专题08等式与方程.一元一次方程及其解法暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题08等式与方程.一元一次方程及其解法暑假预习讲义 1.掌握等式、方程概念，熟记等式基本性质，能利用性质完成等式变形。 2.理解一元一次方程定义，精准辨别一元一次方程，会找方程的解。 3.掌握方程解的验证方法，能代入数值检验是否为方程的解。 4.熟记解一元一次方程五步流程：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。 5.掌握移项变号规则，区分移项、代数式交换位置的不同要求，规避移项易错点。 6.能根据实际数量关系，列出简单一元一次方程，建立方程建模思想。 7.整理等式变形、去括号、移项、去分母高频错题，标记解题易错点，课堂专项突破。 预习必备 知识梳理 1.等式相关概念 2.方程相关概念 3.一元一次方程的定义与判定 4.解一元一次方程的步骤 5.列一元一次方程 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.判断各式是否是方程 2.等式性质1 3.等式性质2 4.列方程 5.判断是否是方程的解 6.由方程的解求参数 7.一元一次方程的判定 8.一元一次方程解的判定 9.合并同类项及移项 10.去括号 11.去分母 12.由一元一次方程的解,求参数 13.一元一次方程解的关系 14.绝对值方程 15.新定义运算 16.规律探究题 强化题型 解答题7题 知识点01:等式相关知识 1. 等式定义 用等号 “=” 表示相等关系的式子叫做等式。 举例：3+2=5、2x-1=7、a+b=b+a 均为等式。 2. 等式两条基本性质（解方程核心依据） 性质 文字内容 字母表达 关键注意事项 性质 1 等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc 两边必须同时加减，不能只改一侧 性质 2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc；若c≠0，则= 除数不能为 0；同乘负数时符号同步变化 3. 等式变形规范例题 已知x-3=5，两边同时加 3，得x=8； 已知2x=6，两边同时除以 2，得x=3； 已知x=4，两边同乘 3，得x=12。 知识点02:方程、方程的解、解方程基础概念 1. 方程定义 含有未知数的等式叫做方程。 判定两大条件：① 是等式（含等号）；② 含有未知数。 辨析：2+3=5不是方程（无未知数）；2x-1不是方程（无等号）；3x=9是方程。 2. 方程的解 能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 检验解的标准步骤： 1 把数值分别代入方程左边、右边； 2 分别计算左右两边结果； 3 若左边 = 右边，则该数是方程的解，反之不是。 例：检验x=4是否为2x+1=9的解 左边=2×4+1=9，右边=9，左 = 右，因此x=4是方程的解。 3. 解方程定义 求方程的解的过程叫做解方程。 区分核心：方程的解是数值；解方程是计算过程。 知识点03:一元一次方程的定义与判定 1. 一元一次方程三要素（缺一不可） (1)只含有一个未知数（一元）； (2)未知数的次数都是1 次（一次）； (3)等号两边都是整式。 标准形式：ax+b=0（a、b为常数，a≠0) 2.一元一次方程判定对比 式子 是否一元一次方程 理由 3x+5=0 是 1 个未知数，次数 1，两边整式 2x+y=1 否 含有x、y两个未知数 x2-4=0 否 未知数次数为 2 +2=3 否 分母含未知数，不是整式 5=2x 是 符合全部三要素 知识点04:解一元一次方程完整五大步骤（必考） 通用顺序：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1 步骤拆解、操作要求与易错提醒 1.去分母 等式性质 2，方程两边同乘所有分母的最小公倍数； ⚠️ ⚠不含分母的常数项也要乘，切勿漏乘。 例：+1=x，两边同乘 2，得x+2=2x。 2.去括号 依据乘法分配律，括号外数字乘括号内每一项；括号前为负号，括号内全部变号。 例：-2(x-3)=-2x+6。 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边；移项必须变号；不移的项符号不变。 区分：方程内跨等号移动叫移项（要变号）；同一侧交换位置不叫移项（不变号）。 4.合并同类项 同类项系数相加，字母、次数不变，化为最简ax=b(a≠0)形式。 5.系数化为 1 等式性质 2，两边同时除以未知数系数，或乘系数倒数，得到x=。 完整标准解题例题 解方程：-1=x 解：去分母，两边同乘 3 2x-1-3=3x 去括号（本题无多层括号） 移项：2x-3x=1+3 合并同类项：-x=4 系数化为 1：x=-4 知识点05:列简单一元一次方程（建模基础） 1.步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程 2.常见等量关键词：和、差、倍、比、多、少、相等、总和； 3.示例：某数的 2 倍减 5 等于 7，设这个数为x，列方程：2x-5=7。 知识点06:本节高频易错点汇总 易错类别 错误示例 正确写法 失分核心原因 等式性质漏乘常数项 +1=3去分母得x+1=6 x+2=6 不含分母的 1 忘记乘最小公倍数 移项不变号 2x+3=5x 移项得2x+5x=3 2x-5x=-3 跨等号移动未变符号 去括号漏乘、不变号 -3(x+2)=-3x+6 -3x-6 负系数分配时符号出错 误判一元一次方程 认为=1是一元一次方程 不是整式方程，不符合定义 忽略 “两边为整式” 条件 检验方程解代入不加括号 x=-2代入3x得3×-2 3×(-2) 负数代入无括号，计算符号混乱 题型1.判断各式是否是方程 【典例】下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列各式是方程的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【跟踪专练3】下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 题型2.等式性质1 【典例】已知方程，用含的代数式表示，则_________． 【跟踪专练1】下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【跟踪专练2】学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 【跟踪专练3】下表12个方格中，每个方格内都有一个数，若任意相邻三个数的和都相等，则下列方格中数字能被确定是（    ） A． B． C． D．以上都不能 题型3.等式性质2 【典例】解方程时，去分母得，这一步变形的依据是________． 【跟踪专练1】下列等式变形，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪专练2】已知是实数，若，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】根据等式的性质填空： (1)如果，那么________； (2)如果，那么________； (3)如果，那么________； (4)如果，那么． 题型4.列方程 【典例】若一个数的倍与的和等于，据此可列方程为：________． 【跟踪专练1】某数的3倍比它的一半大2，若设某数为 x，则方程为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为______． 【跟踪专练3】在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 题型5.判断是否是方程的解 【典例】解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若正整数满足方程，则这个方程的解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 题型6.由方程的解求参数 【典例】若关于x的方程的解为，则 _______． 【跟踪专练1】若关于的一元一次方程的解为，则代数式的值为（    ） A． B．5 C． D．2 【跟踪专练2】已知是方程的解，则_____ ． 【跟踪专练3】当的取值不同时，整式（其中是常数，）的值也不同，具体情况如下表所示．则关于的方程的解为（    ） 0 1 6 4 2 0 A． B． C． D． 题型7.一元一次方程的判定 【典例】下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若是关于x的一元一次方程，则m的值为_____． 【跟踪专练2】若两个关于的一元一次方程与的解相同，则的值是_____． 【跟踪专练3】如果方程是关于的一元一次方程，那么该方程的解是（    ） A． B． C． D． 题型8.一元一次方程解的判定 【典例】下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 【跟踪专练2】已知关于x的方程是一元一次方程，则多项式：的值是_________． 【跟踪专练3】已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 题型9.合并同类项及移项 【典例】已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解是______． 【跟踪专练1】已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果关于x的方程和方程的解相同，那么的值为______． 【跟踪专练3】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型10.去括号 【典例】解一元一次方程的解为_______． 【跟踪专练1】若与的值相等，则x的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【跟踪专练2】定义一种新运算：，若：，则的值为__________． 【跟踪专练3】按下面的程序计算：当输入时，输出结果是86；当输入时，输出结果是122；如果输入的值是正整数，输出结果是158，那么满足条件的的值最多有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11.去分母 【典例】方程的解是________． 【跟踪专练1】已知关于的方程与方程的解互为倒数，则的值为______． 【跟踪专练2】某同学在解关于x的方程去分母时，方程右边的没有乘以6，因而求得方程的解为，则a的值和方程的正确的解分别是多少？（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练3】方程的解为_____． 题型12.由一元一次方程的解,求参数 【典例】关于x的方程与的解相同，则k的值为_________． 【跟踪专练1】若关于x的一元一次方程的解为，则关于x的方程的解为（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于x的方程的解是方程的解的3倍，则a的值为______． 【跟踪专练3】小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 题型13.一元一次方程解的关系 【典例】若关于x的方程与的解相同，则___________． 【跟踪专练1】多项式和（为实数，）的值由的取值决定．如表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（    ） 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是_________． 【跟踪专练3】已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．16 D．24 题型14.绝对值方程 【典例】若，则__________． 【跟踪专练1】已知，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．1或7 【跟踪专练2】满足的整数的值有________． 【跟踪专练3】已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 题型15.新定义运算 【典例】对于有理数a，b，定义一种新运算“※”，即，若式子，则x的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 【跟踪专练1】对于两个不相等的有理数a、b，我们规定表示a、b两数中较小的数，例如，．按照此规定，方程的解为________． 【跟踪专练2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则的值______________． 【跟踪专练3】定义一种运算：．例如；再如，按照这种定义，当______时，． 【跟踪专练4】对于整数m，n，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定， （1）当时，则的值是________． （2）已知为正整数，且满足，则的值是________． 题型16.规律探究题 【典例】如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：第1个图案由4颗棋子摆成，第2个图案由9颗棋子摆成，第3个图案由14颗棋子摆成，第4个图案由19颗棋子摆成，…，第n个图案由799颗棋子摆成，则n的值为__________． 【跟踪专练1】如图，将一张等边三角形纸片沿三边中点连线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作：再将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作．．．根据以上操作，第___________次操作后，能得到85个小三角形． 【跟踪专练2】如图：搭1个正六边形需要6条线段，组成6个顶点；搭2个正六边形，需要11条线段，组成10个顶点；搭3个正六边形，需要16条线段，组成14个顶点……，根据这个规律回答下列问题： （1）搭5个正六边形，需要____条线段，组成____个顶点； （2）搭n个正六边形，线段和顶点的总数为237，则n的值为_____． 【跟踪专练3】如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，表示的数是________，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是_______． 解答题 1．列方程表示下列语句中包含的相等关系： (1)比它的补角少； (2)x的6倍与2的和等于x的3倍与4的差； (3)去年某镇居民人均可支配收入为元，比前年增长了，前年这个镇居民人均可支配收入为元； (4)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，问快马几天可以追上慢马．可设快马天可以追上慢马． 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 3．解方程 (1) (2) 4．解方程：． 5．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整2”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是______方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整3”方程，并说明理由． 6．解方程 (1)； (2)． 7．我们规定一种新运算：，例如： 请根据上述规定回答下列问题． (1)则______； (2)若，求x的值； (3)已知关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数，直接写出a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08等式与方程.一元一次方程及其解法暑假预习讲义 1.掌握等式、方程概念，熟记等式基本性质，能利用性质完成等式变形。 2.理解一元一次方程定义，精准辨别一元一次方程，会找方程的解。 3.掌握方程解的验证方法，能代入数值检验是否为方程的解。 4.熟记解一元一次方程五步流程：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。 5.掌握移项变号规则，区分移项、代数式交换位置的不同要求，规避移项易错点。 6.能根据实际数量关系，列出简单一元一次方程，建立方程建模思想。 7.整理等式变形、去括号、移项、去分母高频错题，标记解题易错点，课堂专项突破。 预习必备 知识梳理 1.等式相关概念 2.方程相关概念 3.一元一次方程的定义与判定 4.解一元一次方程的步骤 5.列一元一次方程 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.判断各式是否是方程 2.等式性质1 3.等式性质2 4.列方程 5.判断是否是方程的解 6.由方程的解求参数 7.一元一次方程的判定 8.一元一次方程解的判定 9.合并同类项及移项 10.去括号 11.去分母 12.由一元一次方程的解,求参数 13.一元一次方程解的关系 14.绝对值方程 15.新定义运算 16.规律探究题 强化题型 解答题7题 知识点01:等式相关知识 1. 等式定义 用等号 “=” 表示相等关系的式子叫做等式。 举例：3+2=5、2x-1=7、a+b=b+a 均为等式。 2. 等式两条基本性质（解方程核心依据） 性质 文字内容 字母表达 关键注意事项 性质 1 等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc 两边必须同时加减，不能只改一侧 性质 2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc；若c≠0，则= 除数不能为 0；同乘负数时符号同步变化 3. 等式变形规范例题 已知x-3=5，两边同时加 3，得x=8； 已知2x=6，两边同时除以 2，得x=3； 已知x=4，两边同乘 3，得x=12。 知识点02:方程、方程的解、解方程基础概念 1. 方程定义 含有未知数的等式叫做方程。 判定两大条件：① 是等式（含等号）；② 含有未知数。 辨析：2+3=5不是方程（无未知数）；2x-1不是方程（无等号）；3x=9是方程。 2. 方程的解 能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 检验解的标准步骤： 1 把数值分别代入方程左边、右边； 2 分别计算左右两边结果； 3 若左边 = 右边，则该数是方程的解，反之不是。 例：检验x=4是否为2x+1=9的解 左边=2×4+1=9，右边=9，左 = 右，因此x=4是方程的解。 3. 解方程定义 求方程的解的过程叫做解方程。 区分核心：方程的解是数值；解方程是计算过程。 知识点03:一元一次方程的定义与判定 1. 一元一次方程三要素（缺一不可） (1)只含有一个未知数（一元）； (2)未知数的次数都是1 次（一次）； (3)等号两边都是整式。 标准形式：ax+b=0（a、b为常数，a≠0) 2.一元一次方程判定对比 式子 是否一元一次方程 理由 3x+5=0 是 1 个未知数，次数 1，两边整式 2x+y=1 否 含有x、y两个未知数 x2-4=0 否 未知数次数为 2 +2=3 否 分母含未知数，不是整式 5=2x 是 符合全部三要素 知识点04:解一元一次方程完整五大步骤（必考） 通用顺序：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1 步骤拆解、操作要求与易错提醒 1.去分母 等式性质 2，方程两边同乘所有分母的最小公倍数； ⚠️ ⚠不含分母的常数项也要乘，切勿漏乘。 例：+1=x，两边同乘 2，得x+2=2x。 2.去括号 依据乘法分配律，括号外数字乘括号内每一项；括号前为负号，括号内全部变号。 例：-2(x-3)=-2x+6。 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边；移项必须变号；不移的项符号不变。 区分：方程内跨等号移动叫移项（要变号）；同一侧交换位置不叫移项（不变号）。 4.合并同类项 同类项系数相加，字母、次数不变，化为最简ax=b(a≠0)形式。 5.系数化为 1 等式性质 2，两边同时除以未知数系数，或乘系数倒数，得到x=。 完整标准解题例题 解方程：-1=x 解：去分母，两边同乘 3 2x-1-3=3x 去括号（本题无多层括号） 移项：2x-3x=1+3 合并同类项：-x=4 系数化为 1：x=-4 知识点05:列简单一元一次方程（建模基础） 1.步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程 2.常见等量关键词：和、差、倍、比、多、少、相等、总和； 3.示例：某数的 2 倍减 5 等于 7，设这个数为x，列方程：2x-5=7。 知识点06:本节高频易错点汇总 易错类别 错误示例 正确写法 失分核心原因 等式性质漏乘常数项 +1=3去分母得x+1=6 x+2=6 不含分母的 1 忘记乘最小公倍数 移项不变号 2x+3=5x 移项得2x+5x=3 2x-5x=-3 跨等号移动未变符号 去括号漏乘、不变号 -3(x+2)=-3x+6 -3x-6 负系数分配时符号出错 误判一元一次方程 认为=1是一元一次方程 不是整式方程，不符合定义 忽略 “两边为整式” 条件 检验方程解代入不加括号 x=-2代入3x得3×-2 3×(-2) 负数代入无括号，计算符号混乱 题型1.判断各式是否是方程 【典例】下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程“含有未知数的等式”这一定义，判断选项是否同时满足“含有未知数”“是等式”两个条件即可求解． 【详解】解：A 、不是等式，不满足条件，故A错误； B、是不等式，不是等式，不满足条件，故B错误； C、是等式，但不含未知数，不满足条件，故C错误； D、既含有未知数，又是等式，满足方程的定义，故D正确． 【跟踪专练1】下列各式是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，掌握方程的定义是关键．根据方程的定义，方程是含有未知数的等式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A：不是等式，不符合方程的定义，不符合题意； B：，不是等式，不符合方程的定义，不符合题意； C：，是等式，但不含未知数，不符合方程的定义，不符合题意； D：，是等式且含有未知数，符合方程的定义，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． 【跟踪专练3】下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 【详解】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 题型2.等式性质1 【典例】已知方程，用含的代数式表示，则_________． 【答案】/ 【详解】解：， 两边同减去，得． 【跟踪专练1】下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据等式两边同时加、减同一个数，等式仍然成立以及等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立逐一分析选项找出变形错误的一项． 【详解】A、如果，等式两边都除以，那么，A正确； B、如果，当时，得不出，B错误； C、如果，等式两边都减6，那么，C正确； D、等式两边都乘，得，D正确． 【跟踪专练2】学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 【答案】A，B 【分析】本题主要考查数学基本事实应用，根据2个苹果个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果个梨，运用了等式的性质；2个苹果克，2个苹果个梨，可得4个梨克，运用了等量的等量相等，由此可得结论． 【详解】解：2个苹果个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果个梨，运用了等式的性质； 2个苹果克，2个苹果个梨，可得4个梨克，运用了等量的等量相等， 故答案为：A，B． 【跟踪专练3】下表12个方格中，每个方格内都有一个数，若任意相邻三个数的和都相等，则下列方格中数字能被确定是（    ） A． B． C． D．以上都不能 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的性质．设任意相邻三个数的和为，根据“任意相邻三个数的和都相等”的条件，可得，，，即可确定的数字． 【详解】解：设任意相邻三个数的和为， ∵ ，， ∴ ， ∴， 同理，，，，， ∴ ，，， 又∵ ，， ∴ ， ∴， ∴， 即的值可确定， ∵ ，，、的值无法确定， ∴ 、不能确定． 故选：A 题型3.等式性质2 【典例】解方程时，去分母得，这一步变形的依据是________． 【答案】等式的基本性质2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握等式的基本性质． 去分母的依据是等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为零的数），等式仍然成立． 【详解】解：解方程时，分母2和3的最小公倍数是6， 根据等式的基本性质2：等式两边同时乘6， 得到， 这一步变形的依据是等式的基本性质2， 故答案为：等式的基本性质2． 【跟踪专练1】下列等式变形，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：根据等式的基本性质判断各选项 A，，等式两边同时减，可得，A变形正确； B，若，当时，作为分母无意义，且当时，由可得，B变形错误； C，，等式两边同时乘，可得，符合等式性质，C变形正确； D，，分式有意义可得，等式两边同时乘，可得，D变形正确． 【跟踪专练2】已知是实数，若，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，当时，；原式子不一定成立，不符合题意； B、，当时，，此时；原式子不一定成立，不符合题意； C、，则；原式子一定成立，符合题意； D、，则，只有时；故原式子不一定成立，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练3】根据等式的性质填空： (1)如果，那么________； (2)如果，那么________； (3)如果，那么________； (4)如果，那么． 【答案】(1)1 (2) (3)5 (4)2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除同一个数，除数不为0）等式仍然成立是解题的关键． （1）根据等式两边同时加同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时加1，所以． （2）根据等式两边同时减同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时减2，所以． （3）根据等式两边同时乘同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时乘5，所以． （4）根据等式两边同时除以同一个不为的数等式仍然成立，已知，在等式两边同时除以3，所以． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：1； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：5； （4）解：∵， ∴， 故答案为：2； 题型4.列方程 【典例】若一个数的倍与的和等于，据此可列方程为：________． 【答案】 【分析】根据题目描述的数量关系，列出一元一次方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为． 【跟踪专练1】某数的3倍比它的一半大2，若设某数为 x，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确地理解题意并列出方程是解题的关键．根据题意，某数的3倍减去它的一半等于2，据此列出方程． 【详解】解：设某数为，则3倍为，一半为， 由题意得，， 故选：A． 【跟踪专练2】现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为______． 【答案】 【分析】本题考查方程的应用，熟练根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据正方形的面积公式、等边三角形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得，所有正方形的面积为、所有等边三角形的面积为， 因此，列方程为：， 故答案为：． 【跟踪专练3】在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 【答案】A 【分析】根据水的体积不变的性质以及圆柱体体积计算公式，即可列出一元一次方程，从而得到答案． 【详解】依题意得：π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 题型5.判断是否是方程的解 【典例】解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查方程的解，使方程的等号两边相等的未知数的值叫做方程的解． 【详解】将分别代入各选项中的方程： A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 故选：B 【跟踪专练1】是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 把分别代入方程，逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，故选项不符合题意； C、当时，，故选项符合题意； D、当时，，故选项不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】若正整数满足方程，则这个方程的解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解，正整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键，由为正整数，推出，那么，那么可得到的取值，从而得出答案． 【详解】解： 为正整数， ， 正整数满足方程， ， ， 当时，，解得，符合题意； 那么满足这个方程的解只有一组， 故选：A ． 【跟踪专练3】已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，将方程变形为，然后从表格中直接查找使的值． 【详解】解：由得， 由表格数据，当 时， ∴ 方程的解为 ， 故选：B． 题型6.由方程的解求参数 【典例】若关于x的方程的解为，则 _______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程解的定义将代入进行计算即可． 【详解】解：∵方程的解为， ∴， 即， ∴， ∴． 【跟踪专练1】若关于的一元一次方程的解为，则代数式的值为（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程解的定义，将方程的解代入原方程，通过移项变形即可求出代数式的值． 【详解】解：将代入，得：， 解得， 故选：A． 【跟踪专练2】已知是方程的解，则_____ ． 【答案】4 【分析】本题考查方程的解的定义，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据方程的解的定义，将代入原方程求出的值，再利用绝对值的性质计算的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 【跟踪专练3】当的取值不同时，整式（其中是常数，）的值也不同，具体情况如下表所示．则关于的方程的解为（    ） 0 1 6 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，将方程变形为与表格中整式形式一致的式子，再结合表格数据找出对应x的值． 【详解】解：， ∴， 从表格可知，当时，， ∴ 方程的解为． 故选：B． 题型7.一元一次方程的判定 【典例】下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此可知只有选项C符合题意． 【跟踪专练1】若是关于x的一元一次方程，则m的值为_____． 【答案】2 【分析】根据一元一次方程中未知数的最高次数为1，列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵ 是关于x的一元一次方程， ∴未知数x的次数为1，即， 解得：． 【跟踪专练2】若两个关于的一元一次方程与的解相同，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义、一元一次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，求出的值，进而求出第一个方程的解，再将解代入第二个方程求解的值即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程， ∴， 解得， 则一元一次方程为， 解得， 代入到，得， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】如果方程是关于的一元一次方程，那么该方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的定义，需根据定义确定的值，再代入方程求解． 一元一次方程需满足：只含一个未知数，未知数次数为，且一次项系数不为． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程 且 ∴，又 将代入原方程得：，即 解得 该方程的解是， 故选：D． 题型8.一元一次方程解的判定 【典例】下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边=右边，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，将一元一次方程化为，根据图表即可得解． 【详解】解：∵， ， 由表可知：， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知关于x的方程是一元一次方程，则多项式：的值是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、代数式求值等知识点，掌握一元一次方程定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义可知该方程的二次项系数为零且一次项系数不为零，据此可求出a的值，然后代入多项式求值即可． 【详解】解：∵方程为一元一次方程， ∴二次项系数，且一次项系数， ∴ ∴多项式． 故答案为． 【跟踪专练3】已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，一元一次方程的解，根据等式的性质得到，再由表格中的数据，即可得到答案． 【详解】解：∵， 故， 由表格可知当时，， ∴关于的方程的解为． 故答案为：A． 题型9.合并同类项及移项 【典例】已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解是______． 【答案】 【分析】利用一元一次方程的定义判断的值，再运用移项求解一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴，解得：． ∵将代入中， ∴，解得：． 【跟踪专练1】已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：解方程得：， 解方程得，， ∵方程的解与方程的解互为相反数， ∴， 解得：， 【跟踪专练2】如果关于x的方程和方程的解相同，那么的值为______． 【答案】7 【分析】先解第一个方程得到的值，再利用两个方程解相同，将代入第二个方程求解即可． 【详解】解：解方程得 因为两个方程的解相同，将代入得 解得 【跟踪专练3】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，将两个方程化为相同的形式，根据的解求出y的值即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴的解为， ∵ ∴ ∴， 则 ∴ ∴ 故选：B． 题型10.去括号 【典例】解一元一次方程的解为_______． 【答案】 【分析】按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解： 去括号得． 移项得． 合并同类项得． 系数化为得． 【跟踪专练1】若与的值相等，则x的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程，然后根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ． 故选：A． 【跟踪专练2】定义一种新运算：，若：，则的值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程． 根据新定义列出方程，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：1． 【跟踪专练3】按下面的程序计算：当输入时，输出结果是86；当输入时，输出结果是122；如果输入的值是正整数，输出结果是158，那么满足条件的的值最多有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，解一元一次方程（二）——去括号等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据题意，逐次计算验证即可得出结果． 【详解】解：若经1次输出结果是158， 则， 解得：； 若经2次输出结果是158， 则， 解得：， 若经3次输出结果是158， 则， 解得：，不符合； 若经4次输出结果是158， 则， 解得：，不符合， 之后不可能再出现解为正整数， 故选：B． 题型11.去分母 【典例】方程的解是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘15，得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知关于的方程与方程的解互为倒数，则的值为______． 【答案】15 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、方程的解等知识点，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先分别求出两个方程的解，再根据解互为倒数列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：解方程， 两边同乘2得：， 移项得：，即：， 解得：． 解方程， 两边同乘6得：，即， 移项得：，即， 解得：． 由于两个方程的解互为倒数， 因此，解得：． 故答案为：15． 【跟踪专练2】某同学在解关于x的方程去分母时，方程右边的没有乘以6，因而求得方程的解为，则a的值和方程的正确的解分别是多少？（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照该同学的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，解得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案． 【详解】解：该同学的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1，得：， ∵该同学解得， ∴， ∴； 正确解法如下：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1，得：， 故选：D． 【跟踪专练3】方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程（三）——去分母，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过观察方程的结构，发现若每个分数的值均为4，即各个分子都为分母的4倍，则其和为12，从而使方程成立，由此解出x的值． 【详解】解：，，， 、、都依次增加4， ，，都依次增加4， 由，解得：， 此时， 将代入， 得， 此时， 将代入， 得， 此时， 所以是方程的根， 故答案为：． 题型12.由一元一次方程的解,求参数 【典例】关于x的方程与的解相同，则k的值为_________． 【答案】2 【分析】先求出第一个一元一次方程的解，再将解代入第二个方程， 即可求出的值． 【详解】解：解方程， 移项得，， 系数化为，得 ， 因为两个方程的解相同，把代入得， 整理，得， 移项，得， 系数化为，得． 【跟踪专练1】若关于x的一元一次方程的解为，则关于x的方程的解为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义和一元一次方程的解法．先将已知方程的解代入，得到与的关系式，再将该关系式代入所求方程，利用一元一次方程的性质求解的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 ∴把代入，得 ∴ 又∵所求方程为，即 ∴将代入，得 ∵原方程是一元一次方程， ∴ ∴两边同时除以，得 ∴ 故选：B． 【跟踪专练2】关于x的方程的解是方程的解的3倍，则a的值为______． 【答案】3 【分析】先求出方程的解，再根据题意得到方程的解，代入求解的值． 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 因为方程的解是方程的解的倍， 所以方程的解为， 将代入方程， 得， 即， 解得． 【跟踪专练3】小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 根据小明的错误去分母过程，将代入错误方程，求出参数的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 将代入上述方程得：， 解得， 则原方程为， 方程两边乘12得：， 即， 整理得， 移项、合并同类项得， 解得， 故选：B． 题型13.一元一次方程解的关系 【典例】若关于x的方程与的解相同，则___________． 【答案】1 【分析】先求解方程得到的值，再将该值代入方程，转化为关于的一元一次方程，进而求解的值. 【详解】解：解方程，得， 把代入， 得， 即， 解得. 【跟踪专练1】多项式和（为实数，）的值由的取值决定．如表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（    ） 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，弄清表格中的数据是解本题的关键根据表格确定出方程的解即可． 【详解】解：观察表格可知当时，，， ∴， ∴当时， 则关于x的方程的解是， 故选C． 【跟踪专练2】已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是_________． 【答案】 【分析】将第二个方程变形，使其与已知一元一次方程结构一致，利用已知方程的解求解即可． 【详解】解：对关于的一元一次方程变形， 移项得， ， ， 两边同乘得， 关于的一元一次方程的解是， ， 解得． 【跟踪专练3】已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．16 D．24 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程解的应用，运用整体代换思想是解题关键，将关于y的方程中的看作整体，与已知方程中的x建立对应关系，进而求解y的值． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解是， 设，则关于y的方程可化为， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 题型14.绝对值方程 【典例】若，则__________． 【答案】3或5 【分析】本题考查了绝对值方程等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴或． ， 解得：； ， 解得：， 故答案为：或． 【跟踪专练1】已知，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．1或7 【答案】C 【分析】本题考查绝对值定义及代数式求值，熟记绝对值定义是解决问题的关键． 由可知，即，再结合求出的值，最后计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 即， ， 或； ， 或； 当时，无论或，，不符合题意； 当时，无论或，，符合题意； 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为或， 故选：C． 【跟踪专练2】满足的整数的值有________． 【答案】0，1，2 【分析】本题考查换元法和绝对值的几何意义，设 ，确定t的取值范围，再结合整数条件求解x． 【详解】解：设 ，则原方程化为． ∵表示点t到点的距离，表示点t到点5的距离， 点与点5之间的距离为， ∴当时，距离和恒为 6． ∴． ∵且x为整数，故t为偶数整数 ∴或2或4， ∴或1或2， 验证：当时，； 当时，； 当时，，均成立． 故答案为：0，1，2． 【跟踪专练3】已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题利用零点分段法化简绝对值方程，确定x的取值范围，找出范围内所有整数x，再计算它们的和即可． 【详解】解：令得，令得， ∴分三种情况讨论： 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，等式恒成立，故此区间内所有x都满足方程； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 综上，满足方程的x的范围是， 其中整数为， 计算和得． 题型15.新定义运算 【典例】对于有理数a，b，定义一种新运算“※”，即，若式子，则x的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：由新运算可得，， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得． 【跟踪专练1】对于两个不相等的有理数a、b，我们规定表示a、b两数中较小的数，例如，．按照此规定，方程的解为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的方法，解题的关键是分两种情况列出方程求解．根据规定，表示与中的较小值，需分和两种情况讨论，分别求解方程并验证解是否满足条件． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， 故， 方程化为， 解得，符合； 当时，， 故， 方程化为， 解得， 但，不符合，舍去． 故答案为：． 【跟踪专练2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则的值______________． 【答案】9 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知一元一次方程的解求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先求出方程的解，再求出方程的解，根据“和谐方程”的定义列出方程求出m． 【详解】解∶解方程得， 解方程得； 因为关于的方程与方程是“和谐方程”， 所以， 解得∶． 故答案为∶9． 【跟踪专练3】定义一种运算：．例如；再如，按照这种定义，当______时，． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算与一元一次方程的结合，关键是理解二阶行列式的运算规则，并据此将等式两边的行列式展开，转化为一元一次方程求解． 【详解】解：根据定义， ， ， 所以方程为：，解得． 故答案为：． 【跟踪专练4】对于整数m，n，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定， （1）当时，则的值是________． （2）已知为正整数，且满足，则的值是________． 【答案】 14 9 【分析】本题考查定义新运算，解一元一次方程，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义，分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：（1）∵， ∴为偶数， ∴； 故答案为：14； （2）∵为正整数，为偶数， ∴， ∵， ∴当为偶数时，为偶数， ∴，解得（不符合题意，舍去）； 当为奇数时，为奇数， ∴，解得； 故答案为：9 题型16.规律探究题 【典例】如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：第1个图案由4颗棋子摆成，第2个图案由9颗棋子摆成，第3个图案由14颗棋子摆成，第4个图案由19颗棋子摆成，…，第n个图案由799颗棋子摆成，则n的值为__________． 【答案】160 【分析】先找出棋子数量的规律，第个图形的棋子数为，再令，求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中棋子的颗数为：； 第2个图案中棋子的颗数为：； 第3个图案中棋子的颗数为：； …， 所以第n个图案中棋子的颗数为颗． 令， 解得， 即第160个图案中棋子的颗数为799颗． 【跟踪专练1】如图，将一张等边三角形纸片沿三边中点连线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作：再将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作．．．根据以上操作，第___________次操作后，能得到85个小三角形． 【答案】28 【分析】本题主要考查图形的规律探究，代数式，根据图形规律转化为数字规律是解决问题的通法，对数字进行规律探究即可． 按照同样的操作，依次剪出的三角形的个数为4，7，10，13……，由此数据可知，是一组公差为3的等差数列，进而得到第n次操作，小三角形的个数为个,列方程，求解即可． 【详解】解：由题意，得 第一次操作，小三角形的个数为4个； 第二次操作，小三角形的个数为7个； 第三次操作，小三角形的个数为10个； …… 第n次操作，小三角形的个数为个； ∴ 解得 故答案为：28． 【跟踪专练2】如图：搭1个正六边形需要6条线段，组成6个顶点；搭2个正六边形，需要11条线段，组成10个顶点；搭3个正六边形，需要16条线段，组成14个顶点……，根据这个规律回答下列问题： （1）搭5个正六边形，需要____条线段，组成____个顶点； （2）搭n个正六边形，线段和顶点的总数为237，则n的值为_____． 【答案】 26 22 26 【分析】本题考查的是图形类的规律探究，一元一次方程的应用； （1）先计算前几个图形的线段的数量，顶点的数量可得答案； （2）由（1）归纳可得规律，建立方程求解，并进一步计算即可． 【详解】解：（1）第1个图形有6条线段，有个顶点， 第2个图形有条线段，有个顶点， 第3个图形有条线段，有个顶点， …． ∴第5个图形有条线段；有个顶点， 故答案为：26，22． （2）归纳可得，第n个图形有条线段， 有个顶点． 由题意可得 ， 解得：， 故答案为：26． 【跟踪专练3】如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，表示的数是________，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是_______． 【答案】 1009或1006 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 根据点的运动情况，可知奇数次移动的点表示的数是，偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点， 第2次从点向右移动4个单位长度至点， 第3次从点向左移动6个单位长度至点， …， ∴奇数次移动的点表示的数是， 偶数次移动的点表示的数是， ∴表示的数是； ∵点与原点的距离等于1008， ∴当n是奇数时， ， 解得， 当n是偶数时， ， 解得； 综上分析可知：点与原点的距离等于1008，那么n的值是1009或1006． 故答案为：；1009或1006． 解答题 1．列方程表示下列语句中包含的相等关系： (1)比它的补角少； (2)x的6倍与2的和等于x的3倍与4的差； (3)去年某镇居民人均可支配收入为元，比前年增长了，前年这个镇居民人均可支配收入为元； (4)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，问快马几天可以追上慢马．可设快马天可以追上慢马． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、补角的定义以及追及问题的数量关系，熟练掌握从文字描述中提取相等关系并转化为方程是解题的关键． （1）先明确补角的定义（两角之和为），再根据“比它的补角少”这一条件，建立与它的补角之间的等式． （2）分别表示出“的6倍与2的和”和“的3倍与4的差”，再根据“等于”这一关键词，将两个代数式用等号连接． （3）根据“去年人均可支配收入=前年人均可支配收入×(1+增长率)”的关系，代入已知数据建立方程． （4）利用“追及路程=慢马先行的路程”的关系来建立等式． 【详解】（1）解：根据“它的补角”得； （2）解：根据“的6倍与2的和的3倍与4的差”得； （3）解：根据“前年人均可支配收入去年人均可支配收入”得； （4）解：根据“追及路程=慢马先行的路程”得． 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 3．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程根据 “移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求出未知数的值即可； （2）方程根据 “去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求出未知数的值即可 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 去分母得，， 去括号得， ， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1，得：． 4．解方程：． 【答案】 【分析】按由内向外的顺序依次去括号，化成一元一次方程的一般形式进而求解即可． 【详解】解：， ， ∴， 整理得：， ∴， ∴， 解得：． 5．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整2”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是______方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整3”方程，并说明理由． 【答案】(1)“分” (2)不可能，理由见解析 【分析】（）求出方程的解，再根据定义判断即可； （）把代入方程，求出值即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“分”方程； （2）解：不可能，理由如下： 当方程是“整”方程时，， 把代入方程得，， 解得， ∵为整数， ∴关于的方程不能是“整”方程． 6．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，分类讨论当时，当时，化简原方程求解即可； （2）根据题意，分类讨论当时，当时，当时，化简原方程求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或； （2）解：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或． 7．我们规定一种新运算：，例如： 请根据上述规定回答下列问题． (1)则______； (2)若，求x的值； (3)已知关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数，直接写出a的值． 【答案】(1) (2)或1 (3) 【分析】（1）根据新定义列式即可解答； （2）先根据新定义将方程化为：或，再解方程即可； （3）分别解两个方程，根据解互为相反数，列等式即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：， 当时，可化为 ， ， ； 当时，可化为， ， ， ； 综上，或1； （3）解：，解得， ， ， ， ， ， 关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $