2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中模拟试题（二）

**基本信息** 北师大版九年级数学期中模拟卷，覆盖前三章核心内容，以几何直观、推理能力为导向，设计动态几何（如第22题动点相似）、文化情境（周瑜年龄方程应用）等试题，体现数学眼光与思维的融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|矩形性质、相似判定、一元二次方程应用|第1题结合图形变换考相似本质，第4题路灯影子问题（几何直观）| |填空题|5/15|菱形面积、位似变换、方程建模|第13题用诗词情境考方程（文化传承），第15题菱形性质多结论判断（推理能力）| |解答题|8/75|动态几何、换元法、四边形综合|第21题阅读理解换元法（数学思维），第22题动点相似与等腰三角形探究（模型意识）|

保密★启用前 九年级数学第一学期期中模拟试题（二） 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一二三章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 【答案】A 解：两矩形对应角相等，对应边的比值不一定相等，不一定相似，符合题意；两锐角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意；两直角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意； 故选：A 2.下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【答案】C 解：A．矩形的对角线相等，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故B错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线相等，则此平行四边形为矩形，故C正确； D．矩形的对角线平分一组对角仅当其为正方形时成立，普通矩形不满足，故D错误． 故选：C． 3.初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：由题意得：每个人要送出张照片， ∵全班有名同学， ∴可列方程为， 故选：A． 4.如图所示，电线杆上的路灯距离地面6m，身高 1.2m的小丽（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小丽的影子AM长约为（   ） A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m 【答案】B 解：如图，设路灯底部为点，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：( m) ． 故选：B． 5.如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 【答案】A 解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得： BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm， 因为BC2+DC2＝BD2， 则（10﹣16x）2+（12x）2＝62， 解得：x1＝x2＝0.4． 答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km． 故选A． 6.如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 7.某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（   ） A． B．2或 C．2或 D．2 【答案】A 解：∵当输出的值为4时， ∴当时，，不符合题意； 当时，解得． ∴当输出的值为4时，则输入的x值是． 故选：A． 8.如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（　　）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 解:∵点P的纵坐标为， ∴点P在直线y＝上， ①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1，)； ②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA， ∴PA2＝AB•OA， ∴＝b﹣1， ∴(b﹣8)2＝48， 解得 b＝8±4， ∴P(1，2+)或(1，2﹣)， 综上所述，符合条件的点P有3个， 故选D．    9.如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接交于点，连接， 则， ， 当B、N、M三点共线时，取得最小值， 则即为所求的点， 则的长即为的最小值， ∵四边形是正方形， ∴是线段的垂直平分线， 又， 在中，， 故的最小值是． 故选：C． 10.如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：如图，连接， ∵顺次连接矩形各边的中点，得到四边形， ∴四边形 是矩形， ∴，. 同理，，， ∴， ∴， ∵顺次连接四边形，各边的中点，得到四边形， ∴，， ∴， 依此可得， ∴四边形的面积是． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．一元二次方程根的判别式值是 ． 【答案】25 解：∵一元二次方程 ∴ 故答案为：． 12.如图，在菱形中，点A在x轴上，点B的坐标为，点D的坐标为，则菱形面积为 ． 【答案】 解：连接、交于点，如图所示： 四边形是菱形， ，，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 13．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄是 岁．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【答案】 36岁 解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 14如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 解：∵和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即为． 故答案为： 15．如图，在菱形中，过对角线上任意一点，作，，下列结论：①图中共有个菱形；② ；③四边形的面积等于的面积的一半；④四边形的周长等于四边形的周长．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②④ 解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 同理可得四边形是菱形， 即有3个菱形，菱形、菱形、菱形， ①说法错误； 四边形是菱形， ， 在和中，， ， ②说法正确； 只有当为中点，为中点时，四边形的面积等于的面积的一半， ③说法错误； 易证四边形、四边形是菱形，四边形、四边形是平行四边形， ， ， 同理， 四边形的周长=四边形的周长， ④说法正确； 故答案为：②④． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分）解方程： (1)； (2)． （1）解：， ， 或， ，； （2）解：，，， ， ， ，． 17.本小题分如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． （1）证明：∵点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18.本小题8分 如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． （1）证明：∵是斜边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 19.本小题8分已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有实数解； (2)当该方程的一个根为时，求m的值及方程的另一根． 解：（1）∵关于x的一元二次方程有实数解， ∴， ∴； （2）∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， ∵， ∴． ∴，方程的另一个根为． 20本小题10分如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 解：（1），，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 21.本小题10分阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0”” 解：设x2=y，原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是______ A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设x2-2x=y，原方程化为y2-y-6=0， 整理，得 （y-3）（y+2）=0， 解得y=3或y=-2 当y=3时，即x2-2x=3，解得x=-1或x=3； 当y=-2时，得x2-2x=-2，即（x-1）2=-1，方程无解， 综上所述，原方程的解为x1=-1，x2=3． 22本小题12分如图，在直角三角形中，直角边，．设，Q分别为、上的动点，在点自点沿方向向作匀速移动的同时，点自点沿方向向点作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当点到达点时，点就停止移动．设移动的时间秒．    (1)AB=___________cm，BP=___________cm（BP用含t的代数式表示）． (2)当为何值时，与相似？并说明理由． (3)当为何值时，是等腰三角形？并说明理由． 解：（1）∵直角边，， ∴由勾股定理可得，（）， （）， 故答案为：5，； （2）能． 理由：当时， ，即，解得：秒； 当时，，即，解得：秒， ∴当或秒时，与相似． （3）由题意知，，，， 当时，，解得； 当时，如图，作于点E，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即, 解得； 当时，作于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即，解得 ∴当或或时，是等腰三角形． 23本小题12分） 平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． （1）解：∵， ∴， ∵E为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； （2）证明：，理由如下： 如图2，设射线与射线交于点M， 由题可设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于N， ∴， 过E作于P， 则， 在与中，   ， ∴， ∴， 过E作于Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 在与中， ，   ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ ， ∴， ∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小， 即为线段的长度，如图4， 过N作交其延长线于T， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学第一学期期中模拟试题（二） 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一二三章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 2.下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 3.初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4.如图所示，电线杆上的路灯距离地面6m，身高 1.2m的小丽（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小丽的影子AM长约为（   ） A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m 5.如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 第4题 第5题 第6题 6.如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7.某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（   ） A． B．2或 C．2或 D．2 8.如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（　　）   A．0 B．1 C．2 D．3 第7题 第8题 第9题 9.如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 10.如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．一元二次方程根的判别式值是 ． 12.如图，在菱形中，点A在x轴上，点B的坐标为，点D的坐标为，则菱形面积为 ． 13．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄是 岁．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 第12题 第13题 第14题 第15题 14如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为 ． 15．如图，在菱形中，过对角线上任意一点，作，，下列结论：①图中共有个菱形；② ；③四边形的面积等于的面积的一半；④四边形的周长等于四边形的周长．其中正确的是 ．（填序号） 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分）解方程： (1)； (2)． 17.本小题分如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 18.本小题8分 如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 19.本小题8分已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有实数解； (2)当该方程的一个根为时，求m的值及方程的另一根． 20本小题10分如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 21.本小题10分阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0”” 解：设x2=y，原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是______ A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 22本小题12分如图，在直角三角形中，直角边，．设，Q分别为、上的动点，在点自点沿方向向作匀速移动的同时，点自点沿方向向点作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当点到达点时，点就停止移动．设移动的时间秒．   (1)AB=___________cm，BP=___________cm（BP用含t的代数式表示）． (2)当为何值时，与相似？并说明理由． (3)当为何值时，是等腰三角形？并说明理由． 23本小题12分） 平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 九年级数学第一学期期中模拟试题（二） 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一二三章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 2.下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 3.初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4.如图所示，电线杆上的路灯距离地面6m，身高 1.2m的小丽（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小丽的影子AM长约为（   ） A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m 5.如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 第4题 第5题 第6题 6.如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7.某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（   ） A． B．2或 C．2或 D．2 8.如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（　　）   A．0 B．1 C．2 D．3 第7题 第8题 第9题 9.如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 10.如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．一元二次方程根的判别式值是 ． 12.如图，在菱形中，点A在x轴上，点B的坐标为，点D的坐标为，则菱形面积为 ． 13．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄是 岁．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 第12题 第13题 第14题 第15题 14如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为 ． 15．如图，在菱形中，过对角线上任意一点，作，，下列结论：①图中共有个菱形；② ；③四边形的面积等于的面积的一半；④四边形的周长等于四边形的周长．其中正确的是 ．（填序号） 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分）解方程： (1)； (2)． 17.本小题分如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 18.本小题8分 如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 19.本小题8分已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有实数解； (2)当该方程的一个根为时，求m的值及方程的另一根． 20本小题10分如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 21.本小题10分阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0”” 解：设x2=y，原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是______ A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 22本小题12分如图，在直角三角形中，直角边，．设，Q分别为、上的动点，在点自点沿方向向作匀速移动的同时，点自点沿方向向点作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当点到达点时，点就停止移动．设移动的时间秒．   (1)AB=___________cm，BP=___________cm（BP用含t的代数式表示）． (2)当为何值时，与相似？并说明理由． (3)当为何值时，是等腰三角形？并说明理由． 23本小题12分） 平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一学期期中模拟试题（二） 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一二三章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B A D A D C B 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 25 12. 13． 36岁 14． 15．②④ 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 （1）解：， ， 或， ，；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：，，， ， ， ，．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 17.本小题分) （1）证明：∵点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 18.本小题8分（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 19.本小题8分)解：（1）∵关于x的一元二次方程有实数解， ∴， ∴；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， ∵， ∴． ∴，方程的另一个根为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 20.本小题10分）解：（1），，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 （2）如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 21.本小题10分） 解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）设x2-2x=y，原方程化为y2-y-6=0， 整理，得 （y-3）（y+2）=0， 解得y=3或y=-2 当y=3时，即x2-2x=3，解得x=-1或x=3； 当y=-2时，得x2-2x=-2，即（x-1）2=-1，方程无解， 综上所述，原方程的解为x1=-1，x2=3．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分 22.本小题12分解：（1）∵直角边，， ∴由勾股定理可得，（）， （）， 故答案为：5，；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉每空2分，共4分 （2）能． 理由：当时， ，即，解得：秒； 当时，，即，解得：秒， ∴当或秒时，与相似．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）由题意知，，，， 当时，，解得； 当时，如图，作于点E，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即, 解得； 当时，作于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即，解得 ∴当或或时，是等腰三角形．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 23本小题12分（1）解：∵， ∴， ∵E为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）证明：，理由如下： 如图2，设射线与射线交于点M， 由题可设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于N， ∴， 过E作于P， 则， 在与中，   ， ∴， ∴， 过E作于Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 在与中， ，   ∴， ∴， ∵， ∴；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ ， ∴， ∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小， 即为线段的长度，如图4， 过N作交其延长线于T， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为．．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $