课时作业29 4.2.1等差数列的概念同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 本练习通过基础概念应用、公式灵活运用到综合问题解决的三层设计，系统巩固等差数列知识，培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等差中项、通项公式等核心概念|如选择1-3题直接考查定义，填空12、14题强化公差与中项计算| |中档层|公式逆用、简单构造|如选择5题插入数求新公差，填空13题构造等差数列求项| |拔高层|递推构造、综合应用|如选择8题由递推关系证等差，解答17题含恒成立问题，发展推理意识|

课时作业29 等差数列的概念 一、选择题 1．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 2．已知等差数列的前4项分别是a，x，b,2x，则等于(　　) A． B． C． D． 3．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　　) A．15 B．30 C．31 D．64 4．在等差数列{an}中，已知a1＝，a4＋a5＝，ak＝33，则k＝(　　) A．50 B．49 C．48 D．47 5．在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在相邻两项之间各插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差为(　　) A． B．－ C．－ D．－1 6．已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a4等于(　　) A．15 B．23 C．7 D．29 7．已知数列{an}，a3＝2，a7＝1，若为等差数列，则a11＝(　　) A． B． C．1 D．2 8．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝(　　) A． B．1 C． D． 9．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(　　) A．9 B．15 C．18 D．30 10．已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，－＝1(n≥2，n∈N*)，则a1 024＝(　　) A． B． C． D． 11.(多选题)已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N*)，则下列说法正确的有(　　) A.数列{an}是等差数列 B.a2k＝7－2k(k∈N*) C.a2k－1＝12－2k(k∈N*) D.an＋an＋1＝18－3n 二、填空题 12.等差数列{1－3n}的公差d等于 13.在数列{an}中，已知a1＝3，当n≥2时，－＝，则a16＝ 14.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是 15.若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则＝________. 三、解答题 16.在等差数列{an}中，已知a4＝70，a21＝－100. (1)求首项a1与公差d，并写出通项公式； (2)数列{an}中有多少项属于区间[－18,18]? 17.在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*). (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若λan＋≥λ对任意的n≥2恒成立，求实数λ的取值范围. 课时作业29 等差数列的概念 （答案） 一、选择题 1．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：∵A，B，C成等差数列， ∴A＋C＝2B.又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°. 故选B. 2．已知等差数列的前4项分别是a，x，b,2x，则等于(　　) A． B． C． D． 解析：∵∴∴＝. 故选C. 3．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　　) A．15 B．30 C．31 D．64 解析：数列{an}的首项为a1，设公差为d，则有 解得 故a12＝a1＋11d＝15. 故选A. 4．在等差数列{an}中，已知a1＝，a4＋a5＝，ak＝33，则k＝(　　) A．50 B．49 C．48 D．47 解析：∵a4＋a5＝2a1＋7d＝＋7d＝，∴d＝. ∴ak＝a1＋(k－1)·d＝＋(k－1)×＝k－＝33.∴k＝50. 故选A. 5．在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在相邻两项之间各插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差为(　　) A． B．－ C．－ D．－1 解析：新等差数列中，首项为8，第9项为2. ∴新公差d′＝＝＝－. 故选B. 6．已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a4等于(　　) A．15 B．23 C．7 D．29 解析：∵a3＋a8＝2a1＋9d＝22，a6＝a1＋5d＝7， ∴a1＝47，d＝－8，∴a4＝a1＋3d＝23. 故选B. 7．已知数列{an}，a3＝2，a7＝1，若为等差数列，则a11＝(　　) A． B． C．1 D．2 解析：设的公差为d. ∵＝，＝，∴4d＝－＝， ∴d＝，∴＝＋8×＝，∴a11＝. 故选A. 8．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝(　　) A． B．1 C． D． 解析：依题意得＝＝＋，－＝，故数列是以＝为首项，为公差的等差数列，则＝＋＝，an＝，所以a4＝. 故选A. 9．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(　　) A．9 B．15 C．18 D．30 解析：由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2.又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 故选C. 10．已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，－＝1(n≥2，n∈N*)，则a1 024＝(　　) A． B． C． D． 解析：∵数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，－＝1(n≥2，n∈N*)， ∴数列是等差数列，公差为1，首项为1. ∴＝1＋(n－1)＝n，解得an＝. ∴a1 024＝＝. 故选D． 11.(多选题)已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N*)，则下列说法正确的有(　　) A.数列{an}是等差数列 B.a2k＝7－2k(k∈N*) C.a2k－1＝12－2k(k∈N*) D.an＋an＋1＝18－3n 解析：由an－an＋2＝2得a3＝a1－2＝8，由于2a2≠a1＋a3，所以{an}不是等差数列，A不正确； 由an－an＋2＝2，知{an}的偶数项，奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，当n＝2k(k∈N*)时，a2k＝a2＋(k－1)×(－2)＝7－2k，当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k－1＝a1＋(k－1)×(－2)＝12－2k，故B，C都正确； 当n＝2时，a2＋a3＝5＋8＝13不满足an＋an＋1＝18－3n，故D错误. 故选BC. 二、填空题 12.等差数列{1－3n}的公差d等于 解析：∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5， ∴d＝a2－a1＝－3. 答案：－3 13.在数列{an}中，已知a1＝3，当n≥2时，－＝，则a16＝ 解析：因为当n≥2时，－＝，所以是以为首项，以为公差的等差数列，故＝＋15×＝，故a16＝. 答案： 14.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是 解析：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6. 所以m和n的等差中项为＝3. 答案：3 15.若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则＝________. 解析：设两等差数列的公差分别为d1，d2， 则有b－a＝4d1＝6d2，∴d1＝d2. ∴＝＝＝. 答案： 三、解答题 16.在等差数列{an}中，已知a4＝70，a21＝－100. (1)求首项a1与公差d，并写出通项公式； (2)数列{an}中有多少项属于区间[－18,18]? 解：(1)∵ ∴ ∴an＝a1＋(n－1)d＝100＋(n－1)×(－10)＝－10n＋110. (2)令－18≤an≤18，即－18≤－10n＋110≤18， 得9.2≤n≤12.8.∵n∈N*，∴n＝10,11,12. ∴有3项在[－18,18]之间. 17.在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*). (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若λan＋≥λ对任意的n≥2恒成立，求实数λ的取值范围. (1)证明　由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)， 整理得－＝3(n≥2，n∈N*)， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列. (2)解　由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2， 所以an＝. (3)解　λan＋≥λ对任意的n≥2恒成立， 即＋3n－2≥λ对任意的n≥2恒成立， 整理得λ≤，对任意的n≥2恒成立. 令f(n)＝，则只需满足λ≤f(n)min即可. 因为f(n＋1)－f(n)＝－＝＝3－， 所以当n≥2时，f(n＋1)－f(n)>0， 即f(2)<f(3)<f(4)<…，所以f(2)最小. 又f(2)＝，所以λ≤， 所以实数λ的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $