4.1整式 导学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦“整式”核心内容，涵盖单项式、多项式及整式的概念与应用。以港珠澳大桥行驶路程为情景导入，关联上章代数式知识，通过观察、探究搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生逐步理解定义、系数、次数等关键要点。 导学案特色鲜明，情景问题贴近现实生活，如冬奥会邮票、国旗尺寸等实例，助力学生用数学眼光观察世界。变式训练与达标检测层次分明，结合运算、推理等活动，培养数学思维与数学语言表达能力，有效提升学生自主探究与知识应用能力。

姓名: 学科: 日期: 4.1整式 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年8月26日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历情景问题探究，认识与理解单项式的相关概念（定义、系数与次数），并能灵活运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算▪重点） 2. 经历问题探究，理解与掌握多项式的相关概念（定义、项、次数与命名），并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算▪重难点） 3. 认识与理解整式的概念，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象） 【学习过程】 1、 单项式的相关概念 （1） 情景问题 港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，请根据这些数据回答： 汽车在主桥上行驶 的路程是多少千米？ 探究： ∵汽车在主桥上行驶的平均速度为 ， ∴根据“路程=速度×时间”，汽车在主桥上行驶的路程（单位：）是 （2） 思考 我们来看和上一章中遇到过的一些代数式 这些代数式有什么共同特点？ 探究：由观察可以得到 这些代数式都是：数或字母 的形式. （3） 单项式的相关概念 1.定义 这些代数式都是 或 的 ，像这样的代数式叫作单项式（monomial）. 【注①】单独的一个 或一个 也是单项式，例如，都是 . 【注②】单项式的 不能含有 .例如，不是单项式. 2.系数 单项式中的 叫作这个单项式的系数. 例如，单项式的系数分别是 注①：单项式表示数与字母相乘时，通常把数写在 ，如. 注②：单项式的系数是1或一1时，1通常 ，如. 注②：书写单项式的系数时，应包含 在内.如单项式的系数为 . 3.次数与命名 一个单项式中，所有字母的 叫作这个单项式的次数，如果一个单项式的次数是 ，那么称这个单项式是 . 例如，在单项式中，字母的指数是 ，92t的次数就是 ，它是 单项式； 在单项式中，字母与的指数的和是 ，的次数就是 ，它是 单项式. 注：对于一个非零的数，规定它的次数为 . （四）实例运用 例1用单项式填空，并指出它们的系数和次数 （1） 若三角形的一条边长为，这条边上的高为，则这个三角形的面积为 . （2）一个长方体包装盒的长、宽、高分别为，则这个长方体包装盒的体积为 . （2） 有理数的相反数是 . （4）《北京2022年冬奥会——冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会冰上运动发行的邮票，邮票1套共5枚，价格为6元，其中一种版式为一张10枚（2套），如图4.1-1所示.某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了张这种版式的邮票作为奖品，共花费 元. （5）《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为3：2，有五种通用尺度（尺寸规格）.若一种尺度的国旗的长为，则这种尺度的国旗旗面的面积为 . （4） 变式训练 【变式1】下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C． 的系数是 D．的次数是5 【变式2】填表： 单项式 系数 次数 【变式3】请指出下列各式哪些是单项式，并说明理由． （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式4】有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 2、 多项式的相关概念 （1） 问题探究 在上一章中，我们还遇到一些代数式 这些式子与单项式有什么区别和联系？它们有什么共同的特点？ 探究： 这些式子都可以看作几个单项式的 . 例如，可以看作单项式 与 的 ； 可以看作单项式 ， 与 的 . （2） 多项式的相关概念 1. 定义 像 这样， 几个单项式的 叫作多项式（polynomial). 【注】一个式子是多项式需具备两个条件：①式子中含有运算符号“ ”或“ ”；②分母中不含 . 2.项 组成多项式的每个 叫作多项式的项，不含字母的项叫作 . 例如，多项式的项是 与 ，其中是 . 【注】①多项式是由 组成的，但不能说多项式 单项式，它们是两个不同的概念； ②多项式的每一项都是 ，每一项都包含它前面的 在内. 3.次数 多项式里，次数 的次数，叫作这个多项式的次数. 例如，多项式有2项，次数最高的项是一次项 ，这个多项式的次数是 ； 多项式有3项，次数最高的项是二次项 ，这个多项式的次数是 . 【注】①单项式的次数与多项式的次数的区别：单项式的次数是所有字母的 ，多项式次数是多项式中次数 的次数. ②当一个多项式中的各项的次数都 ，即不存在哪一项的次数最高时，任取某一项的次数作为这个多项式的次数. 4.命名与书写 多项式是以 和 来进行命名的；且书写多项式时，通常按照某个字母的 或 对项进行排列. 【注】多项式命名时通常 在前， 在后，且要大写. 例如，多项式有 项，这个多项式的次数是 ，则称多项式为 ，且按照字母的 排列. 多项式有 项，这个多项式的次数是 ，则称多项式为 ，且按照字母的 排列. （3） 实例运用 例2用多项式填空，并指出它们的项和次数. （1） 一个长方形相邻两条边的长分别为，则这个长方形的周长为 . （2） 为一个有理数，的立方与2的差为 . （3）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放辆.为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收辆，第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为 . （4）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图4.1-2所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成.如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，那么这个印章的表面积为 . （4） 变式训练 【变式1】填表 【变式2】鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具（图(1))，其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图（2）所示，这个面的面积为 . 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．多项式是二次三项式 B．多项式的一次项系数是 C．多项式中，的次数是按照从低到高排列的 D．多项式的常数项是 【变式4】已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【变式5】多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 3、 整式的概念 （1） 整式的概念 与 统称整式（integral expression). 例如，前面学习的单项式，以及多项式等都是 . （2） 实例运用 例3.在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 例4.把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{         …}； 多项式集合{         …}． （3） 变式训练 【变式1】代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 4、 达标检测 1．下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 D． 是多项式 D．的次数是5 2．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 3．下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 4．在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 6．下列说法正确的是（     ） A．单项式的次数是2 B．多项式是一次二项式 C．单项式的系数是 D．多项式的次数是3 7．一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 8．一个同时含有字母a，b，c，且系数为的五次单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．不能确定 9．观察下列关于 的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第2024个单项式是（     ） A． B． C． D． 10．一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 11．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 12．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 13．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（     ） A． B． C． D． 14．对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 16．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 17．已知多项式是二次三项式，则常数m的值为（   ） A． B．3 C． D． 18．以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 19．在式子，，，，中，整式的个数为（　　） A． B． C． D． 20. 在代数式中，一次项系数是________． 21. 单项式的次数是________． 22．有一组单项式为x，，，……根据它们的规律，第n个单项式为________． 23．若多项式是关于的二次二项式，则________． 24．已知多项式是五次三项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求多项式的常数项与各项系数的和． (2)求，的值． 25．已知多项式是六次四项式，单项式与多项式的次数相同，求的值． 26．已知多项式是关于x的二次多项式，求a的值． 27．指出多项式的项、次数和常数项． 28．用整式填空并判断它们是单项式还是多项式，是单项式的指出它们的系数和次数，是多项式的指出它们的项和次数． (1)“的倍与的立方的和”为______． (2)某商店经销某个品牌的空气炸锅，其中某一型号的空气炸锅的进价为每台元，商店将其进价提高后作为售价销售，一段时间后，商店又按售价的八折销售，此时该型号空气炸锅的售价为每台______元． (3)古人应“天圆地方”之说，往往将钱币铸造成“外圆内方”的形状，如图是一枚清代的“乾隆通宝”的正面，其外围圆的直径为，内部正方形的边长为，则该钱币正面的面积为______． 29．把下列各代数式的序号填入相应集合的括号内： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 单项式集合：{ }； 多项式集合：{ }． 30．已知关于m、n的多项式的次数是6，且与关于m、n的单项式的次数相同． (1)求x、y的值； (2)求该多项式各项的系数之和． 31．请把下列整式分类填入下表，并完成表格． ，，，，，，，． 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 32．已知a是最大的负整数，b是多项式的次数，c是单项式的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？并求出点P追上点Q时，它们在数轴上表示的数； (3)在数轴上找一个点H，使点H到A、B、C三点的距离之和等于16，请直接写出所有点H对应的数． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 4.1整式 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年8月26日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历情景问题探究，认识与理解单项式的相关概念（定义、系数与次数），并能灵活运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算▪重点） 2. 经历问题探究，理解与掌握多项式的相关概念（定义、项、次数与命名），并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算▪重难点） 3. 认识与理解整式的概念，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象） 【学习过程】 1、 单项式的相关概念 （1） 情景问题 港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，请根据这些数据回答： 汽车在主桥上行驶 的路程是多少千米？ 探究： ∵汽车在主桥上行驶的平均速度为， ∴根据“路程=速度×时间”，汽车在主桥上行驶的路程（单位：）是 （2） 思考 我们来看和上一章中遇到过的一些代数式 这些代数式有什么共同特点？ 探究：由观察可以得到 这些代数式都是：数或字母乘积的形式. （3） 单项式的相关概念 1.定义 这些代数式都是数或字母的积，像这样的代数式叫作单项式（monomial）. 【注①】单独的一个数或一个字母也是单项式，例如，都是单项式. 【注②】单项式的分母中不能含有字母.例如，不是单项式. 2.系数 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数. 例如，单项式的系数分别是 注①：单项式表示数与字母相乘时，通常把数写在前面，如. 注②：单项式的系数是1或一1时，1通常省略不写，如. 注②：书写单项式的系数时，应包含符号（即正负号）在内.如单项式的系数为. 3.次数与命名 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数，如果一个单项式的次数是，那么称这个单项式是次单项式. 例如，在单项式中，字母的指数是1，92t的次数就是1，它是一次单项式； 在单项式中，字母与的指数的和是3，的次数就是3，它是三次单项式. 注：对于一个非零的数，规定它的次数为0. （四）实例运用 例1用单项式填空，并指出它们的系数和次数 （1） 若三角形的一条边长为，这条边上的高为，则这个三角形的面积为 . （2）一个长方体包装盒的长、宽、高分别为，则这个长方体包装盒的体积为 . （3）有理数的相反数是 . （4）《北京2022年冬奥会——冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会冰上运动发行的邮票，邮票1套共5枚，价格为6元，其中一种版式为一张10枚（2套），如图4.1-1所示.某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了张这种版式的邮票作为奖品，共花费 元. （5）《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为3：2，有五种通用尺度（尺寸规格）.若一种尺度的国旗的长为，则这种尺度的国旗旗面的面积为 . 解： （1),它的系数是，次数是2. （2），它的系数是1，次数是3. （3），它的系数是，次数是1. （4），它的系数是12，次数是1. （5） ,它的系数是，次数是2. （4） 变式训练 【变式1】下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C． 的系数是 D．的次数是5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】注意单项式的系数含符号，次数为所有字母指数和，单独的数或字母均为单项式． 【详解】解：A．0和a都是单项式，故A错误． B．的次数是，故B错误． C．的系数是，故C错误． D．的次数是，故D正确． 【变式2】填表： 单项式 系数 次数 【答案】 故填表如下： 单项式 系数 5 2 次数 1 3 3 2 5 3 【难度】0.85 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式系数和次数，根据单项式系数和次数的定义，系数是单项式中的数字因数，包括符号；次数是所有字母的指数的和． 【详解】解：对于单项式，系数是，次数是； 对于单项式，系数是，次数是； 对于单项式，系数是，次数是； 对于单项式，系数是，次数是； 对于单项式，系数是，次数是； 对于单项式，系数是，次数是． 【变式3】请指出下列各式哪些是单项式，并说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是单项式，因为是两个单项式的和，是多项式； (2)是单项式，因为是数与字母的积； (3)不是单项式，因为分母中含有字母，是分式； (4)是单项式，因为是数与字母的积． 【难度】0.85 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查的是单项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． （1）根据单项式的定义判断即可； （2）根据单项式的定义判断即可； （3）根据单项式的定义判断即可； （4）根据单项式的定义判断即可． 【详解】（1）解：是多项式，不是单项式，因为是两个单项式的和，是多项式； （2）解：是与的积，是单项式，因为是数与字母的积； （3）解：不是整式，不是单项式，不是单项式，因为分母中含有字母，是分式； （4）解：是与的积，是单项式，不是单项式，因为是数与字母的积． 【变式4】有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】单项式规律题 【分析】分别从符号、系数绝对值、字母指数三部分归纳式子的规律即可得解． 【详解】解：由题意得，奇数项符号为正，偶数项符号为负， ∴第项的符号为， ∵各项系数的绝对值依次为，即， ∴第项的系数绝对值为， ∵第1项的指数为2，第2项为5，第3项为8，第4项的指数为，第5项为， ∴相邻两项指数差为， ∴第项的指数为， 综上所述，第个式子为． 2、 多项式的相关概念 （1） 问题探究 在上一章中，我们还遇到一些代数式 这些式子与单项式有什么区别和联系？它们有什么共同的特点？ 探究： 这些式子都可以看作几个单项式的和. 例如，可以看作单项式与的和； 可以看作单项式，与的和. （2） 多项式的相关概念 1. 定义 像这样， 几个单项式的和叫作多项式（polynomial). 【注】一个式子是多项式需具备两个条件：①式子中含有运算符号“+”或“-”；②分母中不含字母 2.项 组成多项式的每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项. 例如，多项式的项是与，其中是常数项. 【注】①多项式是由单项式组成的，但不能说多项式包含单项式，它们是两个不同的概念； ②多项式的每一项都是单项式，每一项都包含它前面的正负号在内. 3.次数 多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数. 例如，多项式有2项，次数最高的项是一次项，这个多项式的次数是1； 多项式有3项，次数最高的项是二次项，这个多项式的次数是2. 【注】①单项式的次数与多项式的次数的区别：单项式的次数是所有字母的指数的和，多项式次数是多项式中次数最高的项的次数. ②当一个多项式中的各项的次数都相同，即不存在哪一项的次数最高时，任取某一项的次数作为这个多项式的次数. 4.命名与书写 多项式是以次数和项数来进行命名的；且书写多项式时，通常按照某个字母的升次或降次对项进行排列. 【注】多项式命名时通常次数在前，项数在后，且要大写. 例如，多项式有2项，这个多项式的次数是1，则称多项式为一次二项式，且按照字母的降次排列. 多项式有3项，这个多项式的次数是2，则称多项式为二次三项式，且按照字母的降次排列. （3） 实例运用 例2用多项式填空，并指出它们的项和次数. （1）一个长方形相邻两条边的长分别为，则这个长方形的周长为 . （2）为一个有理数，的立方与2的差为 . （3）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放辆.为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收辆，第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为 . （4）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图4.1-2所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成.如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，那么这个印章的表面积为 . 解： （1），它的项分别为，次数是1. （2），它的项分别为，次数是3. （3），它的项分别为，次数是1. （4），即它的项分别为和，次数是2. （4） 变式训练 【变式1】填表 【变式2】鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具（图(1))，其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图（2）所示，这个面的面积为 . 解：这个面的面积为 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．多项式是二次三项式 B．多项式的一次项系数是 C．多项式中，的次数是按照从低到高排列的 D．多项式的常数项是 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】多项式的项、项数或次数、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题主要考查了多项式的定义，根据多项式的次数、项数、系数和排列顺序的定义，逐一判断各选项． 【详解】解：A选项：多项式的最高次项次数为，且共有三项，是二次三项式，故A选项正确； B选项：多项式中没有次数为的项，故B选项错误； C选项：多项式中的指数依次为、、、，是从高到低排列，故C选项错误； D选项：多项式的常数项是，故D选项错误． 故选：A． 【变式4】已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】此题考查的多项式的定义，根据题意令的系数为即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的多项式不含项， ∴ 解得： 故选：D． 【变式5】多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】多项式的项、项数或次数、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．因为多项式为五次三项式，故需满足最高次项次数为5且所有三项系数均非零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于的五次三项式， ∴，且， ∴，且， ∴， 故选：D． 3、 整式的概念 （1） 整式的概念 单项式与多项式统称整式（integral expression). 例如，前面学习的单项式，以及多项式等都是整式. （2） 实例运用 例3.在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】整式的判断 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． 例4.把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{         …}； 多项式集合{         …}． 【答案】②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦ 【难度】0.85 【知识点】单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题主要考查的是整式，掌握单项式、多项式的定义是解题的关键． 根据单项式、多项式的定义解答即可． 【详解】解：单项式有：，，，，， 即单项式集合{②③⑤⑧⑨…}； 多项式有：，，，； 则多项式集合{①④⑥⑦…}． 故答案为：②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦． （3） 变式训练 【变式1】代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】整式的判断 【分析】本题主要考查了整式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案． 【详解】解：代数式，，，，中，整式有，，，，共4个， 故选：D． 【变式2】代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 【答案】(1) 解：根据多项式以及单项式定义可得： (2)二 (3)4， 【难度】0.65 【知识点】单项式的判断、单项式的系数、次数、多项式的判断、多项式的项、项数或次数 【分析】此题主要考查了多项式以及单项式的相关定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用多项式以及单项式定义分析即可； （2）直接利用多项式的次数的定义分析得出答案； （3）直接利用单项式的次数与系数的定义分析即可． 【详解】（1）略 （2）解：多项式的次数为：2， 多项式的次数为：1， 多项式的次数为：1， 故次数最高的多项式是二次多项式； （3）解：单项式的次数为1次，系数为， 单项式的次数为0次，系数为， 单项式的次数为4次，系数为， 故次数最高的单项式的次数是4，系数为． 4、 达标检测 1．下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 D． 是多项式 D．的次数是5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】单项式的判断、单项式的系数、次数、多项式的判断、多项式的项、项数或次数 【详解】解：A．的最高次项是，次数为，共有个项，是二次三项式，判断正确，不符合题意； B．单独的一个数是单项式，因此是单项式，判断正确，不符合题意； C．，是两个单项式的和，属于多项式，判断正确，不符合题意； D．中是常数，单项式的次数是所有字母的指数和，即，因此次数是不是，判断错误，符合题意． 2．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 3．下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】整式的判断、单项式的判断、单项式的系数、次数 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 4．在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 5．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的判断、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查多项式与单项式的基本概念，包括多项式的次数，项数定义，单项式的系数，次数定义，根据概念逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、多项式的最高次项次数为2，共3项，是二次三项式，说法正确，故此选项不符合题意； B、是单项式与的和，是多项式，说法正确，故此选项不符合题意； C、单项式的数字因数为，因此系数是，说法正确，故此选项不符合题意； D、∵单项式中，只有字母的指数计入单项式次数，所有字母的指数和为，∴该单项式的次数是4，不是6，原说法错误，符合题意． 6．下列说法正确的是（     ） A．单项式的次数是2 B．多项式是一次二项式 C．单项式的系数是 D．多项式的次数是3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的判断、多项式的项、项数或次数 【详解】解：A、单项式的次数为，不是，故A错误； B、多项式包含和两个单项式，两项的次数都为，是一次二项式，故B正确； C、单项式的系数为，故C错误； D、多项式中最高次项为，次数为，不是，故D错误． 7．一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母的指数和． 【详解】解：A选项：系数为2，次数为，不符合要求； B选项：系数为3，次数为2，不符合要求； C选项：系数为，次数为，符合要求； D选项：系数为，次数为1，不符合要求． 8．一个同时含有字母a，b，c，且系数为的五次单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．不能确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查单项式的系数，次数的概念，关键是掌握：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；进而问题可求解． 【详解】解：一个同时含有字母，，，且系数为的5次单项式有，，，，，，共有6个． 故选：A． 9．观察下列关于 的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第2024个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】单项式规律题 【分析】本题分别找出单项式系数和次数的规律，得到第n个单项式的表达式，代入即可求解． 【详解】解：∵第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， …… ∴第 个单项式为， 当时，系数为，次数为， 因此第个单项式是． 10．一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、单项式规律题 【分析】分别从系数、的次数两个部分分析规律，整合后即可得到第个代数式． 【详解】解：由题可知，系数分别是1，，，，，， 即第1项系数为1，第2项系数为，第3项系数为，第4项系数为，第5项系数为， 则系数规律为； 的次数分别是，，，，，， 即第1项次数为，第2项次数为，第3项次数为，第4项次数为，第5项次数为， 则的次数规律为； 第个代数式为． 11．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】单项式规律题 【分析】分别归纳系数和的指数与项数的关系，得到第个代数式的通式，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 第1个系数为， 第2个系数为， 第3个系数为， ∴第个代数式的系数为， 又∵第1个中的指数为， 第2个中的指数为， 第3个中的指数为， ∴可得第个代数式中的指数为， ∴第个代数式为， 将代入得：系数为，的指数为， 因此第2026个代数式为． 12．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】单项式规律题、多项式的项、项数或次数 【分析】本题为规律探究题，将多项式拆分为含x的项和含y的项，分别找出两项指数随n变化的规律，即可得到第n个多项式． 【详解】解：∵第1个多项式中，x的指数为，第2个多项式中，x的指数为，第3个多项式中，x的指数为…… ∴第个多项式中，x的指数为，即含x的项为． ∵第1个多项式中，y的指数为，第2个多项式中，y的指数为，第3个多项式中，y的指数为…… ∴第个多项式中，y的指数为，即含y的项为． 综上，第n个多项式为． 13．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】单项式规律题 【分析】将单项式拆分为分子、分母、字母a的指数三部分，分别找出各部分和序号n的对应规律，即可得到第n个单项式. 【详解】解：设单项式的序号为（为正整数），拆分各部分找规律： ∵ ①字母的指数：第1个单项式指数为1，第2个为2，第3个为3...，可得第个单项式中的指数为 ②分数的分子：第1个分子为，第2个分子为，第3个分子为...，可得第个单项式的分子为 ③分数的分母：第1个分母为，第2个分母为，第3个分母为...，可得第个单项式的分母为 ∴ 第个单项式是 14．对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】多项式的项、项数或次数 【详解】解：多项式中，最高次项为，次数为， 故这个多项式的次数是3. 15．下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】根据单项式的系数、次数，同类项，多项式的项、次数的定义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A，单项式的系数为，次数为，选项说法错误； B，和所含字母相同，且相同字母的指数也相同，符合同类项定义，二者是同类项，选项说法正确； C，多项式的最高次项次数为，共项，该多项式是三次三项式，选项说法错误； D，多项式 的项是，和，选项说法错误． 16．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查多项式的次数概念，需满足各项次数为非负整数且最高次为3，根据题意确定n的值，再计算代数式的值即可 【详解】解：∵ 多项式是关于x的三次多项式， ∴ 各项次数为非负整数，且最高次数为3. ∴时，解得，此时多项式为不符合题意； 时，解得，此时多项式为符合题意； ∴， 故选D． 17．已知多项式是二次三项式，则常数m的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】多项式的项、项数或次数、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式的概念，绝对值方程的解法，解题关键是掌握多项式的项数是单项式的个数，次数是最高项的次数． 根据二次三项式的定义，最高次项次数为2，且项数为3，因此需满足且，再求解即可． 【详解】解：∵ 多项式是二次三项式， ∴ ，且， 由，得 或， 但，即， ∴ ． 故选：D． 18．以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 19．在式子，，，，中，整式的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式的定义，整式包含单项式与多项式，单独的数、数和字母的积是单项式，几个单项式的和是多项式，等式不属于整式，据此判断各式子是否为整式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，单独的数、数与字母的积为单项式，几个单项式的和为多项式，等式不是整式， ∴在给出的式子中，是单独的数，属于单项式（整式）； 是数与字母的积，属于单项式（整式）； 是两个单项式的和，属于多项式（整式）； 是等式，不是整式； 是数与字母的积，属于单项式（整式）， ∴整式的个数有个， 故选：． 20.在代数式中，一次项系数是________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】先确定代数式中各项的次数，找到一次项，再提取一次项的数字因数即可． 【详解】解：代数式包含三项，分别为，，， 其中是二次项，是一次项，是常数项， 一次项的数字因数为，因此一次项系数是． 21．单项式的次数是________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】单项式的系数、次数 【详解】∵ 单项式中，的指数为，的指数为， ∴ 该单项式的次数为． 22．有一组单项式为x，，，……根据它们的规律，第n个单项式为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】单项式规律题 【分析】分别观察单项式中x的次数、分母与对应序号的关系，总结规律得到结果． 【详解】解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， ， 可得规律，第个单项式中，分子为，分母为， 因此第个单项式为． 23．若多项式是关于的二次二项式，则________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式系数、指数中字母求值 【分析】根据二次二项式的定义，最高次数为，且多项式只含两项，据此确定和的值，再计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式． ∴多项式的最高次数为，可得． ∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项． ∴一次项的系数为，即， 解得． ∴． 24．已知多项式是五次三项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求多项式的常数项与各项系数的和． (2)求，的值． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.85 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查单项式、多项式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别判断出多项式的常数项与各项系数，再求和即可； （2）根据多项式是五次三项式，可确定最高次项的次数为5，从而求出m；根据单项式的次数也为5，可求出n． 【详解】（1）解：∵多项式的常数项是，二次项系数是，一次项系数是2， ∴常数项与各项系数的和为； （2）解：∵多项式是五次三项式， ∴最高次项的次数为， 解得， ∵单项式的次数为，与多项式次数相同， ∴， 解得． 25．已知多项式是六次四项式，单项式与多项式的次数相同，求的值． 【答案】117 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式，单项式，代数式求值，根据多项式的项、次数的定义得出n的值，根据单项式次数的定义得出，求出m的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是六次四项式， ∴， ∵单项式与多项式的次数相同， ∴， ， ， ． 26．已知多项式是关于x的二次多项式，求a的值． 【答案】a的值为0． 【难度】0.94 【知识点】多项式的判断、多项式的项、项数或次数、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查多项式的相关概念，掌握概念是解题的关键． 根据多项式是关于x的二次多项式即可求解． 【详解】解：多项式是关于x的二次多项式， 三次项的系数必须为0，即， a的值为0． 27．指出多项式的项、次数和常数项． 【答案】项是、、、，次数是3，常数项是 【难度】0.85 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的基本概念，熟练掌握定义是解题的关键．多项式的项：多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号），多项式的次数：次数最高的项的次数即为该多项式的次数，常数项：不含字母的项称为常数项根据多项式的定义解答即可． 【详解】解：多项式有4个单项式组成，分别是、、、， 故它的项是、、、； 各项的次数依次为：的次数是，的次数是，的次数是1，的次数是0， 故次数最高的项是和，次数为3， 所以该多项式的次数是3；常数项是． 28．用整式填空并判断它们是单项式还是多项式，是单项式的指出它们的系数和次数，是多项式的指出它们的项和次数． (1)“的倍与的立方的和”为______． (2)某商店经销某个品牌的空气炸锅，其中某一型号的空气炸锅的进价为每台元，商店将其进价提高后作为售价销售，一段时间后，商店又按售价的八折销售，此时该型号空气炸锅的售价为每台______元． (3)古人应“天圆地方”之说，往往将钱币铸造成“外圆内方”的形状，如图是一枚清代的“乾隆通宝”的正面，其外围圆的直径为，内部正方形的边长为，则该钱币正面的面积为______． 【答案】(1)；为多项式，它的项分别是，，次数是． (2)；为单项式，它的系数是，次数是． (3)；为多项式，它的项分别是，，次数是． 【难度】0.65 【知识点】列代数式、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查代数式、单项式和多项式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，多项式中的每个单项式都叫做这个多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数： （1）根据题意列出代数式，根据多项式的相关定义求解即可； （2）根据题意列出代数式，根据单项式的相关定义求解即可； （3）根据题意列出代数式，根据多项式的相关定义求解即可． 【详解】（1）解：“的倍与的立方的和”为 为多项式，它的项分别是，，次数是． （2）解：根据题意可得，该型号空气炸锅的售价为每台（元）， 为单项式，它的系数是，次数是． （3）解：该钱币正面的面积为， 为多项式，它的项分别是，，次数是． 29．把下列各代数式的序号填入相应集合的括号内： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 单项式集合：{ }； 多项式集合：{ }． 【答案】 由题意可得， 单项式集合：{①⑥⑧}； 多项式集合：{②④⑤． 【难度】0.85 【知识点】单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题考查了对单项式、多项式定义的理解，掌握相关的定义是解决本题的关键． 根据单项式、多项式的定义逐个选出即可． 【详解】略 30．已知关于m、n的多项式的次数是6，且与关于m、n的单项式的次数相同． (1)求x、y的值； (2)求该多项式各项的系数之和． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.85 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了单项式的次数和多项式的次数，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式次数的定义． （1）根据单项式的次数和多项式的次数的意义列方程可求x、y的值； （2）由（1）可得多项式，从而可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 解得． 由多项式与单项式的次数相同，可得， 解得． （2）解：由（1）可知，该多项式为， 所以该多项式各项的系数和为． 31．请把下列整式分类填入下表，并完成表格． ，，，，，，，． 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 【答案】表格填写如下： 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 1 1 2 1 5 2 2 3 0 3 2 2 0 0 2 3 【难度】0.65 【知识点】整式的判断、单项式的判断、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查整式的分类，需要识别每个整式是单项式还是多项式，区分单项式和多项式．单项式是由数字与字母的积组成的代数式，单独一个数字或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和．对于单项式，系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数之和． 对于多项式，次数是最高次项的次数，项数是组成多项式的单项式的个数，常数项是不含字母的项，对此一一区分并填写即可． 【详解】略 32．已知a是最大的负整数，b是多项式的次数，c是单项式的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？并求出点P追上点Q时，它们在数轴上表示的数； (3)在数轴上找一个点H，使点H到A、B、C三点的距离之和等于16，请直接写出所有点H对应的数． 【答案】(1)，，， 如图，在数轴上标出点、、， ； (2)运动秒后，点可以追上点；此时它们在数轴上表示的数为 (3)点对应的数为或 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数四则混合运算、多项式的项、项数或次数、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、单项式的系数和多项式的次数，有理数的除法，根据题意分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）根据单项式的系数、多项式的次数及负整数，得出、、的值，在数轴上标出点、、的位置即可； （2）根据，，动点、分别从、同时出发沿数轴正半轴运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，结合“追及时间路程差速度差”计算求解即可； （3）根据题意分“当点在点、之间时”、“当点在点左边时”、“当点在点右边”三种情况讨论列式求解即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，是多项式的次数，是单项式的系数， ∴，，， （2）解：∵，，动点、分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴（秒）， ∴运动秒后，点可以追上点，点追上点时，它们在数轴上表示的数为； （3）解：情况一：当点在点、之间时， 又∵，，， ∴， ∴， ∴点对应的数； 情况二：当点在点左边时， ∵，， ∴， ∴点对应的数． 情况三：当点在点右边时， ∵ ∴此情形不存在点， 综上所述，点对应的数为或． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $