第一章集合测试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以2025年暑期档票房数据为情境（第7题），结合“闭集合”创新定义（第19题），覆盖集合概念、运算及应用，梯度设计适配高一单元复习，培养抽象能力与逻辑推理。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合定义（第1题）、真子集（第3题）、集合关系（第4题）|票房数据考交并补（第7题），体现数学眼光| |多选题|3|集合元素特性（第9题）、Venn图（第10题）|辨析描述法表示（第11题），强化数学语言| |填空题|3|子集个数（第12题）、集合包含关系（第13题）|结合不等式考参数范围（第13题），提升思维严谨性| |解答题|5|集合运算（第15题）、创新定义证明（第19题）|“闭集合”定义探究（第19题），发展推理与创新意识|

2026-2027学年高一数学集合测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 4．已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则 A． B． C． D． 5．若全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 6．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 8．已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 二、多选题 9．设集合，且，则x的值可以为（    ） A．3 B． C．5 D． 10．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 11．下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 三、填空题 12．满足条件的集合的个数是____ 13．集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 14．若集合，，，则集合中的元素个数是________. 四、解答题 15．已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 16．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围： (1)； (2)恰有一个元素. 17．设全集，集合，. (1)若，求， (2)若，求实数的取值范围. 18．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 19．给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学集合测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于， 故． 3．集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 4．已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B． 故选B． 5．若全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ． 6．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 7．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 8．已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 【答案】C 【分析】求出集合，按集合的特性求出的最值即可. 【详解】集合， 由每个集合均恰有5个元素，且， 知集合的最小元素必为1，最大元素必为20， 要使的值最小，则集合的最小元素的一个排列为， 除20外，另外3个最大元素尽可能地小，最大元素的一个排列为， 因此的最小值为，AB不可能； 要使的值最大，则集合的最大元素的一个排列为， 除1外，另外3个最小元素尽可能地大，最小元素的一个排列为， 因此的最大值为，C可能，D不可能. 二、多选题 9．设集合，且，则x的值可以为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】BC 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】∵，则有： 若，则，此时，不符合题意，故舍去； 若，则或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述：或. 故选：BC. 10．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由图知集合是集合的真子集，结合图形由集合的交并补运算逐一判断即可. 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C:  因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 11．下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 故选：BD 三、填空题 12．满足条件的集合的个数是____ 【答案】7 【分析】根据子集和真子集的概念即可求解. 【详解】由题意，是集合的真子集，且集合为集合的子集， 所以集合至少有3个元素，最多有5个元素， 如果集合有3个元素：，，； 如果集合有4个元素：，，； 如果集合有5个元素：； 所以满足条件的集合共有7个. 13．集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】可先求解时参数的取值范围，再取其补集得到时的范围. 【详解】先求解的情况： 当集合为空集时，则， 解得，此时. 当集合非空时，需满足，若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. 14．若集合，，，则集合中的元素个数是________. 【答案】 【分析】求出集合、，可求出集合，即可得解. 【详解】因为集合，，， 则，，所以，， 故集合中的元素个数是. 故答案为：. 四、解答题 15．已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 16．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围： (1)； (2)恰有一个元素. 【答案】(1) (2) 【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围． 若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围． 【详解】（1）若，则关于x的方程没有实数解， 则，且， 所以，实数m的取值范围是； （2）若A恰有一个元素， 所以关于x的方程恰有一个实数解， 讨论：当时，，满足题意； 当时，，所以． 综上所述，m的取值范围为． 17．设全集，集合，. (1)若，求， (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）先代入化简集合，再利用集合的交并补运算即可得到结果； （2）先由得到，再分类讨论与两种情况，结合数轴法即可得到所求. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，， 所以，或， 故或. （2）因为，所以， 因为，， 所以当时，，解得，此时； 当时，， 由数轴法得，解得，故； 综上：，即. 18．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 19．给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 【答案】(1)不是闭集合；为闭集合，理由见解析 (2)不一定，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“闭集合”的定义对集合进行判断. （2）通过举反例的方法说明不一定是闭集合. （3）利用反证法，结合“闭集合”的定义证得. 【详解】（1）因为，，，所以不是闭集合； 任取，，设，，，， 则且， 所以，同理，，故为闭集合. （2）结论：不一定. 不妨令，， 则由（1）可知，，为闭集合，易知2，，， 因此，不一定是闭集合. （3）不妨假设，则由，得存在且，故. 同理，存在且，故. 因为，所以或. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 综上，不成立，故. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $