2026-2027学年人教版九年级数学上册期中综合训练 测试卷

**基本信息** 聚焦九年级上册反比例函数、一元二次方程、二次函数核心知识，融合人工智能研发、羽毛球运动等真实情境，梯度设计培养运算能力、推理意识及模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|反比例函数定义、一元二次方程根|第6题以科技公司研发资金为背景，考查增长率模型| |填空题|6题|二次函数平移、反比例函数性质|第15题结合抛物线形拱桥，体现几何直观与应用意识| |解答题|8题|方程求解、函数综合应用|第23题引入“共同体二次函数”新概念，培养创新意识与推理能力|

人教版数学九年级上册期中综合训练 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.下列函数中,y是x的反比例函数的是(　　). A.y=+5 B.xy=9 C.y=2x D.y= 2.一元二次方程x2=2x的根是(　　). A.0,2 B.0 C.2 D.0,-2 3.根据表中的对应值,方程x2-10x-15=0的一个根的取值范围是(　　). x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 x2-10x-15 -1.56 -0.31 0.96 2.25 3.56 A.11.2<x<11.3 B.11.3<x<11.4 C.11.4<x<11.5 D.11.5<x<11.6 4.以2和-3为两根的一元二次方程为(　　). A.(x+2)(x-3)=0 B.x2-x+6=0 C.x2-5x-1=0 D.x2+x-6=0 5.已知m为一元二次方程x2+5x-1 024=0的根,则-2m2-10m的值为(　　). A.-2 048 B.-1 024 C.0 D.2 048 6.随着人工智能技术的飞速发展,某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发.已知该公司在2023年投入研发资金为120万元,到2025年累计共投入研发资金386万元,若这两年投入研发资金的年平均增长率相同,求该公司投入研发资金的年平均增长率.设年平均增长率为x,则下列方程正确的是(　　). A.120+120(1+x)+120(1+x)2=386 B.120(1+x)2=386 C.1+(1+x)+(1+x)2=386 D.120(1+x2)=386 7.二次函数y=ax2+bx与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象是(　　). 8.老师设计了一个接力游戏,用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标,规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行计算,再将结果传递给下一人,最后完成求解.过程如图所示. 在接力过程中,出现错误的是(　　). A.甲和乙 B.乙和丙 C.乙和丁 D.甲和丙 9.如图,点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,且OA=4,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,OA的垂直平分线交OC于点B,则△ABC的周长为(　　). A.2　　　　　　　　　　　　　　　B.5 C.4 D. 10.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的图象的一部分如图所示,其对称轴是直线x=1.有下列说法:①a>0;②2a+b=0;③b2-4ac>0;④a+b+c<0;⑤c>0.其中正确的是(　　). A.①②④ B.①②⑤ C.②③④ D.②③⑤ 二、填空题(将正确的结果填在横线上) 11.若方程(a-2)x2+2x+1=0是一元二次方程,则a的取值范围是　　　　　.  12.将二次函数y=x2+2的图象先向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后所得抛物线对应的函数解析式为　　　　　　　.  13.如果实数a,b满足a2+2a=2,b2-2b=2,且a+b≠0,则ab的值为　　　.  14.若A(a-1,y1),B(a,y2),C(a+1,y3)都是反比例函数y=-的图象上的点,且-1<a<0,则y1,y2,y3的大小关系是　　　　　　　.(结果用“<”连接)  15.有一抛物线形拱桥的示意图如图所示,当拱顶离水面3 m时,水面宽4 m.若水面上升2 m,则水面宽度减少　　　　　m.  16.如图,A,B分别是反比例函数y=,y=图象上的点,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为C,D,连接OB,OA,OA交BD于点E,△BOE的面积为S1,四边形ACDE的面积为S2,则S1-S2的值为　　　　.  三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解下列方程: (1)(x+1)2-9=0; (2)x2+4x-5=0. 18.如图,在宽为20 m、长为32 m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路,把耕地分成大小相等的六块,要使修完道路后的耕地面积为570 m2,求道路的宽度. 19.图1是一个发电厂的冷却塔,图2是它的平面示意图,其中四边形ABCD是关于y轴对称的矩形,DE,CF可近似看成两个反比例函数图象的一部分.已知整个冷却塔的高度为100 m,矩形ABCD的面积为1 700 m2,求DE对应的反比例函数解析式及点E的坐标. 图1 图2 20.在一次羽毛球比赛中,甲运动员在离地面1 m的点A处发球,羽毛球的飞行路线近似看成抛物线的一部分.当球运动到最高点时,离甲运动员站立地点O的水平距离为4 m,其高度为 m.在离点O水平距离5 m处,放置一个高1.55 m的球网BC,以点O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,回答下列问题. (1)求抛物线对应的函数解析式;(不要求写出自变量的取值范围) (2)试通过计算判断此球能否过网. 21.已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0. (1)若方程的一个根为-2,求m的值; (2)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根; (3)若x1,x2是原方程的两个根,且(x1-x2)2=8,求m的值. 22.如图,在平面直角坐标系中,A是反比例函数y1=(x>0)的图象上一点,AB⊥x轴的正半轴,垂足为B,C是OB的中点.一次函数y2=ax+b的图象经过A,C两点,并交y轴于点D(0,-2),已知S△AOD=4. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)观察图象,当y1≥y2时,直接写出x的取值范围. 23.若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1,其顶点为A,二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2,其顶点为B,且满足点A在C2上,点B在C1上,则称这两个二次函数互为“共同体二次函数”. (1)写出二次函数y=x2的一个“共同体二次函数”,且该函数图象的顶点坐标为(3,9); (2)设二次函数y=x2-2x+3的图象与y轴的交点为P,求以P为图象顶点的二次函数y=x2-2x+3的“共同体二次函数”; (3)若二次函数y=2x2-1与其“共同体二次函数”的图象顶点不重合,试求该“共同体二次函数”的二次项系数. 24.如图,抛物线y=(x+1)2+k与x轴相交于A,B两点,其中点A的坐标为(-3,0). (1)求点B的坐标及抛物线对应的函数解析式. (2)点C为抛物线与y轴的交点. ①若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标; ②点Q是线段AC下方抛物线上的一点,若△QAC的面积是3,求点Q的坐标. 参考答案 1.B　2.A　3.B　4.D　5.A　6.A　7.D　8.A　9.A　10.D 11.a≠2　12.y=x2+2x 13.2　解析:∵实数a,b满足a2+2a=2,b2-2b=2,且a+b≠0, ∴实数a,-b是关于x的一元二次方程x2+2x-2=0的两个不相等的实数根, ∴a(-b)=-2, 即ab=2. 14.y3<y1<y2　解析:∵-1<a<0, ∴-2<a-1<-1,0<a+1<1, ∵k=-1<0, ∴A,B两点都在第二象限的曲线上,点C在第四象限的曲线上. ∴在每一象限内,y随x的增大而增大, ∴y3<0<y1<y2,即y3<y1<y2. 15.4- 16.-2　解析:设点B的坐标为(x,y), 则S△OBD=xy=×6=3. 同理可得S△OAC=5. 设S△OED=a, ∴S1=3-a,S2=5-a, ∴S1-S2=-2. 17.解:(1)移项,得(x+1)2=9. 由此可得x+1=±3, 即x1=2,x2=-4. (2)左边分解因式,得(x+5)(x-1)=0. 于是x+5=0,或x-1=0, 即x1=-5,x2=1. 18.解:设道路的宽度为x m,根据题意,得(32-2x)(20-x)=570. 整理,得x2-36x+35=0. 解得x1=1,x2=35(不符合题意,舍去). 因此,道路的宽度为1 m. 19.解:令AD=a m, 因为矩形ABCD的面积为1 700 m2, 所以AB=(m). 因为矩形ABCD关于y轴对称, 所以OA=AB=(m), 则点D的坐标为-,a, 所以DE对应的反比例函数解析式为y=-. 把y=100代入y=-,得x=-8.5. 所以点E的坐标为(-8.5,100). 20.解:(1)根据题意,设抛物线对应的函数解析式为y=a(x-4)2+, 将点(0,1)的坐标代入上式,得1=a(0-4)2+.解得a=-. ∴抛物线对应的函数解析式为y=-(x-4)2+. (2)此球能过网.理由如下: 当x=5时,y=-×(5-4)2+=4. ∵4>1.55, ∴此球能过网. 21.(1)解:由题意,把x=-2代入x2+(m+3)x+m+1=0, 得4-2(m+3)+m+1=0. 解得m=-1. (2)证明:∵Δ=(m+3)2-4(m+1)=(m+1)2+4≥4,无论m取何值,Δ=(m+1)2+4恒大于0,∴原方程总有两个不相等的实数根. (3)解:∵x1,x2是原方程的两个根, ∴x1+x2=-(m+3),x1x2=m+1. ∵(x1-x2)2=8, 即(x1+x2)2-4x1x2=8, ∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8, ∴m2+2m-3=0, 解得m1=-3,m2=1. 22.解:(1)如图,过点A作AE⊥y轴,垂足为E, ∵S△AOD=4,D(0,-2), ∴OD=2,OD·AE=4,∴AE=4. ∵AB⊥OB,C为OB的中点, ∴∠DOC=∠ABC=90°,OC=BC,∠OCD=∠BCA, ∴Rt△DOC≌Rt△ABC,∴AB=OD=2, ∴A(4,2). 将点A(4,2)的坐标代入y1=,得k=8. ∴反比例函数的解析式为y1=. 将点A(4,2),D(0,-2)的坐标分别代入y2=ax+b,得解得 ∴一次函数的解析式为y2=x-2. (2)由图象可知,当y1≥y2时,0<x≤4. 23.解:(1)由y=x2,知其图象的顶点坐标为(0,0),且图象经过点(3,9). 设以(3,9)为顶点,且经过点(0,0)的抛物线对应的函数解析式为y=a(x-3)2+9. 将x=0,y=0代入y=a(x-3)2+9, 得a=-1. ∴二次函数y=x2且函数图象顶点坐标为(3,9)的“共同体二次函数”为y=-(x-3)2+9. (2)由题意,令x=0,则y=x2-2x+3=3, ∴二次函数y=x2-2x+3的图象与y轴的交点P的坐标为(0,3). ∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2, ∴其图象的顶点坐标为(1,2). 设以(0,3)为顶点,且经过点(1,2)的抛物线对应的函数解析式为y=ax2+3. 将x=1,y=2代入y=ax2+3, 得a=-1,则y=-x2+3. ∴以点P为图象顶点的二次函数y=x2-2x+3的“共同体二次函数”为y=-x2+3. (3)由y=2x2-1,知其图象的顶点坐标为(0,-1).设其“共同体二次函数”为y=m(x+h)2+k,其图象的顶点坐标为(-h,k). ∵二次函数y=2x2-1与其“共同体二次函数”y=m(x+h)2+k的顶点不重合, ∴h≠0,k≠-1. 根据“共同体二次函数”定义可得-1=mh2+k,k=2h2-1,∴mh2=-2h2,∴m=-2, ∴该“共同体二次函数”的二次项系数为-2. 24.解:(1)根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=-1,设点B的坐标为(xB,0), 则=-1,解得xB=1. ∴B(1,0). ∵抛物线y=(x+1)2+k过点A(-3,0), ∴0=(-3+1)2+k,解得k=-4. ∴抛物线对应的函数解析式为y=(x+1)2-4=x2+2x-3. (2)①由(1)知点B的坐标为(1,0),抛物线对应的函数解析式为y=x2+2x-3, 当x=0时,y=-3, ∴C(0,-3).∴OB=1,OC=3, ∴S△BOC=OB·OC=×1×3=. 设点P的坐标为(x,x2+2x-3), 则S△POC=OC·|xP|=×3×|x|=|x|. ∵S△POC=4S△BOC,∴|x|=4×, 解得x=±4, ∴点P的坐标为(-4,5)或(4,21). ②设直线AC对应的函数解析式为y=mx+n,由直线AC过点A(-3,0),C(0,-3),得解得 ∴直线AC对应的函数解析式为y=-x-3. 如图,过点Q作QG⊥x轴,垂足为G,交线段AC于点H,连接AQ,CQ. 设Q(a,a2+2a-3),则H(a,-a-3),其中-3<a<0. ∵点Q在线段AC下方的抛物线上, ∴QH=-a-3-(a2+2a-3)=-a2-3a,∴S△QAC=QH×(xC-xA)=×(-a2-3a)×3=3,∴0=a2+3a+2, 解得a=-1,或a=-2. 当a=-1时,a2+2a-3=-4. 当a=-2时,a2+2a-3=-3. ∴点Q的坐标为(-1,-4)或(-2,-3). 1 学科网（北京）股份有限公司 $