决实际问题）（教学课件）数学新教材人教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦“列分式方程解决实际问题”，先复习解分式方程步骤及练习，通过回忆一元一次方程应用题步骤、工程问题相等关系等搭建支架，衔接旧知与实际应用。 其亮点是用表格梳理工程、行程等问题的数量关系，培养数学眼光的抽象能力，通过典例分析和真题感知发展数学思维的推理意识，以“审设列解验答”流程强化数学语言的模型意识。如工程问题表格分析工作量，助学生抽象关系，学生提升应用能力，教师获得系统教学资源。

22.5　分式方程 第22章分式 第2课时　 列分式方程解决实际问题 学 习 目 标 1 2 进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程 ． 运用分式方程解决实际应用问题时,会合理设未知数,找出相等关系并列出方程 ． 3 通过分式方程的应用教学,培养学生的数学应用意识,提高分析问题和解决问题的能力 ． 知识回顾 解分式方程的一般步骤 一去 二解 三验 四写 去分母，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程. 解这个整式方程. 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 写出原分式方程的解. 基本思路 去分母 分式方程 整式方程 转化 知识回顾 练一练 解:方程两边乘 2 得： 4＋3 ＝4． 解得 x ＝－3． 检验:当 x ＝－3 时, 2＝0 , ∴ x ＝－3不是原分式方程的解 ． ∴原分式方程无解 ． 解方程 + = 在解决生活实际问题中,有时需要列、解分式方程,那我们就一起来学习如何用分式方程解决实际问题吧! 4 新知探究 探究点1 列分式方程解决工程问题 议一议 （1）请大家回忆一下一元一次方程中列方程解应用题的步骤有哪些? 审、找、设、列、解、验、答 （2）请大家填一填工程问题的相等关系: 工作总量 ＝　 工作效率 ×（ ） 工作时间 工作时间＝　工作总量 ÷ （ ） 工作效率 （3）借助这个相等关系回答下面问题: 一件工作,甲单独做需 a h 完成,乙单独做需 b h 完成, 则甲的工作效率为（ ）,乙的工作效率为（ ） , 则甲、乙合作需（ ） h 完成 ． 1÷(+) 典例分析 探究点1 列分式方程解决工程问题 例 1. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 思 考： 甲队 １ 个月完成总工程的 乙队单独1个月能完成总工程的 （ ） 甲队单独完成总工程需要（ ）月 设乙队单独完成总工程需要（ ）月 等量关系1： ＋两队共同工作半个月完成的总工程量＝1. 甲队半个月完成总工程的（ ） 乙队半个月完成总工程的（ ） ， ＋乙队工作半个月完成的工程量＝1. ＋＋＝1 可列方程： 等量关系2： 工作效率 工作时间 工作量 甲队 乙队 典例分析 探究点1 列分式方程解决工程问题 例 1. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 也可用表格梳理数量关系: 分析： ＋× 1＋ ＋乙队工作半个月完成的工程量＝1. 等量关系： ＋＋＝1 可列方程： 典例分析 探究点1 列分式方程解决工程问题 例 1. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 由题意可得 ＋＋＝1. 方程两边乘6x，得 2x＋x＋3＝6x. 解得x＝1. 解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的.记总工程量为1， 检验：当x＝1时，6x≠0.所以， 原分式方程的解为x＝1. ∴乙队单独施工1个月可以完成全部任务 ∵甲队单独完成总工程需要3个月 ∴乙队的施工速度快. 解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系． 典例分析 例2. 为扎实推进“五育”并举工作,加强劳动教育,某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程 ． 课程开设后学校花费 6000 元购进第一批面粉,用完后学校又花费 9600元购进了第二批面粉,第二批面粉的采购量是第一批采购量的 1.5倍,但每千克面粉价格提高了 0.4元 ． 求第一批面粉的采购量 ． 等量关系： 第二批面粉的每千克面粉价格 － 第一批面粉的每千克面粉价格 ＝0.4” 总费用（元） 采购量（kg） 单价（元/kg） 第一批面粉 第一批面粉 设第一批面粉的采购量为 x kg 分析 6000 9600 x 1.5x 典例分析 例2. 为扎实推进“五育”并举工作,加强劳动教育,某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程 ． 课程开设后学校花费 6000 元购进第一批面粉,用完后学校又花费 9600元购进了第二批面粉,第二批面粉的采购量是第一批采购量的 1.5倍,但每千克面粉价格提高了 0.4元 ． 求第一批面粉的采购量 ． 解:设第一批面粉的采购量为 x kg． 由题意,得 －＝0.4． 方程两边乘 15x ,得 96000－6000×15＝0.4×15 x ． 解得 x ＝1000． 检验: 当 x ＝1000 时, 15 x ≠0． 所∴原分式方程的解为 x ＝1000． 答:第一批面粉的采购量为 1000kg． 新知探究 探究点1 列分式方程解决工程问题 议一议 审：审清题意，找出题中的相等关系， 分清题中的已知量、未知量； 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程； 解：解所列分式方程； 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解， 又要检验所得的解是否符合实际问题的要求； 答：写出答案. 列分式方程解决实际问题的一般步骤 典例分析 探究点2 列分式方程解决行程问题 例 3. 某次列车平均提速v km/h.在相同的时间内，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 列出方程： ＝ ． 分析： 题目中的字母v，s表示已知数据 设提速前列车的平均速度为x km/h 路程（km） 时间（h） 速度（km/h） 提速前 提速后 s s+50 ＋v 用表格梳理数据如下 相等关系 提速前列车行驶 s km 所用时间 ＝ 提速后列车行驶()km 所用时间 典例分析 探究点2 列分式方程解决行程问题 解：设提速前列车的平均速度为x km/h，根据行驶时间的等量关系，得 ＝ 方程两边乘x(x＋v)，得： s(x＋v)＝x(s＋50). 解得： x＝ 检验：由于v，s都是正数， 当x＝时，x(x＋v) ≠0. ∴原分式方程的解为x＝. 例3. 某次列车平均提速v km/h.在相同的时间内，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 答：提速前列车的平均速度为 km/h. 典例分析 探究点2 列分式方程解决行程问题 例4. 甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地.已知A，B两地的距离为30 km，甲每小时比乙多走3 km，并且比乙先到40 min.若设乙每小时走x km，则可列方程 。 可列方程：　－＝　. 行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程 路程（km） 时间（h） 速度（km/h） 甲 乙 30 30 设乙每小时走x km 分析： x 乙用的时间-甲用的时间=40 min 等量关系： 　－＝　 典例分析 例5.某工厂制作A，B两种产品，已知用72kg原材料制成A种产品的个数比制成B种产品的个数少9个，且制成一个A种产品比制成一个B种产品需要多用60％的原材料.求制作1个A种产品、1个B种产品各需要多少千克原材料. 设制作1个B种产品需要x kg原材料 分析： 制作1个A种产品需要 原材料 用72kg原材料制成A种产品的 个 用72kg原材料制成B种产品的 个 等量关系 72kg原材料制成A种产品的个数+9= 72kg原材料制成B种产品的个数 典例分析 例5.某工厂制作A，B两种产品，已知用72kg原材料制成A种产品的个数比制成B种产品的个数少9个，且制成一个A种产品比制成一个B种产品需要多用60％的原材料.求制作1个A种产品、1个B种产品各需要多少千克原材料. 解：设制作1个B种产品需要x kg原材料.依题意，得 ＋9＝， 解得： x＝3. 经检验，x＝3为原方程的解. ∴（1＋60％）x＝4.8. 答： 制作1个B种产品需要3 kg原材料， 制作1个A种产品需要4.8kg原材料. 典例分析 例6.为加快公共领域充电基础设施建设,某停车场计划购买 A , B 两种型号的充电桩 ． 已知 A 型充电桩比 B 型充电桩的单价少 0.3 万元，且用 15 万元购买 A 型充电桩与用 20 万元购买 B 型充电桩的数量相等。求 A , B 两种型号充电桩的单价各是多少? 解:设 A 型充电桩的单价为 x 万元, 则 B 型充电桩的单价为(x ＋0.3)万元 ． 根据题意,得： ＝ 方程两边乘 x (x ＋0.3)，得：15 (x ＋0.3) ＝20 x ． 解得： x ＝0.9． 检验:当 x ＝0.9 时, x (x ＋0.3)≠０． ∴原分式方程的解为 x ＝0.9 ． ∴ x ＋0.3 =1.2． 答: A 型充电桩的单价为 0.9万元， B 型充电桩的单价为 1.2万元 ． 拓展提升 1.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼,派王老师和李老师去购买一些篮球和排球 ． 回校后,王老师和李老师编写了一道题: 同学们,请求出篮球和排球的单价各是多少元 ． 分析: 单价（元） 数量（个） 总价（元） 排球 篮球 设排球的单价为 x 元 x x ＋60 2000 3200 等量关系 2000元购买排球数量=3200购买篮球数量 拓展提升 解:设排球的单价为 x 元,则篮球的单价为(x ＋60)元 ． 根据题意,列方程得 ＝ 方程两边乘x(x ＋60), 得 2000(x ＋60) ＝3200 x ． 解得 x ＝100 ． 1.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼,派王老师和李老师去购买一些篮球和排球 ． 回校后,王老师和李老师编写了一道题: 同学们,请求出篮球和排球的单价各是多少元 ． 检验:当 x ＝100 时, x(x ＋60) ≠０ ∴原分式方程的解为： x ＝100 ． ∴(x ＋60) ＝160． 答:排球的单价为 100 元， 篮球的单价为 160 元 ． 拓展提升 2.抗洪抢险时,需要在一定时间内筑起拦洪大坝,甲队单独做正好按期完成,而乙队由于人少,单独做则超期 3h才能完成 ．现甲、乙两队合作 2h后,甲队又有任务,余下的由乙队单独做,刚好按期完成 .甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时? 设甲队单独完成需要 x h ,则乙队单独完成需要(x＋3) h． 工作效率 工作时间 工作量 甲 乙 等量关系 可列方程 + =1 甲工作量 ＋ 乙工作量 ＝１ 2 x 分析: 拓展提升 解:设甲队单独完成需要 x h 由题意,得 ＋＝1． 方程两边乘 x ()得 2 ()＋ ＝ x ()． 解得： x ＝6 ． 检验: 当 x ＝6时, x () ≠０． ∴原分式方程的解为 x ＝6 ． ∴＝9． 2.抗洪抢险时,需要在一定时间内筑起拦洪大坝,甲队单独做正好按期完成,而乙队由于人少,单独做则超期 3h才能完成 ．现甲、乙两队合作 2h后,甲队又有任务,余下的由乙队单独做,刚好按期完成 .甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时? 答:甲队单独完成全部工程需 6h ， 乙队单独完成全部工程需 9h． 拓展提升 3.“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花的盒数的2.5倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价. 解：设第一批盒装花每盒的进价是x元，根据题意得： 　2.5·＝　 解得：　x＝15. 经检验，　x＝15是原分式方程的解　 ∴原分式方程的解为：　x＝15　. 答：　第一批盒装花每盒的进价是30元　. 方法一 拓展提升 3.“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花的盒数的2.5倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价. 解：设第一批盒装花购买了y盒，根据题意得： 　 解得：　 ＝200 经检验，　y＝15是原分式方程的解　 ∴第一批盒装花每盒的进价：15. 答：　第一批盒装花每盒的进价是15元　. 方法二 1. 八年级学生去距学校 30 km 的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了 5 min，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达. 已知中巴的平均速度是大巴平均速度的 1.2 倍，求大巴的平均速度. 新知巩固 解：设大巴的平均速度是 x km/h，则中巴的平均速度是 1.2x km/h.由题意，得 . 方程两边乘 60x，得： 1800 – 5x = 1500 解得 x = 60. 检验：当 x = 60 时，60x ≠ 0. 所以 x = 60 是原方程的解. 答：大巴的平均速度为 60 km/h. 新知巩固 2.甲、乙二人做某种机械零件. 已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等. 求甲、乙每小时各做零件多少个. 解：设乙每小时做 x 个零件，则甲每小时做 (x + 6) 个零件. 由题意，得 . 方程两边乘 x(x + 6)，得 90x = 60(x + 6) 解得 x = 12. 检验：当 x = 12 时， x(x + 6) ≠ 0. ∴ x = 12 是原方程的解. ∴ x + 6 = 18. 答：甲每小时做 18 个零件，乙每小时做 12 个零件. 真题感知 1.(2024武汉经开区模拟) 【教材母题】两个小组同时开始攀登一座 450m 高的山,第一组的平均登高速度是第二组的 1.2 倍,他们比第二组早 15min 到达顶峰 ． 两个小组的平均登高速度各是多少? 如果山高为h m ,第一组的平均登高速度是第二组的 a 倍,并比第二组早 t min 到达顶峰,那么两组的平均登高速度各是多少? 【拓展延伸】如果山高为 h m ,第一组准备一半路程以 m / min 的速度攀登,另一半路程以 m / min的速度攀登( ≠ )；第二组准备全程以m / min 的速度攀登,请判断哪一组先到达顶峰,并说明理由 ． 解：设第二组的平均登高速度为x m / min , 则第一组的平均登高速度为 1.2x m / min , 由题意,得 － ＝15, 解得 x ＝5 ． 经检验, x ＝5 是原分式方程的解,且符合题意, ∴1.2x ＝6． 答:第一组的平均登高速度为 m / min , 第二组的平均登高速度为 5 m / min 【教 材 母 题1】 真题感知 1.(2024武汉经开区模拟) 【教材母题】两个小组同时开始攀登一座 450m 高的山,第一组的平均登高速度是第二组的 1.2 倍,他们比第二组早 15min 到达顶峰 ． 两个小组的平均登高速度各是多少? 如果山高为h m ,第一组的平均登高速度是第二组的 a 倍,并比第二组早 t min 到达顶峰,那么两组的平均登高速度各是多少? 【拓展延伸】如果山高为 h m ,第一组准备一半路程以 m / min 的速度攀登,另一半路程以 m / min的速度攀登( ≠ )；第二组准备全程以m / min 的速度攀登,请判断哪一组先到达顶峰,并说明理由 ． 【教 材 母 题2】 解：设第二组的平均登高速度为 y m / min ,则第一组的平均登高速度为ay m / min , 由题意,得： － ＝ t , 解得： y ＝． 经检验, y ＝是原分式方程的解，且符合题意 ∴ay＝． 答:第一组的平均登高速度为y ＝m / min , 第二组的平均登高速度为m /min ． 真题感知 1.(2024武汉经开区模拟) 【教材母题】两个小组同时开始攀登一座 450m 高的山,第一组的平均登高速度是第二组的 1.2 倍,他们比第二组早 15min 到达顶峰 ． 两个小组的平均登高速度各是多少? 如果山高为h m ,第一组的平均登高速度是第二组的 a 倍,并比第二组早 t min 到达顶峰,那么两组的平均登高速度各是多少? 【拓展延伸】如果山高为 h m ,第一组准备一半路程以 m / min 的速度攀登,另一半路程以 m / min的速度攀登( ≠ )；第二组准备全程以m / min 的速度攀登,请判断哪一组先到达顶峰,并说明理由 ． 第二组先到达顶峰 ． 理由如下: 因为第一组准备一半路程以 m / min的速度攀登,另一半路程以 m / min的速度攀登 ( ≠ ),所以第一组需要的时间 ＝ ÷ ＋ ÷ ＝ (＋) = ． 因为第二组准备全程以 m / min的速度攀登, 所以第二组需要的时间 ＝＝． 所以 － = － = ． 因为 ≠ ,所以 － ≠0 ,所以＞0 ,所以 ＞ ,所以第二组先到达顶峰 ． 【拓展延伸】 真题感知 2.（2024·黑龙江大庆·一模）从年到年，经过17年的冲刺，中国高铁技术迅疾跨入世界领先行列．年某“G”次等级列车行驶的里程，它的平均速度是年普通“Z”等级列车的倍，所用的时间比年普通“Z”等级列车少2小时．求某次“G”等级列车2024年的平均速度． 解：设年普通Z等级列车的平均速度为， 则年G等级列车平均速度为，根据题意得，， 即：， 解得 ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴ 答：某次G等级列车列车年的平均速度为． 3．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（    ） A． B． C． D． C 4．（2023·四川·中考真题）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． A 真题感知 5．（2024·湖北恩施·模拟预测）中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一．而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展．其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1800里远的城市，所需时间比规定时间多3天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 路程（里） 时间（天） 速度（里/天） 快马 慢马 x-3 1800 x+3 解：设规定时间为x天，根据题意得： ， 解得：． 经检验：是原分式方程的解． 答：规定时间为9天． 等量关系 真题感知 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 2.（2023·江苏南通·中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息— 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． 求x的值； 解：由题意列方程，得． 方程两边乘，得： ． 解得： ． 检验：当时，． ∴ 原分式方程的解为． 答：x的值为600． 工程问题 工程量÷工作效率=工作时间 分式方程 整式方程 整式方程的解 分式方程的解 实际问题的解 实际问题 列方程 去分母 解整式方程 检验 目标 目标 课堂小结 列分式方程解决实际问题 实际应用题中常见的基本数量关系 （1）行程问题：路程=速度×时间； （2）工程问题：工作总量=工作效率×工作时间； （3）生产问题：生产总数=生产原料÷单件原料 （1）审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出相等关系.当题目中包含多个相等关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的相等关系列方程. （2）设未知数时，一般题中问什么就设什么，即设直接未知数；若设直接未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，即设间接未知数；有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数. 课堂小结 列分式方程解决实际问题注意事项 课后练习 1. 甲、乙两人分别从距目的地 6 km 和 10 km 的两地同时出发，甲、乙的平均速度比是 3∶4，结果甲比乙提前 20 min 到达目的地. 求甲、乙的平均速度. 解：设甲的平均速度是 3x km/h，乙的平均速度是 4x km/h. 由题意，得 . 解得 x = 1.5. 经检验， x = 1.5 是原方程的解. 所以 3x = 4.5，4x = 6. 答：甲的平均速度是 4.5 km/h，乙的平均速度是 6 km/h. 课后练习 2. A，B 两种机器都被用来搬运化工原料，A 型机器比 B 型机器每小时多搬运 30 kg，A 型机器搬运 900 kg 所用时间与 B 型机器搬运 600 kg 所用时间相等，两种机器每小时分别搬运多少化工原料？ 解：设B型机器每小时搬运 x kg 化工原料，则A型机器每小时搬运 (x + 30) kg 化工原料. 由题意，得 . 解得 x = 60. 经检验， x = 60 是原方程的解. 所以 x + 30 = 90. 答：A、B两种机器每小时分别搬运 90 kg，60 kg 化工原料. 课后练习 3. 王芳 3 h 清点完一批图书的一半，刘伟加入清点另一半图书的工作，两人合作 1.2 h 清点完另一半图书. 刘伟单独清点这批图书需要几小时？ 解：设刘伟单独清点这批图书需要 x h，则刘伟的工作效率为 根据题意得王芳的工作效率为 所以 . 解得 x = 4. 经检验， x = 4 是原方程的解. 答：刘伟单独清点这批图书需要 4 h. 课后练习 4. 一个圆柱形容器的容积为 V m3，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间 t min. 求两根水管各自的注水速度. (提示:要考虑大水管的注水速度是小水管注水速度的多少倍.) 答：小水管的注水速度是m3/min ， 大水管的注水速度是 m3/min. ∴大水管的注水速度是：4x= 解：设小水管的注水速度是 x m3/min. ∵大水管的口径为小水管口径的 2 倍， ∴大水管的横截面积是小水管横截面积的 4 倍， ∴大水管的注水速度是 4x m3/min. 由题意，得 解得： 经检验， x = 是原方程的解. 课后练习 5. 改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量 a t，原来产 m t 玉米的一块土地，现在的总产量增加了20 t. 原来和现在平均每公顷玉米的产量各是多少？ 解得 x = 经检验， x = 是原方程的解. 解：设原来平均每公顷玉米的产量是 x t， 则现在平均每公顷玉米的产量是(x + a) t. 根据题意，得 答：原来和现在平均每公顷玉米的产量分别为 感谢聆听! $